Метод усреднения Крылова-Боголюбова ( Крылова-Боголюбова метод усреднения ) представляет собой математический метод приближенного анализа колебательных процессов в нелинейной механике. [1] Метод основан на принципе усреднения, когда точное дифференциальное уравнение движения заменяется его усредненной версией. Метод назван в честь Николая Крылова и Николая Боголюбова .
Различные схемы усреднения для исследования задач небесной механики использовались со времен работ Гаусса , Фату , Делоне , Хилла . Важность вклада Крылова и Боголюбова заключается в том, что они разработали общий подход к усреднению и доказали, что решение усредненной системы приближает точную динамику. [2] [3] [4]
Задний план
Усреднение Крылова – Боголюбова можно использовать для аппроксимации колебательных задач, когда классическое разложение возмущений не удается. Это сингулярные задачи о возмущениях колебательного типа, например поправка Эйнштейна к прецессии перигелия Меркурия . [5]
Вывод
Метод имеет дело с дифференциальными уравнениями в виде
для гладкой функции f с соответствующими начальными условиями. Предполагается, что параметр ε удовлетворяет
Если ε = 0, то уравнение превращается в уравнение простого гармонического осциллятора с постоянным воздействием, и общее решение имеет вид
где A и B выбраны так, чтобы соответствовать начальным условиям. Предполагается, что решение возмущенного уравнения (когда ε ≠ 0) принимает ту же форму, но теперь A и B могут изменяться с t (и ε ). Если также предположить, что
тогда можно показать, что A и B удовлетворяют дифференциальному уравнению: [5]
где . Обратите внимание, что это уравнение все еще точное - никаких приближений еще не сделано. Метод Крылова и Боголюбова заключается в том, чтобы отметить, что функции A и B медленно меняются со временем (пропорционально ε), поэтому их зависимость от может быть (приблизительно) удалено усреднением в правой части предыдущего уравнения:
где а также фиксируются во время интеграции. После решения этой (возможно) более простой системы дифференциальных уравнений усредненное приближение Крылова – Боголюбова для исходной функции будет иметь следующий вид:
Было показано, что это приближение удовлетворяет [6]
где t удовлетворяет
для некоторых констант а также , не зависящие от ε.
Рекомендации
- ^ Метод Крылова – Боголюбова усреднения в Энциклопедии математики
- ↑ Н. М. Крылов; Н. Н. Боголюбов (1935). Подходы методов нелинейной механики в приложении «Aeetude de la perturbation des mouvements periodiques» различных феноменов резонанса и взаимопонимания (на французском языке). Киев: Академия наук Украины.
- ^ Н.М. Крылов; Н. Н. Боголюбов (1937). Введение в нелинейную механику . Киев: Изд-во АН СССР.
- ^ Н.М. Крылов; Н. Н. Боголюбов (1947). Введение в нелинейную механику . Princeton: Princeton Univ. Нажмите. ISBN 9780691079851.
- ^ а б Смит, Дональд (1985). Теория сингулярных возмущений . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-30042-8.
- ^ Боголюбов, Н. (1961). Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний . Париж: Гордон и Брич. ISBN 978-0-677-20050-7.