Лакунарность

Рис. 1. Основные фрактальные паттерны, увеличивающиеся лакунарностью слева направо.

Те же изображения, что и выше, повернуты на 90 °. В то время как первые два изображения выглядят практически так же, как и выше, третье выглядит иначе, чем исходное изображение без поворота. Эта особенность отражена в показателях лакунарности, перечисленных в верхней части рисунков, которые вычислены с использованием стандартного программного обеспечения для подсчета боксов биологической визуализации FracLac , Image .

Лакунарность , от латинского lacuna , означающего «разрыв» или «озеро», - это специализированный термин в геометрии, обозначающий меру того, как паттерны, особенно фракталы , заполняют пространство, где паттерны с большим или большим зазором обычно имеют более высокую лакунарность. Помимо того, что лакунарность является интуитивной мерой пробелов, она может количественно определять дополнительные характеристики паттернов, такие как «вращательная инвариантность» и, в более общем плане, неоднородность. ^{[1] [2] [3]}Это показано на рисунке 1, на котором показаны три фрактальные модели. При повороте на 90 ° первые два достаточно однородных рисунка не изменяются, но третий, более неоднородный рисунок, изменяется и, соответственно, имеет более высокую лакунарность. Самое раннее упоминание этого термина в геометрии обычно приписывается Мандельброту, который в 1983 или, возможно, уже в 1977 году ввел его как дополнение к фрактальному анализу . ^[4] Анализ лакунарности теперь используется для характеристики паттернов в самых разных областях и, в частности, применяется в мультифрактальном анализе ^{[5] [6]} (см. Приложения ).

Измерение лакунарности [ править ]

Во многих шаблонах или наборах данных лакунарность трудно ощутить или измерить количественно, поэтому для ее расчета были разработаны компьютерные методы. Как измеримая величина, лакунарность часто обозначается в научной литературе греческими буквами или, но важно отметить, что не существует единого стандарта и существует несколько различных методов для оценки и интерпретации лакунарности.${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$

Лакунарность подсчета ящиков [ править ]

Рисунок 2а. Боксы накладываются на изображение в виде фиксированной сетки.

Рисунок 2b. Рамки скользили по изображению с наложением узора.

Один хорошо известный метод определения лакунарности паттернов, извлеченных из цифровых изображений, использует подсчет ячеек , тот же самый важный алгоритм, который обычно используется для некоторых типов фрактального анализа . ^{[1] [4]} Подобно тому, как смотреть на предметное стекло через микроскоп с изменяющимся уровнем увеличения, алгоритмы подсчета прямоугольников рассматривают цифровое изображение со многими уровнями разрешения, чтобы изучить, как определенные характеристики изменяются в зависимости от размера элемента, используемого для проверки изображение. В основном расположение пикселей измеряется с использованием традиционно квадратных (т. Е. Прямоугольных) элементов из произвольного набора размеров, обычно обозначаемых s. Для каждого${\ displaystyle \ mathrm {E}}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$, блок последовательно размещается по всему изображению, и каждый раз, когда он устанавливается, записывается количество пикселей, попадающих в блок. ^{[примечание 1]} При стандартном подсчете ящиков поле для каждого в помещается так, как если бы оно было частью сетки, наложенной на изображение, так что поле не перекрывает себя, но в алгоритмах скользящего ящика поле перемещается по изображению, поэтому что он перекрывает сам себя, и вычисляется "скользящая лакунарность" или SLac. ^{[3] [7]} На рисунке 2 показаны оба типа подсчета ящиков.${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ mathrm {E}}$

Расчеты по подсчету ящиков [ править ]

Данные, собранные для каждого , обрабатываются для вычисления лакунарности. Одна мера, обозначенная здесь как , находится из коэффициента вариации ( ), рассчитанного как стандартное отклонение ( ), деленное на среднее значение ( ), для пикселей в поле. ^{[1] [3] [6]} Поскольку способ выборки изображения будет зависеть от произвольного начального местоположения, для любого изображения, отобранного в любом месте, будет некоторое количество ( ) возможных ориентаций, каждая из которых здесь обозначена как , что данные могут собираться вместе, что может по-разному влиять на измеряемое распределение пикселей. ^{[5] [примечание 2]} Уравнение 1 показывает основной метод расчета :${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle {\ mathit {CV}}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle {\ mathit {G}}}$${\ displaystyle {\ mathit {g}}}$${\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$

${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}=(CV_{\varepsilon ,g})^{2}=\left({\frac {\sigma _{\varepsilon ,g}}{\mu _{\varepsilon ,g}}}\right)^{2}}$

( 1 )

Распределения вероятностей [ править ]

В качестве альтернативы, некоторые методы сортировки количество пикселей подсчитывали в распределение вероятностей , имеющее бункера, а также использовать размеры бин (массы, ) и их соответствующие вероятности ( ) , чтобы вычислить в соответствии с уравнениями 2 через 5 : ${\displaystyle B}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$

${\displaystyle \mu _{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }p_{i,\varepsilon }}}$

( 2 )

${\displaystyle {\mathit {v}}_{\varepsilon }=\sum _{i-1}^{B}{\left(m_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }\right)^{2}p_{i,\varepsilon }}}$

( 3 )

${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }={\sqrt {{\mathit {v}}_{\varepsilon }}}=\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}}$

( 4 )

