В физической теории узлов , энергия узла является функциональной на пространстве всех узлов конформации. Конформация узла - это конкретное вложение круга в трехмерное пространство. В зависимости от потребностей энергетической функции пространство конформаций ограничивается достаточно хорошо управляемым классом. Например, можно рассматривать только многоугольные окружности или функции C 2 . Свойство функционала часто требует, чтобы эволюция узла при градиентном спуске не меняла тип узла.
Электрический заряд [ править ]
Самый распространенный тип энергии узла исходит из интуиции, что узел электрически заряжен . Закон Кулона гласит, что два электрических заряда одного знака будут отталкиваться друг от друга как обратный квадрат расстояния . Таким образом, узел будет развиваться при градиентном спуске в соответствии с электрическим потенциалом до идеальной конфигурации, которая минимизирует электростатическую энергию. При наивном определении интеграл для энергии будет расходиться, и необходим трюк с регуляризацией из физики, вычитающий член из энергии. Кроме того, узел может изменить тип узла в процессе эволюции, если не предотвратить самопересечения .
Варианты [ править ]
Электростатическая энергия многоугольных узлов была изучена Фукухарой в 1987 году [1], а вскоре после этого другая, геометрическая энергия была изучена Сакумой. [2] [3] В 1988 году Джун О'Хара определил узловую энергию, основанную на электростатической энергии, энергии Мёбиуса . [4] Фундаментальное свойство энергетической функции О'Хара состоит в том, что существуют бесконечные энергетические барьеры для прохождения узла через себя. С некоторыми дополнительными ограничениями О'Хара показал, что существует только конечное число типов узлов с энергией меньше заданной границы. Позже Фридман, Хэ и Ван сняли эти ограничения. [5]
Ссылки [ править ]
- ↑ Фукухара, Синдзи (1988), «Энергия узла», Праздник топологии , Academic Press, Бостон, Массачусетс, стр. 443–451, MR 0928412.
- ↑ Sakuma, M. (1987), «Проблема № 8», в Kojima, S .; Негами С. (ред.), Сборник задач «Низкоразмерная топология и связанные с ней вопросы» (на японском языке), с. 7. Цитируется Langevin & O'Hara (2005) .
- ^ Langevin, R .; О'Хара, Дж. (2005), «Конформно инвариантные энергии узлов», Журнал Института математики Жассиу , 4 (2): 219–280, arXiv : math.GT/0409396 , doi : 10.1017 / S1474748005000058 , Руководство по ремонту 2135138 .
- ^ О'Хара, июн (1991), «Энергия узла», Топология , 30 (2): 241–247, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (91) 90010-2 , MR 1098918 .
- ^ Фридман, Майкл Х .; Он, Чжэн-Сюй; Ван, Zhenghan (1994), "Мебиус энергия узлов и unknots", Анналы математики , второй серии, 139 (1): 1-50, DOI : 10,2307 / 2946626 , MR 1259363 .
