Курамото модель

Модель Курамото (или модель Курамото-Дайдо ), впервые предложен Йосики Курамото (蔵本由紀, Курамото Йосики ) , ^{[1] [2]} является математической моделью , используемой для описания синхронизации . В частности, это модель поведения большого набора связанных осцилляторов . ^{[3] [4]} Его формулировка была мотивирована поведением систем химических и биологических осцилляторов, и он нашел широкое применение, например, в нейробиологии ^{[5] [6] [7][8]} и колеблющуюся динамику пламени. ^{[9] [10]} Курамото был весьма удивлен, когда поведение некоторых физических систем, а именно связанных массивов джозефсоновских контактов , следовало его модели. ^[11]

Модель делает несколько предположений, в том числе о слабой связи, о том, что генераторы идентичны или почти идентичны, и что взаимодействия синусоидально зависят от разности фаз между каждой парой объектов.

Определение [ править ]

Воспроизвести медиа

Фазовая синхронизация в модели Курамото

В наиболее популярной версии модели Курамото считается, что каждый из осцилляторов имеет собственную собственную частоту , и каждый из них в равной степени связан со всеми остальными осцилляторами. Удивительно, но эта полностью нелинейная модель может быть решена точно в пределе бесконечных осцилляторов, N → ∞; ^{[12] в качестве} альтернативы, используя аргументы самосогласованности, можно получить стационарные решения параметра порядка. ^[13]${\ displaystyle \ omega _ {я}}$

Самая популярная форма модели имеет следующие управляющие уравнения:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N}$,

где система состоит из N генераторов предельного цикла, с фазами и константой K .${\displaystyle \theta _{i}}$

В систему можно добавить шум. В этом случае исходное уравнение изменяется на:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\zeta _{i}+{\dfrac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})}$,

где - флуктуация и функция времени. Если считать шум белым шумом, то:${\displaystyle \zeta _{i}}$

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0}$ ,

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')}$

с обозначением силы шума.${\displaystyle D}$

Трансформация [ править ]

Преобразование, позволяющее точно решить эту модель (по крайней мере, в пределе N → ∞), выглядит следующим образом:

Определим параметры «порядка» r и ψ как

${\displaystyle re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta _{j}}}$.

Здесь r обозначает фазовую когерентность совокупности осцилляторов, а ψ обозначает среднюю фазу. Умножение этого уравнения только на мнимую часть дает:${\displaystyle e^{-i\theta _{i}}}$

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+Kr\sin(\psi -\theta _{i})}$.

Таким образом, уравнения осцилляторов больше не связаны явно; вместо этого параметры порядка определяют поведение. Обычно выполняется дальнейшее преобразование во вращающуюся систему отсчета, в которой среднее статистическое значение фаз по всем осцилляторам равно нулю (т.е. ). Наконец, основное уравнение становится:${\displaystyle \psi =0}$

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-Kr\sin(\theta _{i})}$.

Большой предел N [ править ]

Теперь рассмотрим случай, когда N стремится к бесконечности. Возьмем распределение собственных частот как g ( ω ) (предполагается нормированным ). Затем предположим, что плотность осцилляторов в данной фазе θ , с данной собственной частотой ω , в момент времени t равна . Нормализация требует, чтобы ${\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta =1.}$

Уравнение неразрывности для плотности осциллятора будет

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho v]=0,}$

где v - скорость дрейфа осцилляторов, заданная путем взятия предела бесконечности N в преобразованном основном уравнении, так что

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho \omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0.}$

Наконец, мы должны переписать определение параметров порядка для континуального (бесконечного N ) предела. должен быть заменен его средним по ансамблю (по всем ), а сумма должна быть заменена интегралом, чтобы получить${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle re^{i\psi }=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\theta }\int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )\,d\omega \,d\theta .}$

Решения [ править ]

Некогерентное состояние со всеми осцилляторами дрейфуют случайным образом соответствует решению . В таком случае и между осцилляторами нет согласованности. Они равномерно распределены по всем возможным фазам, и совокупность находится в статистически устойчивом состоянии (хотя отдельные осцилляторы продолжают изменять фазу в соответствии с их внутренним ω ).${\displaystyle \rho =1/(2\pi )}$${\displaystyle r=0}$

Когда связь K достаточно сильна, возможно полностью синхронизированное решение. В полностью синхронизированном состоянии все генераторы имеют общую частоту, хотя их фазы могут быть разными.

Решение для случая частичной синхронизации дает состояние, в котором синхронизируются только некоторые осцилляторы (близкие к средней собственной частоте ансамбля); другие генераторы дрейфуют некогерентно. Математически государство имеет

${\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin \left({\frac {\omega }{Kr}}\right)\right)}$

для синхронизированных генераторов, и

${\displaystyle \rho ={\frac {\rm {normalization\;constant}}{(\omega -Kr\sin(\theta -\psi ))}}}$

для дрейфующих генераторов. Отсечка происходит, когда .${\displaystyle |\omega |<Kr}$

Связь с гамильтоновыми системами [ править ]

Диссипативная модель Курамото содержится ^[14] в некоторых консервативных гамильтоновых системах с гамильтонианом вида:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(q_{1},\ldots ,q_{N},p_{1},\ldots ,p_{N})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\omega _{i}}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})}$

После канонического преобразования в переменные действие-угол с действиями и углами (фазами) точная динамика Курамото возникает на инвариантных многообразиях константы . С преобразованным гамильтонианом: ${\displaystyle I_{i}=\left(q_{i}^{2}+p_{i}^{2}\right)/2}$${\displaystyle \phi _{i}=\mathrm {arctan2} \left(q_{i}/p_{i}\right)}$${\displaystyle I_{i}\equiv I}$

