В математике , лемма Кий вентилятор (КЛС) является комбинаторной леммой о разметках триангуляции. Это обобщение леммы Такера . Это было доказано Ки Фаном в 1952 г. [1]
Определения
KFL использует следующие концепции.
- : замкнутый n -мерный шар .
- : его граничная сфера .
- Т : а триангуляции из.
- Т называется границей антиподально симметричным , если подмножество симплексов из Т , которые находятся в обеспечивает триангуляцию где если σ - симплекс, то −σ тоже.
- L : разметка вершин T , которая присваивает каждой вершине ненулевое целое число:.
- L называется граничной нечетной, если для каждой вершины, .
- Край Т называется комплементарной ребро из L , если метки двух конечных точек имеют одинаковые размеры и противоположные знаки, например {-2, + 2}.
- П - мерный симплекс Т называется переменное симплекс из Т , если его метки имеют различные размеры с чередующимися знаками, например , {-1, + 2, -3} или {+3, -5, +7}.
Заявление
Пусть T - гранично-антиподально-симметричная триангуляцияи L граничная-нечетная маркировка Т .
Если L не имеет дополнительного ребра, то L имеет нечетное число n -мерных альтернированных симплексов.
Следствие: лемма Такера.
По определению, n- мерный знакопеременный симплекс должен иметь метки n + 1 разных размеров.
Это означает, что если в маркировке L используются только n разных размеров (т. Е.), он не может иметь n -мерного знакопеременного симплекса.
Следовательно, согласно KFL, L должно иметь дополнительное ребро.
Доказательство
KFL можно конструктивно доказать на основе алгоритма, основанного на путях. Алгоритм начинается в определенной точке или на краю триангуляции, затем переходит от симплекса к симплексу в соответствии с предписанными правилами, пока дальнейшая работа не становится невозможной. Можно доказать, что путь должен заканчиваться знакопеременным симплексом.
Доказательство проводится индукцией по n .
Основа . В таком случае, это интервал а его границей является множество . Маркировка L гранично-нечетная, поэтому. Без ограничения общности предположим, что а также . Начните с -1 и идите направо. На некотором ребре e маркировка должна измениться с отрицательной на положительную. Поскольку L не имеет дополнительных ребер, e должен иметь отрицательную метку и положительную метку другого размера (например, -1 и +2); это означает, что e - одномерный знакопеременный симплекс. Более того, если в какой-то момент маркировка снова изменится с положительной на отрицательную, тогда это изменение приведет к созданию второго переменного симплекса, и по тем же соображениям, что и раньше, позже должен быть третий альтернативный симплекс. Следовательно, число чередующихся симплексов нечетное.
Следующее описание иллюстрирует этап индукции для . В таком случаеэто диск, а его граница - окружность. Маркировка L гранично-нечетная, поэтому, в частности,для некоторой точки v на границе. Разделите граничный круг на два полукруга и рассматривайте каждый полукруг как интервал. По основанию индукции этот интервал должен иметь знакопеременный симплекс, например ребро с метками (+ 1, −2). Причем количество таких ребер на обоих интервалах нечетное. Используя граничный критерий, на границе у нас есть нечетное количество ребер, где меньшее число положительно, а большее отрицательное, и нечетное количество ребер, где меньшее число отрицательно, а большее положительное. Первое мы называем убывающим , второе - возрастающим .
Есть два вида треугольников.
- Если треугольник не является чередующимся, у него должно быть четное число возрастающих и четное число убывающих ребер.
- Если треугольник является чередующимся, у него должно быть одно возрастающее и одно убывающее ребро, поэтому у нас есть нечетное количество чередующихся треугольников.
По индукции это доказательство распространяется на любую размерность.
Рекомендации
- ^ "Обобщение комбинаторной леммы Такера с топологическими приложениями". Анналы математики . 56 : 431. DOI : 10,2307 / 1969651 .