Кинетический Монте-Карло

Кинетическую Монте - Карло (КМК) метод является метод Монте - Карло компьютерного моделирования предназначен для моделирования эволюции во времени некоторых процессов , происходящих в природе. Обычно это процессы, которые происходят с известной скоростью перехода между состояниями. Важно понимать, что эти ставки являются входными данными для алгоритма KMC, сам метод не может их предсказать.

Метод KMC по сути такой же, как динамический метод Монте-Карло и алгоритм Гиллеспи .

Алгоритмы [ править ]

Одна из возможных классификаций алгоритмов KMC - KMC с отклонением (rKMC) и KMC без отклонения (rfKMC).

KMC без отклонений [ править ]

На каждом шаге система может перейти в несколько конечных состояний, скорость передачи между начальным состоянием и всеми возможными конечными состояниями должна быть известна.

Выбор конечного состояния: случайная переменная выбирается между 0 и Γ _tot ; вероятность того, что система перейдет в состояние i , пропорциональна Γ _i .

Алгоритм rfKMC, часто называемый KMC, для моделирования временной эволюции системы, в которой некоторые процессы могут происходить с известной скоростью r, может быть записан, например, следующим образом:

Установите время . ${\ displaystyle t = 0}$
Выберите начальное состояние k .
Сформируйте список всех возможных скоростей перехода в системе из состояния k в общее состояние i . Состояния, которые не общаются с k, будут иметь . ${\ displaystyle N_ {k}}$ ${\ displaystyle r_ {ki}}$ ${\ displaystyle r_ {ki} = 0}$
Рассчитайте кумулятивную функцию для . Общая ставка составляет . ${\ displaystyle R_ {ki} = \ sum _ {j = 1} ^ {i} r_ {kj}}$ $i=1,\ldots ,N_{k}$ $Q_{k}=R_{k,N_{k}}$
Получите равномерное случайное число . $u\in (0,1]$
Найти событие для выполнения I , находя I , для которых (это может быть достигнуто эффективно использовать бинарный поиск ). $R_{k,i-1}<uQ_{k}\leq R_{ki}$
Выполнить событие i (обновить текущее состояние ). $k\rightarrow i$
Получите новое равномерное случайное число . $u^{\prime }\in (0,1]$
Обновите время с помощью , где . $t=t+\Delta t$ $\Delta t=Q_{k}^{-1}\ln(1/u^{\prime })$
Вернитесь к шагу 3.

(Примечание: поскольку среднее значение равно единице, тот же средний временной масштаб может быть получен путем использования вместо этого на шаге 9. Однако в этом случае задержка, связанная с переходом i , не будет извлечена из распределения Пуассона, описываемого формулой скорость , но вместо этого будет средним значением этого распределения.) $\ln(1/u^{\prime })$ $\Delta t=Q_{k}^{-1}$ $Q_{k}$

Этот алгоритм известен в различных источниках по- разному , как алгоритм нахождените время или п - кратное способ или Bortz-Калос-Лебовица (BKL) алгоритм. Важно отметить, что задействованный временной шаг является функцией вероятности того, что все события i не произошли.

Отклонение KMC [ править ]

Отклонение KMC обычно имеет преимущество более простой обработки данных и более быстрых вычислений для каждого предпринятого шага, поскольку нет необходимости в трудоемких действиях по получению всего . С другой стороны, время эволюции на каждом шаге меньше, чем для rfKMC. Относительный вес плюсов и минусов зависит от конкретного случая и имеющихся ресурсов. $r_{ki}$

RKMC, связанный с той же скоростью перехода, что и выше, может быть записан следующим образом:

Установите время . $t=0$
Выберите начальное состояние k .
Получите количество всех возможных скоростей перехода из состояния k в общее состояние i . $N_{k}$
Найдите событие- кандидат для выполнения i путем равномерной выборки из переходов выше. $N_{k}$
Принять событие с вероятностью , где - подходящая верхняя граница . Часто легко найти, не вычисляя все (например, для вероятностей переходов в Метрополисе). $f_{ki}=r_{ki}/r_{0}$ $r_{0}$ $r_{ki}$ $r_{0}$ $r_{ki}$
Если принято, выполните событие i (обновите текущее состояние ). $k\rightarrow i$
Получите новое равномерное случайное число . $u^{\prime }\in (0,1]$
Обновите время с помощью , где . $t=t+\Delta t$ $\Delta t=(N_{k}r_{0})^{-1}\ln(1/u^{\prime })$
Вернитесь к шагу 3.

