Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Фрактальный анализ оценивает фрактальные характеристики данных . Он состоит из нескольких методов для присвоения фрактальной размерности и других фрактальных характеристик набору данных, который может быть теоретическим набором данных или шаблоном или сигналом, извлеченным из явлений, включая естественные геометрические объекты, экологию и водные науки [1], звук, колебания рынка, [2] [3] [4] частота сердечных сокращений, [5] частотная область в сигналах электроэнцефалографии , [6] [7] цифровые изображения, [8] движение молекул и наука о данных. Фрактальный анализ сейчас широко используется во всех областях науки . [9] Важным ограничением фрактального анализа является то, что достижение эмпирически определенной фрактальной размерности не обязательно доказывает фрактальность модели; скорее, необходимо учитывать другие важные характеристики . [10] Фрактальный анализ полезен для расширения наших знаний о структуре и функциях различных систем, а также как потенциальный инструмент для математической оценки новых областей исследования.

Основные принципы [ править ]

Фракталы имеют дробные измерения , которые являются мерой сложности, которая указывает степень, в которой объекты заполняют доступное пространство. [10] [11] Фрактальная размерность измеряет изменение «размера» фрактального множества с изменяющимся масштабом наблюдения и не ограничивается целыми числами. [1] Это возможно при условии, что меньшая часть фрактала похожа на целое, показывая одинаковые статистические свойства в разных масштабах. [10] Эта характеристика называется масштабной инвариантностью и может далее классифицироваться как самоподобие илисамоаффинность , последняя масштабируется анизотропно (в зависимости от направления). [1] Независимо от того, расширяется ли фрактал или сужается, структура остается неизменной и выглядит эквивалентно сложной. [10] [11] Фрактальный анализ использует эти основные свойства, чтобы помочь в понимании и характеристике сложных систем. Также можно расширить использование фракталов до отсутствия единой характерной шкалы времени или паттерна. [12]

Дополнительная информация о Origins: Fractal Geometry

Виды фрактального анализа [ править ]

Существуют различные типы фрактального анализа, включая подсчет ящиков , анализ лакунарности , массовые методы и мультифрактальный анализ . [2] [10] Общей чертой всех типов фрактального анализа является потребность в эталонных моделях, по которым оцениваются результаты. [13] Их можно получить с помощью различных типов программного обеспечения для генерации фракталов, способного генерировать подходящие для этой цели эталонные шаблоны, которые обычно отличаются от программного обеспечения, разработанного для визуализации фрактального искусства . Другие типы включают анализ колебаний без тренда и метод абсолютного значения Херста, который оцениваетпоказатель хорста . [14] Предлагается использовать более одного подхода для сравнения результатов и повышения надежности своих выводов.

Приложения [ править ]

Экология и эволюция [ править ]

В отличие от теоретических фрактальных кривых, которые можно легко измерить и вычислить основные математические свойства ; естественные системы являются источниками неоднородности и порождают сложные пространственно-временные структуры, которые могут демонстрировать лишь частичное самоподобие . [15] [16] [17] Используя фрактальный анализ, можно анализировать и распознать, когда характеристики сложных экологических систем изменяются, поскольку фракталы способны характеризовать естественную сложность таких систем. [18]Таким образом, фрактальный анализ может помочь количественно оценить закономерности в природе и выявить отклонения от этих естественных последовательностей. Это помогает улучшить наше общее представление об экосистемах и раскрыть некоторые из основных структурных механизмов природы. [11] [19] [20] Например, было обнаружено, что структура ксилемы отдельного дерева соответствует той же архитектуре, что и пространственное распределение деревьев в лесу, и что распределение деревьев в лесу разделяет та же основная фрактальная структура, что и ветви, с идентичным масштабированием до точки, в которой можно математически использовать узор ветвей деревьев для определения структуры древостоя. [21] [22]Использование фрактального анализа для понимания структур, пространственной и временной сложности биологических систем уже хорошо изучено, и его использование продолжает расти в экологических исследованиях. [23] [24] [25] [26] Несмотря на широкое использование, он все еще подвергается некоторой критике . [27] [28]

Поведение животных [ править ]