${\displaystyle \lambda _{\varepsilon }={\frac {\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}}{\mu _{\varepsilon }^{2}}}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\mu _{\varepsilon }^{2}}}}$

( 5 )

Интерпретация λ [ править ]

Лакунарность, основанная на , оценивалась несколькими способами, в том числе с использованием вариации или среднего значения для каждого (см. Уравнение 6 ) и с использованием вариации или среднего значения по всем сеткам (см. Уравнение 7 ). ^{[1] [5] [7] [8]}${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\overline {\lambda _{\varepsilon ,g}}}={\frac {\sum _{\varepsilon =1}^{\mathrm {E} }\lambda _{\varepsilon ,g}}{\mathrm {E} }}}$

( 6 )

${\displaystyle \Lambda _{\mathit {g}}={\frac {\sum _{{\mathit {g}}=1}^{\mathit {G}}{\overline {\lambda _{\varepsilon ,g}}}}{\mathit {G}}}}$

( 7 )

Связь с фрактальной размерностью [ править ]

Анализ лакунарности с использованием типов значений, описанных выше, показал, что наборы данных, извлеченные из плотных фракталов, из шаблонов, которые мало меняются при повороте, или из шаблонов, которые являются однородными, имеют низкую лакунарность, но по мере увеличения этих характеристик ^{[ требуется пояснение ],} поэтому обычно делает лакунарность. В некоторых случаях было продемонстрировано, что фрактальные размерности и значения лакунарности коррелированы ^[1], но более поздние исследования показали, что эта взаимосвязь сохраняется не для всех типов паттернов и мер лакунарности. ^[5] Действительно, как первоначально предположил Мандельброт, лакунарность оказалась полезной для различения паттернов (например, фракталов, текстур и т. Д.), Которые имеют схожие или похожиефрактальные измерения в различных областях науки, включая неврологию. ^[8]

Графическая лакунарность [ править ]

Другие методы оценки лакунарности на основе данных подсчета ящиков используют взаимосвязь между значениями лакунарности (например, ) и другими способами, отличными от указанных выше. Один из таких методов смотрит на график зависимости этих значений. Согласно этому методу, сама кривая может быть проанализирована визуально или наклон может быть рассчитан по линии регрессии по сравнению с . ^{[3] [7]} Поскольку они имеют тенденцию вести себя определенным образом для соответственно моно-, мульти- и нефрактальных паттернов, графики против лакунарности использовались для дополнения методов классификации таких паттернов. ^{[5] [8]}${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle {\mathit {g}}}$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \ln }$

Чтобы построить графики для этого типа анализа, сначала необходимо преобразовать данные подсчета ящиков, как в уравнении 9 :

${\displaystyle f\lambda _{\varepsilon ,g}=\lambda _{\varepsilon ,g}+1}$

( 9 )

Это преобразование позволяет избежать неопределенных значений, что очень важно , так как однородные изображения будут иметь некоторые равно 0 , так что наклон против линии регрессии будет невозможно найти. С , однородные изображения имеют наклон 0, что соответствует интуитивно к идее не вращательного или трансляционной инвариантности и без зазоров. ^[9]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle f\lambda _{\varepsilon ,g}}$

Методика подсчета одного ящика с использованием "скользящего" ящика вычисляет лакунарность в соответствии с:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(r)={\frac {\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}^{2}Q(S_{i},r)}{\left(\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}Q(S_{i},r)\right)^{2}}}.}$

( 10 )

${\displaystyle S_{i}}$- количество заполненных точек данных в блоке и нормализованное частотное распределение для блоков разных размеров.${\displaystyle Q(S_{i},r)}$${\displaystyle S_{i}}$

Лакунарность префактора [ править ]

Другой предлагаемый способ оценки лакунарности с использованием подсчета ящиков, метод префактора , основан на значении, полученном в результате подсчета ячеек для фрактальной размерности ( ). Эта статистика использует переменную из правила масштабирования , где вычисляется из y-intercept ( ) линии регрессии ln-ln для и либо count ( ) блоков, в которых вообще были какие-либо пиксели, либо еще на . особенно зависит от размера изображения и способа сбора данных, особенно от используемого нижнего предела s. Окончательная мера рассчитывается, как показано в уравнениях с 11 по 13 : ^{[1] [4]}${\displaystyle D_{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N=A\varepsilon ^{D_{B}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathit {y}}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle A_{g}={\frac {1}{e^{{\mathit {y}}_{g}}}}}$

( 11 )

${\displaystyle {\overline {A}}={\frac {\sum _{g=1}^{G}A_{g}}{G}}}$

( 12 )

${\displaystyle P\Lambda ={\frac {\sum _{g=1}^{G}{\left({\frac {A_{g}}{\overline {A}}}-1\right)^{2}}}{G}}}$

( 13 )

Приложения [ править ]

Ниже приводится список некоторых областей, в которых лакунарность играет важную роль, а также ссылки на соответствующие исследования, иллюстрирующие практическое использование лакунарности.

• Экология ^[2]
• Физика ^[10]
• Археология ^[11]
• Медицинская визуализация ^{[6] [12]}
• Городской пространственный анализ ^{[13] [14]}
• Сейсмические исследования ^[15]
• Стоматология ^[16]
• Пищевая наука ^[17]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Руководство пользователя FracLac» . Онлайн-руководство по теории лакунарности и анализу с использованием бесплатного программного обеспечения для визуализации биологических объектов с открытым исходным кодом.