(Примечание: может изменяться от одного шага MC к другому.) Этот алгоритм обычно называют стандартным алгоритмом . $r_{0}$

Были предоставлены теоретические ^[1] и численные ^[2]^[3] сравнения между алгоритмами.

Зависящие от времени алгоритмы [ править ]

Если скорости зависят от времени, шаг 9 в rfKMC должен быть изменен следующим образом: ^[4] $r_{ki}(t)$

\int _{0}^{\Delta t}Q_{k}(t')dt'=\ln(1/u^{\prime })

.

После этого необходимо выбрать реакцию (шаг 6).

R_{k,i-1}(\Delta t)<uQ_{k}(\Delta t)\leq R_{ki}(\Delta t)

Другой очень похожий алгоритм называется методом первой реакции (FRM). Он состоит в выборе первой реакции, то есть в выборе наименьшего времени и соответствующего номера реакции i по формуле $\Delta t_{i}$

\int _{0}^{\Delta t_{i}}r_{ki}(t')dt'=\ln(1/u_{i})

,

где - N случайных чисел. $u_{i}\in (0,1]$

Комментарии к алгоритму [ править ]

Ключевым свойством алгоритма KMC (и алгоритма FRM) является то, что если скорости верны, если процессы, связанные со скоростями, относятся к типу процесса Пуассона , и если разные процессы независимы (т. Е. Не коррелированы), то KMC алгоритм дает правильный масштаб времени для развития моделируемой системы. Были некоторые споры о правильности шкалы времени для алгоритмов rKMC, но это также было строго доказано, что это правильно. ^[1]

Если, кроме того, переходы следуют подробному балансу , алгоритм KMC можно использовать для моделирования термодинамического равновесия. Однако KMC широко используется для моделирования неравновесных процессов ^{[5], и} в этом случае нет необходимости соблюдать подробный баланс.

Алгоритм rfKMC эффективен в том смысле, что каждая итерация гарантирует переход. Однако в представленной выше форме он требует операций для каждого перехода, что не слишком эффективно. Во многих случаях это можно значительно улучшить, объединяя однотипные переходы в интервалы и / или формируя древовидную структуру данных событий. Алгоритм постоянного масштабирования этого типа был недавно разработан и протестирован. ^[6] $N$

Основным недостатком rfKMC является то, что все возможные скорости и реакции должны быть известны заранее. Сам метод ничего не может сделать для их предсказания. Скорости и реакции должны быть получены из других методов, таких как диффузионные (или другие) эксперименты, молекулярная динамика или моделирование теории функционала плотности . $r_{ki}$

Примеры использования [ править ]

KMC использовался при моделировании следующих физических систем:

Поверхностная диффузия
Подвижность дислокаций ^[7]^[8]
Рост поверхности ^[9]
Диффузия вакансий в сплавах (это было первоначальное использование ^[10] )
Углубление эволюции домена
Подвижность и кластеризация дефектов в твердых телах, облученных ионами или нейтронами, включая, помимо прочего, модели накопления повреждений и аморфизации / рекристаллизации.
Вязкоупругость физически сшитых сетей ^[11]

Чтобы дать представление о том, какие «объекты» и «события» могут быть на практике, вот один конкретный простой пример, соответствующий примеру 2 выше.

Рассмотрим систему, в которой отдельные атомы осаждаются на поверхность по одному (типично для физического осаждения из паровой фазы ), но также могут мигрировать по поверхности с известной скоростью скачка . В этом случае «объектами» алгоритма KMC являются просто отдельные атомы. $w$

Если два атома подходят друг к другу, они становятся неподвижными. Затем поток поступающих атомов определяет скорость _{депонирования}r , и система может быть смоделирована с помощью KMC, учитывая все осажденные подвижные атомы, которые (еще) не встретили своего двойника и стали неподвижными. Таким образом, на каждом шаге KMC возможны следующие события:

Новый атом приходит со ставкой 'r _{депозита}
Уже осажденный атом перескакивает на одну ступеньку со скоростью w .

