Сингулярное возмущение

В математике , А сингулярное возмущение является проблема , содержащей малый параметр , который не может быть аппроксимирован путем установки значения параметра к нулю. Точнее, решение нельзя равномерно аппроксимировать асимптотическим разложением

\varphi (x)\approx \sum _{n=0}^{N}\delta _{n}(\varepsilon )\psi _{n}(x)\,

как . Вот малый параметр задачи и последовательность функций возрастающего порядка, например . Это контрастирует с регулярными задачами возмущения , для которых может быть получено равномерное приближение такого вида. Проблемы с сингулярным возмущением обычно характеризуются динамикой, действующей в нескольких масштабах. Ниже описаны несколько классов сингулярных возмущений. $\varepsilon \to 0$ $\varepsilon$ $\delta _{n}(\varepsilon )$ $\varepsilon$ $\delta _{n}(\varepsilon )=\varepsilon ^{n}$

Термин «сингулярное возмущение» был придуман в 1940-х годах Куртом Отто Фридрихсом и Вольфгангом Р. Вазоу . ^[1]

Методы анализа [ править ]

Возмущенная задача, решение которой может быть аппроксимировано на всей области задачи, будь то пространство или время, одним асимптотическим разложением, имеет регулярное возмущение . Чаще всего в приложениях приемлемое приближение к регулярно возмущенной задаче находят простой заменой малого параметра нулем везде в постановке задачи. Это соответствует взятию только первого члена разложения, что дает приближение, которое сходится, возможно, медленно, к истинному решению как $\varepsilon$ $\varepsilon$ уменьшается. Решение сингулярно возмущенной задачи не может быть аппроксимировано таким образом: как видно из приведенных ниже примеров, сингулярное возмущение обычно возникает, когда малый параметр задачи умножает ее старший оператор. Таким образом, наивное принятие параметра равным нулю меняет саму суть проблемы. В случае дифференциальных уравнений граничные условия не могут быть выполнены; в алгебраических уравнениях возможное количество решений уменьшается.

Теория сингулярных возмущений - это обширная и непрерывная область исследований для математиков, физиков и других исследователей. Для решения проблем в этой области используется множество методов. К наиболее основным из них относятся метод согласованных асимптотических разложений и приближение ВКБ для пространственных задач, а во времени метод Пуанкаре – Линдштедта , метод нескольких масштабов и периодического усреднения .

Для книг по сингулярным возмущениям в ОДУ и УЧП см., Например, Холмс, Введение в методы возмущений , ^[2] Хинч, Методы возмущений ^[3] или Бендер и Орзаг , Расширенные математические методы для ученых и инженеров . ^[4]

Примеры сингулярных пертурбативных задач [ править ]

Каждый из описанных ниже примеров показывает, как наивный анализ возмущений, предполагающий, что проблема является регулярной, а не единичной, потерпит неудачу. Некоторые показывают, как проблема может быть решена более сложными сингулярными методами.

Исчезающие коэффициенты в обыкновенных дифференциальных уравнениях [ править ]

Дифференциальные уравнения, которые содержат небольшой параметр, который умножает член высшего порядка, обычно имеют пограничные слои, так что решение развивается в двух разных масштабах. Например, рассмотрим краевую задачу

{\begin{matrix}\varepsilon u^{\prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)=-e^{-x},\ \ 0<x<1\\u(0)=0,\ \ u(1)=1.\end{matrix}}

Его решение, когда сплошная кривая показано ниже. Обратите внимание, что решение быстро меняется около начала координат. Если мы наивно установим , мы получили бы решение, помеченное ниже как «внешний», которое не моделирует пограничный слой, для которого x близко к нулю. Для получения дополнительных сведений о том, как получить равномерно действительное приближение, см. Метод согласованных асимптотических разложений . $\varepsilon =0.1$ $\varepsilon =0$

Примеры вовремя [ править ]

Робот-манипулятор с электрическим приводом может иметь более медленную механическую динамику и более быструю электрическую динамику, таким образом показывая две шкалы времени. В таких случаях мы можем разделить систему на две подсистемы, одна из которых соответствует более быстрой динамике, а другая - более медленной, а затем спроектировать контроллеры для каждой из них отдельно. Используя технику сингулярных возмущений, мы можем сделать эти две подсистемы независимыми друг от друга, тем самым упростив задачу управления.

Рассмотрим класс систем, описываемых следующей системой уравнений:

{\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,

\varepsilon {\dot {x}}_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{2}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,

x_{1}(0)=a_{1},x_{2}(0)=a_{2},\,

с . Второе уравнение показывает, что динамика намного быстрее, чем у . Теорема Тихонова ^[5] гласит, что при правильных условиях на систему она изначально и очень быстро приближает решение уравнений $0<\varepsilon <\!\!<1$ $x_{2}$ $x_{1}$

{\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2}),\,

f_{2}(x_{1},x_{2})=0,\,

x_{1}(0)=a_{1},\,

на некотором интервале времени и что при уменьшении к нулю система будет приближаться к решению более близко в том же интервале. ^[6] $\varepsilon$

Примеры в космосе [ править ]

В гидромеханике свойства слегка вязкой жидкости резко различаются снаружи и внутри узкого пограничного слоя . Таким образом, жидкость имеет несколько пространственных масштабов.

