В теории возмущений метод Пуанкаре – Линдстедта или метод Линдстедта – Пуанкаре - это техника для равномерного приближения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений , когда подходы к регулярным возмущениям не работают. Метод удаляет секулярные члены -терминов растут без гранично-возникающих в прямом применении теории возмущений слабо нелинейные задачи с конечными осциллирующими решениями. [1]
Метод назван в честь Анри Пуанкаре , [2] и Андерс Линдштедт . [3]
Пример: уравнение Дуффинга
Незатухающее, невынужденное уравнение Дуффинга дается формулой
при t > 0, где 0 < ε ≪ 1. [4]
Рассмотрим начальные условия
Возмущений серии решение вида х ( т ) = х 0 ( т ) + ε х 1 ( т ) + ... ищется. Первые два члена серии
Это приближение неограниченно растет во времени, что несовместимо с физической системой, моделируемой уравнением . [5] Термин, ответственный за этот неограниченный рост, называемый светским термином , таков:. Метод Пуанкаре – Линдштедта позволяет создать приближение, которое является точным для всех времен, следующим образом.
Помимо выражения самого решения в виде асимптотического ряда , сформируйте еще один ряд, с помощью которого можно масштабировать время t :
- где
Для удобства взять omega ; 0 = 1 , так как ведущий порядок решения по угловой частоте равен 1. Тогда исходная задача становится
с такими же начальными условиями. Теперь найдите решение вида x ( τ ) = x 0 ( τ ) + ε x 1 ( τ ) +…. Получены следующие решения задачи нулевого и первого порядков по ε :
Таким образом, секулярный член может быть удален путем выбора: ω 1 = 3 ⁄ 8 . Более высокие порядки точности можно получить, продолжая анализ возмущений на этом пути. На данный момент приближение - правильное с точностью до первого порядка по ε - это
Ссылки и примечания
- ^ Дразин, PG (1992), Нелинейные системы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-40668-4С. 181–186.
- ^ Poincaré, H. (1957) [1893], Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste , II , Нью-Йорк: Dover Publ., §123 – §128.
- ↑ A. Lindstedt, Abh. К. Акад. Wiss. Санкт-Петербург 31, № 4 (1882)
- ^ Дж. Дэвид Логан. Прикладная математика , второе издание, John Wiley & Sons, 1997. ISBN 0-471-16513-1 .
- ^ Уравнение Дуффинга имеет инвариантную энергию = константа, как можно увидеть, умножив уравнение Дуффинга на и интегрирование по времени t . Для рассматриваемого примера из его начальных условий находится: E = ½ + ¼ ε .