После того, как событие было выбрано и выполнено с помощью алгоритма KMC, необходимо проверить, стал ли новый или только что перешедший атом непосредственно смежным с каким-либо другим атомом. Если это произошло, атом (атомы), которые теперь находятся рядом, необходимо удалить из списка мобильных атомов и, соответственно, удалить их события перехода из списка возможных событий.

Естественно, применяя КМК к проблемам физики и химии, нужно сначала рассмотреть, достаточно ли хорошо реальная система следует допущениям, лежащим в основе КМК. Реальные процессы не обязательно имеют четко определенные скорости, переходные процессы могут быть коррелированы, в случае прыжков атома или частицы скачки могут не происходить в случайных направлениях и так далее. При моделировании сильно различающихся временных масштабов необходимо также учитывать, могут ли новые процессы присутствовать в более длительных временных масштабах. Если какая-либо из этих проблем верна, временная шкала и развитие системы, предсказанные KMC, могут быть искажены или даже полностью неверны.

История [ править ]

Первая публикация, описывающая основные особенности метода KMC (а именно использование кумулятивной функции для выбора события и вычисления шкалы времени в форме 1 / R ), была написана Янгом и Элкоком в 1966 году. ^[10] Алгоритм времени пребывания. также был опубликован примерно в то же время. ^[12]

Очевидно, независимо от работ Янга и Элкока, Борц, Калос и Лебовиц ^[2] разработали алгоритм KMC для моделирования модели Изинга , который они назвали n-кратным способом . Основы их алгоритма такие же, как у Янга ^[10], но они предоставляют гораздо более подробную информацию о методе.

В следующем году Дэн Гиллеспи опубликовал то, что сейчас известно как алгоритм Гиллеспи для описания химических реакций. ^[13] Алгоритм аналогичен, а схема временного продвижения по существу такая же, как в KMC.

На момент написания этого документа (июнь 2006 г.) не существует окончательного трактата по теории KMC, но Фихторн и Вайнберг подробно обсудили теорию моделирования термодинамического равновесия KMC. ^[14] Хорошее введение дано также Art Voter, ^[15] [1] и APJ Jansen, ^[16] [2] , а недавний обзор - (Chatterjee 2007) ^[17] или (Chotia 2008). ^[18] Обоснование КМК как крупнозернистой ланжевеновской динамики с использованием подхода квазистационарного распределения было развито Т. Лельевром и сотрудниками. ^[19] ^[20]

В марте 2006 года Synopsys выпустила, вероятно, первое коммерческое программное обеспечение, использующее кинетический Монте-Карло для моделирования диффузии и активации / деактивации легирующих примесей в кремнии и кремнийоподобных материалах , о чем сообщили Martin-Bragado et al. ^[21]

Разновидности КМК [ править ]

Метод KMC можно подразделить по тому, как движутся объекты или происходят реакции. Используются как минимум следующие подразделения:

Решетка KMC ( LKMC ) означает KMC, осуществляемую на атомной решетке . Часто эту разновидность также называют атомистической KMC, ( AKMC ). Типичным примером является моделирование диффузии вакансий в сплавах , где вакансии позволяют прыгать по решетке со скоростью, зависящей от локального элементного состава. ^[22]
Объект KMC ( OKMC ) означает KMC, выполняемый для дефектов или примесей , которые прыгают либо в случайном, либо в специфическом для решетки направлениях. В моделирование включаются только положения прыгающих объектов, а не положения «фоновых» атомов решетки. Базовый шаг KMC - это прыжок на один объект.
Событие KMC ( EKMC ) или KMC первого прохода ( FPKMC ) означает разновидность OKMC, в которой с помощью алгоритма KMC выбирается следующая реакция между объектами (например, кластеризация двух примесей или вакансии - межузельная аннигиляция) с учетом положения объектов, и это мероприятие выполняется немедленно. ^[23]^[24]

Ссылки [ править ]

