В линейной алгебре , порядок - г Крылова подпространство , порожденное N матрицы с размерностью п матрицей А и вектор Ь размерность п является линейным подпространством , натянутого по изображениям из Ь под первой г степеням А (начиная с), это,
Задний план
Концепция названа в честь русского прикладного математика и морского инженера Алексея Крылова , опубликовавшего статью об этом в 1931 году [2].
Характеристики
- .
- Векторы линейно независимы до тех пор, пока , а также . - максимальная размерность подпространства Крылова.
- Для таких у нас есть а также , точнее , где - полином минимальной степени . (Обратите внимание, что для полинома, функция определяется как максимальный индекс для которого коэффициент в не равно нулю.)
- Существует такой, что .
- циклический подмодуль, порожденный от кручения -модуль , где линейное пространство на .
- можно разложить в прямую сумму подпространств Крылова.
Использовать
Подпространства Крылова используются в алгоритмах поиска приближенных решений многомерных задач линейной алгебры. [1]
Современные итерационные методы поиска одного (или нескольких) собственных значений больших разреженных матриц или решения больших систем линейных уравнений избегают матричных операций, а скорее умножают векторы на матрицу и работают с результирующими векторами. Начиная с вектора b , вычисляется, затем этот вектор умножается на найти и так далее. Все алгоритмы, которые работают таким образом, называются методами подпространства Крылова; они являются одними из самых успешных методов, доступных в настоящее время в численной линейной алгебре.
вопросы
Поскольку векторы обычно вскоре становятся почти линейно зависимыми из-за свойств степенной итерации , методы, основанные на подпространстве Крылова, часто включают некоторую схему ортогонализации , такую как итерация Ланцоша для эрмитовых матриц или итерация Арнольди для более общих матриц.
Существующие методы
Наилучшие известные методы подпространств Крылова являются Арнольди , Ланцош , сопряженный градиент , IDR (ы) (индуцированные понижения размерности), GMRES (обобщенным минимальным остаточным), BiCGSTAB (бисопряженный градиент стабилизированным), QMR (квази минимальным остаточным), TFQMR (transpose- свободный QMR) и MINRES (минимальная невязка).
Смотрите также
- Итерационный метод , в котором есть раздел о методах подпространства Крылова.
Рекомендации
- ^ a b Симончини, Валерия (2015), «Крыловские подпространства», в Николасе Дж. Хайэме; и другие. (ред.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, pp. 113–114.
- ^ Крылов, АН (1931). О численном решении уравнения, которое в технических задачах определяет частоты колебаний малых материальных систем. Известия Академии наук СССР . 7 (4): 491–539.
дальнейшее чтение
- Неванлинна, Олави (1993). Сходимость итераций для линейных уравнений . Лекции по математике ETH Zürich. Базель: Birkhäuser Verlag. стр. viii + 177 с. ISBN 3-7643-2865-7. Руководство по ремонту 1217705 .
- Саад, Юсеф (2003). Итерационные методы для разреженных линейных систем (2-е изд.). СИАМ . ISBN 0-89871-534-2. OCLC 51266114 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Жерар Меурант и Юрьен Дуинтьер Теббенс: «Методы Крылова для несимметричных линейных систем - от теории к вычислениям», Серия Springer по вычислительной математике, том 57, (октябрь 2020 г.). ISBN 978-3-030-55250-3 , url = https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0 .
- Иман Фарахбахш: «Методы подпространства Крылова с применением в решателях потоков несжимаемой жидкости», Wiley, ISBN 978-1119618683 (сентябрь 2020 г.).