Реакционно-диффузионные системы, в которых один реагент диффундирует намного медленнее, чем другой, могут образовывать пространственные структуры, отмеченные областями, где реагент существует, и областями, где его нет, с резкими переходами между ними. В экологии модели хищник-жертва, такие как

u_{t}=\varepsilon u_{xx}+uf(u)-vg(u),\,

v_{t}=v_{xx}+vh(u),\,

где - жертва, а - хищник, демонстрируют такие закономерности. ^[7] $u$ $v$

Алгебраические уравнения [ править ]

Рассмотрим задачу поиска всех корней многочлена . В пределе эта кубика вырождается в квадратичную с корнями в . Подстановка регулярного ряда возмущений $p(x)=\varepsilon x^{3}-x^{2}+1$ $\varepsilon \to 0$ $1-x^{2}$ $x=\pm 1$

x(\varepsilon )=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}+\cdots

в уравнении и приравнивание равных степеней только дает поправки к этим двум корням: $\varepsilon$

x(\varepsilon )=\pm 1+{\frac {1}{2}}\varepsilon \pm {\frac {5}{8}}\varepsilon ^{2}+\cdots .

Чтобы найти другой корень, необходимо использовать анализ сингулярных возмущений. Затем мы должны иметь дело с тем фактом, что уравнение вырождается в квадратичное, когда мы стремимся к нулю, в этом пределе один из корней уходит в бесконечность. Чтобы этот корень не стал невидимым для пертурбативного анализа, мы должны изменить масштаб, чтобы отслеживать его с помощью этого экранирующего корня, чтобы с точки зрения масштабируемых переменных он не ускользнул. Мы определяем масштабируемую переменную, в которой показатель степени будет выбран таким образом, чтобы мы масштабировали достаточно быстро, чтобы корень имел конечное значение в пределах нуля, но так, чтобы он не сжимался до нуля там, где два других корня закончится. В плане у нас есть $\varepsilon$ $x$ $x={\frac {y}{\varepsilon ^{\nu }}}$ $\nu$ $y$ $\varepsilon$ $y$

y^{3}-\varepsilon ^{\nu -1}y^{2}+\varepsilon ^{3\nu -1}=0.

Мы можем видеть , что для преобладают младшие члены степени, в то время как он становится доминирующим , как термин в то время как оба они доминируют на оставшийся срок. Эта точка, когда член высшего порядка больше не обращается в нуль в пределе к нулю, становясь одинаково доминирующим для другого члена, называется значительным вырождением; это дает правильное изменение масштаба, чтобы оставшийся корень стал видимым. Этот выбор дает $\nu <1$ $y^{3}$ $\nu =1$ $y^{2}$ $\varepsilon$

y^{3}-y^{2}+\varepsilon ^{2}=0.

Подставляя ряд возмущений

y(\varepsilon )=y_{0}+\varepsilon ^{2}y_{1}+\varepsilon ^{4}y_{2}+\cdots

дает

y_{0}^{3}-y_{0}^{2}=0.

Затем нас интересует корень at ; двойной корень в - это два корня, которые мы нашли выше, которые стремятся к нулю в пределе бесконечного масштабирования. Затем вычисление первых нескольких членов ряда дает $y_{0}=1$ $y_{0}=0$

x(\varepsilon )={\frac {y(\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}-\varepsilon -2\varepsilon ^{3}+\cdots .

Ссылки [ править ]

^ Wasow, Вольфганг Р. (1981), "О ПРОБЛЕМАХ ГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ТЕОРИИ ОБЫЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ" , Центр математических исследований, Университет Висконсин-Мэдисон, Краткий технический отчет , 2244 : PDF-страница 5
^ Холмс, Марк Х. Введение в методы возмущений . Springer, 1995. ISBN 978-0-387-94203-2.
^ Хинч, EJ Методы возмущений . Cambridge University Press, 1991. ISBN 978-0-521-37897-0
^ Бендер, Карл М. и Орзаг, Стивен А. Передовые математические методы для ученых и инженеров . Springer, 1999. ISBN 978-0-387-98931-0.
^ Тихонов А. Н. (1952) "Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при производной", Матем. Сб. 31 (73), стр. 575–586.
↑ Verhulst, Фердинанд. Методы и приложения сингулярных возмущений: пограничные слои и множественная временная динамика , Springer, 2005. ISBN 0-387-22966-3 .
^ Оуэн, М.Р. и Льюис, М.А. «Как хищники могут замедлить, остановить илиобратить вспятьнашествие добычи», Бюллетень математической биологии (2001) 63, 655-684.

[1] Wasow, Вольфганг Р. (1981), "О ПРОБЛЕМАХ ГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ТЕОРИИ ОБЫЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ" , Центр математических исследований, Университет Висконсин-Мэдисон, Краткий технический отчет , 2244 : PDF-страница 5

[holmes-2] Холмс, Марк Х. Введение в методы возмущений . Springer, 1995. ISBN 978-0-387-94203-2.

[hinch-3] Хинч, EJ Методы возмущений . Cambridge University Press, 1991. ISBN 978-0-521-37897-0

[BO-4] Бендер, Карл М. и Орзаг, Стивен А. Передовые математические методы для ученых и инженеров . Springer, 1999. ISBN 978-0-387-98931-0.

[Tikhonov-5] Тихонов А. Н. (1952) "Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при производной", Матем. Сб. 31 (73), стр. 575–586.

[verhulst-6] Verhulst, Фердинанд. Методы и приложения сингулярных возмущений: пограничные слои и множественная временная динамика , Springer, 2005. ISBN 0-387-22966-3 .

[7] Оуэн, М.Р. и Льюис, М.А. «Как хищники могут замедлить, остановить илиобратить вспятьнашествие добычи», Бюллетень математической биологии (2001) 63, 655-684.

[1]