^ a b Серебринский, Сантьяго А. (31 марта 2011 г.). "Физическая шкала времени в кинетическом моделировании методом Монте-Карло цепей Маркова с непрерывным временем". Physical Review E . Американское физическое общество (APS). 83 (3): 037701. DOI : 10,1103 / physreve.83.037701 . ISSN 1539-3755 . PMID 21517635 .
^ а б Борц А.Б .; Kalos, MH; Лебовиц, JL (1975). «Новый алгоритм моделирования методом Монте-Карло спиновых систем Изинга». Журнал вычислительной физики . Elsevier BV. 17 (1): 10–18. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (75) 90060-1 . ISSN 0021-9991 .
↑ Садик, Абдулла (1984). «Новый алгоритм Монте-Карло моделирования кинетики спинового обмена систем Изинга». Журнал вычислительной физики . Elsevier BV. 55 (3): 387–396. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (84) 90028-7 . ISSN 0021-9991 .
^ Прадос, А .; Брей, JJ; Санчес-Рей, Б. (1997). «Динамический алгоритм Монте-Карло для основных уравнений с зависящими от времени скоростями перехода». Журнал статистической физики . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 89 (3–4): 709–734. DOI : 10.1007 / bf02765541 . ISSN 0022-4715 . S2CID 122985615 .
^ Meng, B .; Вайнберг, WH (1994). «Моделирование методом Монте-Карло спектров десорбции с программированием температуры». Журнал химической физики . Издательство AIP. 100 (7): 5280–5289. DOI : 10.1063 / 1.467192 . ISSN 0021-9606 .
^ Слепой, Александр; Thompson, Aidan P .; Плимптон, Стивен Дж. (28 мая 2008 г.). «Кинетический алгоритм Монте-Карло с постоянным временем для моделирования больших сетей биохимических реакций». Журнал химической физики . Издательство AIP. 128 (20): 205101. DOI : 10,1063 / 1,2919546 . ISSN 0021-9606 . PMID 18513044 .
^ Cai, W .; Булатов, В.В.; Хусто, JF; Argon, AS; Ип, С. (2000). «Собственная подвижность диссоциированной дислокации в кремнии» . Phys. Rev. Lett . 84 (15): 3346–9. Bibcode : 2000PhRvL..84.3346C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.3346 . PMID 11019086 . S2CID 20680466 .
^ Cai, W .; Булатов, В.В.; Хусто, JF; Argon, AS; Ип, С. (2002). «Кинетический подход Монте-Карло к моделированию подвижности дислокаций». Comput. Матер. Sci . 23 (1–4): 124–130. DOI : 10.1016 / S0927-0256 (01) 00223-3 .
^ Meng, B .; Вайнберг, WH (1996). "Динамические исследования методом Монте-Карло моделей эпитаксиального роста молекулярного пучка: межфазное масштабирование и морфология". Наука о поверхности . Elsevier BV. 364 (2): 151–163. DOI : 10.1016 / 0039-6028 (96) 00597-3 . ISSN 0039-6028 .
^ a b c Янг, WM; Элкок, EW (1966). "Монте-Карло исследования миграции вакансий в бинарных упорядоченных сплавах: I". Труды физического общества . IOP Publishing. 89 (3): 735–746. DOI : 10.1088 / 0370-1328 / 89/3/329 . ISSN 0370-1328 .
^ Baeurle, Stephan A .; Усами, Такао; Гусев, Андрей А. (2006). «Новый подход многомасштабного моделирования для прогнозирования механических свойств полимерных наноматериалов». Полимер . Elsevier BV. 47 (26): 8604–8617. DOI : 10.1016 / j.polymer.2006.10.017 . ISSN 0032-3861 .
^ DR Кокс и HD Миллер, Теория случайных процессов (Метуэн, Лондон), 1965, стр. 6–7.
Перейти ↑ Gillespie, Daniel T (1976). «Общий метод численного моделирования стохастической временной эволюции связанных химических реакций». Журнал вычислительной физики . Elsevier BV. 22 (4): 403–434. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (76) 90041-3 . ISSN 0021-9991 .