${\displaystyle {\mathcal {H'}}(I_{1},\ldots I_{N},\phi _{1}\ldots ,\phi _{N})=\sum _{i=1}^{N}\omega _{i}I_{i}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin(\phi _{j}-\phi _{i}),}$

Уравнение движения Гамильтона становится:

${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial \phi _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\sqrt {I_{k}I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\cos(\phi _{k}-\phi _{i})}$

и

${\displaystyle {\frac {d\phi _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial I_{i}}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[2{\sqrt {I_{i}I_{k}}}\sin(\phi _{k}-\phi _{i})\right.\left.+{\sqrt {I_{k}/I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\sin(\phi _{k}-\phi _{i})\right].}$

Таким образом, многообразие с инвариантно, потому что фазовая динамика становится динамикой модели Курамото (с теми же константами связи для ). Класс гамильтоновых систем характеризует некоторые квантово-классические системы, в том числе конденсаты Бозе – Эйнштейна .${\displaystyle I_{j}=I}$${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=0}$${\displaystyle {\frac {d\phi _{i}}{dt}}}$${\displaystyle I=1/2}$

Варианты моделей [ править ]

Есть несколько типов вариаций, которые можно применить к исходной модели, представленной выше. Некоторые модели меняют топологическую структуру, другие допускают неоднородные веса, а другие изменения больше связаны с моделями, вдохновленными моделью Курамото, но не имеющими той же функциональной формы.

Варианты топологии сети [ править ]

Помимо исходной модели, которая имеет полную топологию, достаточно плотная сложная топология, подобная сети , поддается обработке среднего поля, использованной в решении исходной модели ^[15] (см. Преобразование и предел больших N выше для получения дополнительной информации). Сетевые топологии, такие как кольца и связанные популяции, поддерживают химерные состояния. ^[16] Можно также задаться вопросом о поведении моделей, в которых есть внутренне локальные, например одномерные топологии, прототипами которых являются цепь и кольцо. В таких топологиях, в которых связь не масштабируется согласно 1 / N, невозможно применить канонический подход среднего поля, поэтому следует полагаться на индивидуальный анализ, используя симметрии, когда это возможно, что может дать основу для абстракции общих принципов решений.

Равномерную синхронность, волны и спирали можно легко наблюдать в двумерных сетях Курамото с диффузной локальной связью. Устойчивость волн в этих моделях может быть определена аналитически с помощью методов анализа устойчивости по Тьюрингу. ^[17] Равномерная синхронность имеет тенденцию быть стабильной, когда локальная связь везде положительна, тогда как волны возникают, когда связи дальнего действия отрицательны (тормозящая окружающая связь). Волны и синхронность связаны топологически отличной ветвью решений, известной как рябь. ^[18] Это пространственно-периодические отклонения малой амплитуды, которые возникают из однородного состояния (или волнового состояния) через бифуркацию Хопфа . ^[19]Существование пульсирующих решений было предсказано (но не наблюдалось) от Wiley, Строгац и Girvan , ^[20] , которые называют их мульти-кручеными Q-состоянием.

Топология, на которой изучается модель Курамото, может быть сделана адаптивной ^{[21] за} счет использования фитнес-модели, демонстрирующей улучшение синхронизации и перколяции самоорганизованным способом.

Вариации топологии сети и веса сети: от координации транспортного средства до синхронизации мозга [ править ]

Некоторые работы в сообществе разработчиков сосредоточены на модели Курамото в сетях и с разнородными весами (т.е. сила взаимосвязи между любыми двумя осцилляторами может быть произвольной). Динамика этой модели выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\sum _{j=1}^{N}a_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N}$

где - ненулевое положительное действительное число, если осциллятор подключен к осциллятору . Такая модель позволяет более реалистично изучить, например, стайку, обучение и координацию движения транспортных средств. ^[23] В работе Дёрфлера и его коллег несколько теорем предоставляют строгие условия для фазовой и частотной синхронизации этой модели. Дальнейшие исследования, мотивированные экспериментальными наблюдениями в нейробиологии, сосредоточены на получении аналитических условий кластерной синхронизации гетерогенных осцилляторов Курамото в произвольных топологиях сети. ^[24] Поскольку модель Курамото, по-видимому, играет ключевую роль в оценке феноменов синхронизации в мозге, ^[25]${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$ Теоретические условия, поддерживающие эмпирические данные, могут проложить путь к более глубокому пониманию феномена нейрональной синхронизации.

Вариации функции фазового взаимодействия [ править ]

Курамото аппроксимировал фазовое взаимодействие между любыми двумя осцилляторами его первой составляющей Фурье, а именно , где . Лучшие приближения можно получить, включив компоненты Фурье более высокого порядка, ${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin(\phi )}$${\displaystyle \phi =\theta _{j}-\theta _{i}}$

${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin(\phi )+a_{1}\sin(2\phi +b_{1})+...+a_{n}\sin(2n\phi +b_{n})}$,

где параметры и должны быть оценены. Например, синхронизация между сетью слабосвязанных нейронов Ходжкина-Хаксли может быть воспроизведена с использованием связанных осцилляторов, которые сохраняют первые четыре компонента Фурье функции взаимодействия. ^[26] Введение условий фазового взаимодействия высшего порядка может также вызвать интересные динамические явления , такие как частично синхронизированные состояния, ^[27] гетероклинические циклов , ^[28] и хаотическую динамику . ^[29]${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$

Доступность [ править ]

• Библиотека pyclustering включает реализацию модели Курамото и ее модификаций на Python и C ++. Также библиотека состоит из колебательных сетей (для кластерного анализа, распознавания образов, раскраски графиков, сегментации изображений), которые основаны на модели Курамото и фазовом осцилляторе.

См. Также [ править ]

• Основная функция стабилизации
• Колебательная нейронная сеть

Ссылки [ править ]