Формула Кубо , названная в честь Риого Кубо, который впервые представил формулу в 1957 году [1] [2], представляет собой уравнение, которое выражает линейный отклик наблюдаемой величины из-за зависящего от времени возмущения .
Среди многочисленных приложений формулы Кубо можно вычислить зарядовую и спиновую восприимчивости систем электронов в ответ на приложенные электрические и магнитные поля. Также можно рассчитать реакцию на внешние механические силы и вибрации.
Общая формула Кубо
Рассмотрим квантовую систему, описываемую (не зависящим от времени) гамильтонианом . Ожидаемое значение физической величины, описываемое оператором, можно оценить как:
где - статистическая сумма . Предположим теперь, что чуть выше некоторого временик системе прикладывается внешнее возмущение. Возмущение описывается дополнительной временной зависимостью гамильтониана: где - функция Хевисайда (= 1 для положительных моментов времени, = 0 в противном случае) иэрмитов и определен для всех t , так что имеет для положительного снова полный набор действительных собственных значений Но эти собственные значения могут изменяться со временем.
Однако снова можно найти временную эволюцию матрицы плотности rsp. статистической суммы оценить математическое ожидание
Временная зависимость состояний регулируется уравнением Шредингера что, таким образом, определяет все, что, конечно, соответствует картине Шредингера . Но с тех порследует рассматривать как небольшое возмущение, теперь удобно использовать вместо представления картины взаимодействия ,в низшем нетривиальном порядке. Зависимость от времени в этом представлении определяется выражением где по определению для всех t и это:
В линейном порядке в , у нас есть . Таким образом, получается математическое ожидание с точностью до линейного порядка по возмущению.
Скобки означают равновесное среднее по гамильтониану Следовательно, хотя результат первого порядка по возмущению, он включает только собственные функции нулевого порядка, что обычно имеет место в теории возмущений, и устраняет все сложности, которые в противном случае могли бы возникнуть для .
Вышеприведенное выражение верно для любых операторов. (см. также Второе квантование ) [3]
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Кубо, Рёго (1957). "Статистико-механическая теория необратимых процессов. I. Общая теория и простые приложения к задачам магнетизма и проводимости" . J. Phys. Soc. Jpn . 12 : 570–586. DOI : 10,1143 / JPSJ.12.570 .
- ^ Кубо, Рёго; Йокота, Марио; Накадзима, Садао (1957). «Статистико-механическая теория необратимых процессов. II. Реакция на тепловые возмущения». J. Phys. Soc. Jpn . 12 : 1203–1211. DOI : 10,1143 / JPSJ.12.1203 .
- ^ Махан, GD (1981). много физики элементарных частиц . Нью-Йорк: спрингер. ISBN 0306463385.