^ Fichthorn, Kristen A .; Вайнберг, WH (15 июля 1991 г.). «Теоретические основы динамического моделирования Монте-Карло». Журнал химической физики . Издательство AIP. 95 (2): 1090–1096. DOI : 10.1063 / 1.461138 . ISSN 0021-9606 .
^ AF Voter, Введение в кинетический метод Монте-Карло, в Радиационные эффекты в твердых телах, под редакцией KE Sickafus и EA Kotomin (Springer, Издательское подразделение НАТО, Дордрехт, Нидерланды, 2005).
^ APJ Jansen, Введение в моделирование поверхностных реакций методом Монте-Карло, конденсированное вещество, аннотация cond-mat / 0303028 .
^ Чаттерджи, Абхиджит; Влахос, Дионисиос Г. (28 февраля 2007 г.). «Обзор пространственных микроскопических и ускоренных кинетических методов Монте-Карло». Журнал компьютерного проектирования материалов . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 14 (2): 253–308. DOI : 10.1007 / s10820-006-9042-9 . ISSN 0928-1045 . S2CID 53336314 .
^ Chotia, Amodsen; Вито, Матье; Фогт, Тибо; Comparat, Daniel; Пилле, Пьер (30 апреля 2008 г.). «Кинетическое моделирование методом Монте-Карло дипольной блокады в эксперименте по ридберговскому возбуждению» . Новый журнал физики . IOP Publishing. 10 (4): 045031. DOI : 10,1088 / 1367-2630 / 10/4/045031 . ISSN 1367-2630 .
^ Ди Джезу, Джакомо; Лельевр, Тони; Ле Пейтрек, Дориан; Некту, Борис (2016). "Скачкообразные модели Маркова и теория переходного состояния: подход квазистационарного распределения". Фарадеевская дискуссия . 195 : 469-495. arXiv : 1605.02643 . DOI : 10.1039 / C6FD00120C . ISSN 1364-5498 .
^ Lelièvre, Тони (2018). «Математические основы методов ускоренной молекулярной динамики». В Андреони, Ванда; Ип, Сидней (ред.). Справочник по моделированию материалов . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-319-44677-6_27 . ISBN 978-3-319-44677-6.
^ Мартин-Брагадо, Игнасио; Tian, S .; Johnson, M .; Castrillo, P .; Pinacho, R .; Rubio, J .; Жараиз, М. (2006). «Моделирование заряженных дефектов, диффузии примесей и механизмов активации для моделирования TCAD с использованием кинетического Монте-Карло». Ядерные инструменты и методы в физических исследованиях Секция B: Взаимодействие пучков с материалами и атомами . Elsevier BV. 253 (1–2): 63–67. DOI : 10.1016 / j.nimb.2006.10.035 . ISSN 0168-583X .
^ Мейсон, доктор философии; Хадсон, ТС; Саттон, AP (январь 2005 г.). «Быстрое воспроизведение истории состояний в кинетическом моделировании Монте-Карло с использованием ключа Зобриста». Компьютерная физика . 165 (1): 37–48. Bibcode : 2005CoPhC.165 ... 37M . DOI : 10.1016 / j.cpc.2004.09.007 .
^ Далла Торре, Дж .; Bocquet, J.-L .; Doan, NV; Adam, E .; Барбу, А. (2005). «JERK, основанная на событиях кинетическая модель Монте-Карло для прогнозирования эволюции микроструктуры материалов при облучении». Философский журнал . Informa UK Limited. 85 (4–7): 549–558. DOI : 10.1080 / 02678370412331320134 . ISSN 1478-6435 . S2CID 96878847 .
^ Опплеструп, Томас; Булатов, Василий В .; Гилмер, Джордж Х .; Kalos, Malvin H .; Садиг, Бабак (4 декабря 2006 г.). "Алгоритм Монте-Карло первого прохождения: диффузия без всяких прыжков". Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 97 (23): 230602. DOI : 10,1103 / physrevlett.97.230602 . ISSN 0031-9007 . PMID 17280187 .

Внешние ссылки [ править ]

Трехмерное решеточное кинетическое моделирование методом Монте-Карло на "битовом языке"
KMC-моделирование неустойчивости Плато-Рэлея
КМК-моделирование диффузии на вицинальной (100) поверхности ГЦК
Стохастическая кинетическая модель среднего поля (дает те же результаты, что и решеточно-кинетический Монте-Карло, однако гораздо более экономична и проста в реализации - предоставляется программный код с открытым исходным кодом)

[Serebrinsky2011-1] Серебринский, Сантьяго А. (31 марта 2011 г.). "Физическая шкала времени в кинетическом моделировании методом Монте-Карло цепей Маркова с непрерывным временем". Physical Review E . Американское физическое общество (APS). 83 (3): 037701. DOI : 10,1103 / physreve.83.037701 . ISSN 1539-3755 . PMID 21517635 .

[Bortz1975-2] а б Борц А.Б .; Kalos, MH; Лебовиц, JL (1975). «Новый алгоритм моделирования методом Монте-Карло спиновых систем Изинга». Журнал вычислительной физики . Elsevier BV. 17 (1): 10–18. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (75) 90060-1 . ISSN 0021-9991 .

[Sadiq1984-3] Садик, Абдулла (1984). «Новый алгоритм Монте-Карло моделирования кинетики спинового обмена систем Изинга». Журнал вычислительной физики . Elsevier BV. 55 (3): 387–396. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (84) 90028-7 . ISSN 0021-9991 .

[4] Прадос, А .; Брей, JJ; Санчес-Рей, Б. (1997). «Динамический алгоритм Монте-Карло для основных уравнений с зависящими от времени скоростями перехода». Журнал статистической физики . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 89 (3–4): 709–734. DOI : 10.1007 / bf02765541 . ISSN 0022-4715 . S2CID 122985615 .

[5] Meng, B .; Вайнберг, WH (1994). «Моделирование методом Монте-Карло спектров десорбции с программированием температуры». Журнал химической физики . Издательство AIP. 100 (7): 5280–5289. DOI : 10.1063 / 1.467192 . ISSN 0021-9606 .

[6] Слепой, Александр; Thompson, Aidan P .; Плимптон, Стивен Дж. (28 мая 2008 г.). «Кинетический алгоритм Монте-Карло с постоянным временем для моделирования больших сетей биохимических реакций». Журнал химической физики . Издательство AIP. 128 (20): 205101. DOI : 10,1063 / 1,2919546 . ISSN 0021-9606 . PMID 18513044 .

[7] Cai, W .; Булатов, В.В.; Хусто, JF; Argon, AS; Ип, С. (2000). «Собственная подвижность диссоциированной дислокации в кремнии» . Phys. Rev. Lett . 84 (15): 3346–9. Bibcode : 2000PhRvL..84.3346C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.3346 . PMID 11019086 . S2CID 20680466 .

[8] Cai, W .; Булатов, В.В.; Хусто, JF; Argon, AS; Ип, С. (2002). «Кинетический подход Монте-Карло к моделированию подвижности дислокаций». Comput. Матер. Sci . 23 (1–4): 124–130. DOI : 10.1016 / S0927-0256 (01) 00223-3 .

[9] Meng, B .; Вайнберг, WH (1996). "Динамические исследования методом Монте-Карло моделей эпитаксиального роста молекулярного пучка: межфазное масштабирование и морфология". Наука о поверхности . Elsevier BV. 364 (2): 151–163. DOI : 10.1016 / 0039-6028 (96) 00597-3 . ISSN 0039-6028 .

[:0-10] Янг, WM; Элкок, EW (1966). "Монте-Карло исследования миграции вакансий в бинарных упорядоченных сплавах: I". Труды физического общества . IOP Publishing. 89 (3): 735–746. DOI : 10.1088 / 0370-1328 / 89/3/329 . ISSN 0370-1328 .

[11] Baeurle, Stephan A .; Усами, Такао; Гусев, Андрей А. (2006). «Новый подход многомасштабного моделирования для прогнозирования механических свойств полимерных наноматериалов». Полимер . Elsevier BV. 47 (26): 8604–8617. DOI : 10.1016 / j.polymer.2006.10.017 . ISSN 0032-3861 .

[12] DR Кокс и HD Миллер, Теория случайных процессов (Метуэн, Лондон), 1965, стр. 6–7.

[13] Перейти ↑ Gillespie, Daniel T (1976). «Общий метод численного моделирования стохастической временной эволюции связанных химических реакций». Журнал вычислительной физики . Elsevier BV. 22 (4): 403–434. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (76) 90041-3 . ISSN 0021-9991 .

[14] Fichthorn, Kristen A .; Вайнберг, WH (15 июля 1991 г.). «Теоретические основы динамического моделирования Монте-Карло». Журнал химической физики . Издательство AIP. 95 (2): 1090–1096. DOI : 10.1063 / 1.461138 . ISSN 0021-9606 .

[15] AF Voter, Введение в кинетический метод Монте-Карло, в Радиационные эффекты в твердых телах, под редакцией KE Sickafus и EA Kotomin (Springer, Издательское подразделение НАТО, Дордрехт, Нидерланды, 2005).

[16] APJ Jansen, Введение в моделирование поверхностных реакций методом Монте-Карло, конденсированное вещество, аннотация cond-mat / 0303028 .

[17] Чаттерджи, Абхиджит; Влахос, Дионисиос Г. (28 февраля 2007 г.). «Обзор пространственных микроскопических и ускоренных кинетических методов Монте-Карло». Журнал компьютерного проектирования материалов . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 14 (2): 253–308. DOI : 10.1007 / s10820-006-9042-9 . ISSN 0928-1045 . S2CID 53336314 .

[18] Chotia, Amodsen; Вито, Матье; Фогт, Тибо; Comparat, Daniel; Пилле, Пьер (30 апреля 2008 г.). «Кинетическое моделирование методом Монте-Карло дипольной блокады в эксперименте по ридберговскому возбуждению» . Новый журнал физики . IOP Publishing. 10 (4): 045031. DOI : 10,1088 / 1367-2630 / 10/4/045031 . ISSN 1367-2630 .

[19] Ди Джезу, Джакомо; Лельевр, Тони; Ле Пейтрек, Дориан; Некту, Борис (2016). "Скачкообразные модели Маркова и теория переходного состояния: подход квазистационарного распределения". Фарадеевская дискуссия . 195 : 469-495. arXiv : 1605.02643 . DOI : 10.1039 / C6FD00120C . ISSN 1364-5498 .

[20] Lelièvre, Тони (2018). «Математические основы методов ускоренной молекулярной динамики». В Андреони, Ванда; Ип, Сидней (ред.). Справочник по моделированию материалов . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-319-44677-6_27 . ISBN 978-3-319-44677-6.

[21] Мартин-Брагадо, Игнасио; Tian, S .; Johnson, M .; Castrillo, P .; Pinacho, R .; Rubio, J .; Жараиз, М. (2006). «Моделирование заряженных дефектов, диффузии примесей и механизмов активации для моделирования TCAD с использованием кинетического Монте-Карло». Ядерные инструменты и методы в физических исследованиях Секция B: Взаимодействие пучков с материалами и атомами . Elsevier BV. 253 (1–2): 63–67. DOI : 10.1016 / j.nimb.2006.10.035 . ISSN 0168-583X .

[22] Мейсон, доктор философии; Хадсон, ТС; Саттон, AP (январь 2005 г.). «Быстрое воспроизведение истории состояний в кинетическом моделировании Монте-Карло с использованием ключа Зобриста». Компьютерная физика . 165 (1): 37–48. Bibcode : 2005CoPhC.165 ... 37M . DOI : 10.1016 / j.cpc.2004.09.007 .

[23] Далла Торре, Дж .; Bocquet, J.-L .; Doan, NV; Adam, E .; Барбу, А. (2005). «JERK, основанная на событиях кинетическая модель Монте-Карло для прогнозирования эволюции микроструктуры материалов при облучении». Философский журнал . Informa UK Limited. 85 (4–7): 549–558. DOI : 10.1080 / 02678370412331320134 . ISSN 1478-6435 . S2CID 96878847 .

[24] Опплеструп, Томас; Булатов, Василий В .; Гилмер, Джордж Х .; Kalos, Malvin H .; Садиг, Бабак (4 декабря 2006 г.). "Алгоритм Монте-Карло первого прохождения: диффузия без всяких прыжков". Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 97 (23): 230602. DOI : 10,1103 / physrevlett.97.230602 . ISSN 0031-9007 . PMID 17280187 .

[1]