Модели поведения животных проявляют фрактальные свойства в пространственном и временном масштабах. [14] Фрактальный анализ помогает понять поведение животных и то, как они взаимодействуют с окружающей средой в разных масштабах пространства и времени. [1] Было обнаружено, что различные признаки движения животных в их соответствующих средах демонстрируют пространственно-нелинейные фрактальные структуры. [29] [30] Это породило экологические интерпретации, такие как гипотеза Леви о поисках пищи в полете , которая оказалась более точным описанием передвижения животных для некоторых видов. [31] [32] [33]

Пространственные паттерны и последовательности поведения животных во фрактальном времени имеют оптимальный диапазон сложности, который можно рассматривать как гомеостатическое состояние в спектре, где последовательность сложности должна регулярно падать. Увеличение или уменьшение сложности, либо становление более стереотипным, либо, наоборот, более случайным в их поведенческих паттернах, указывает на изменение функциональных возможностей человека. [12] [34] Используя фрактальный анализ, можно изучить последовательную сложность движений в поведении животных и определить, испытывают ли люди отклонения от оптимального диапазона, предполагающие изменение состояния. [35] [36] Например, он использовался для оценки благополучия домашних кур, [18]стресс у афалин в ответ на беспокойство человека [37] и паразитарная инфекция у японских макак [36] и овец. [35] Исследование продвигает область поведенческой экологии за счет упрощения и количественной оценки очень сложных взаимосвязей. [38] Когда дело доходит до благополучия и сохранения животных , фрактальный анализ позволяет выявить потенциальные источники стресса для поведения животных, факторы стресса, которые не всегда могут быть обнаружены с помощью классических исследований поведения. [18] [39] [40]

Этот подход более объективен, чем классические измерения поведения, такие как частотные наблюдения, которые ограничены подсчетом поведений, но могут вникнуть в основную причину поведения. [34] Еще одним важным преимуществом фрактального анализа является возможность контролировать состояние диких и свободно обитающих популяций животных в их естественной среде обитания без инвазивных измерений.

Приложения включают [ редактировать ]

Приложения фрактального анализа включают: [41]

См. Также [ править ]

  • Мультифрактал
  • Измененный диапазон

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d Сёрон, Лоран (2009-10-12). Фракталы и мультифракталы в экологии и водных науках . CRC Press. DOI : 10.1201 / 9781420004243 . ISBN 9780849327827.
  2. ^ a b Питерс, Эдгар (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-13938-6.
  3. Перейти ↑ Mulligan, R. (2004). «Фрактальный анализ очень волатильных рынков: приложение к технологическим акциям». Ежеквартальный обзор экономики и финансов . 44 : 155–179. DOI : 10.1016 / S1062-9769 (03) 00028-0 .
  4. ^ Каменщиков, С. (2014). «Анализ транспортных катастроф как альтернатива монофрактальному описанию: теория и применение к временным рядам финансового кризиса» . Журнал Хаоса . 2014 : 1–8. DOI : 10.1155 / 2014/346743 .
  5. ^ Тан, Джан Озан; Коэн, Майкл А .; Eckberg, Dwain L .; Тейлор, Дж. Эндрю (2009). «Фрактальные свойства вариабельности сердечного периода человека: физиологические и методологические последствия» . Журнал физиологии . 587 (15): 3929–3941. DOI : 10.1113 / jphysiol.2009.169219 . PMC 2746620 . PMID 19528254 .  
  6. ^ Заппасоди, Филиппо; Олежарчик, Эльжбета; Марцетти, Лаура; Ассенца, Джованни (2014). «Фрактальное измерение активности ЭЭГ определяет нейрональные нарушения при остром инсульте» . PLOS ONE . 9 (6): 3929–3941. Bibcode : 2014PLoSO ... 9j0199Z . DOI : 10.1371 / journal.pone.0100199 . PMC 4072666 . PMID 24967904 .  
  7. ^ Hisonothai, M .; Накагава, М. (2008). «Метод классификации сигналов ЭЭГ на основе фрактальных признаков и нейронной сети». 2008 30-я ежегодная международная конференция общества инженеров IEEE в медицине и биологии . Ежегодная международная конференция IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. Ежегодная международная конференция . 2008 . С. 3880–3. DOI : 10.1109 / IEMBS.2008.4650057 . ISBN 978-1-4244-1814-5. PMID  19163560 . S2CID  22136019 .
  8. ^ Фрактальный анализ цифровых изображений http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Fractals.htm
  9. ^ «Фракталы: сложная геометрия, шаблоны и масштабирование в природе и обществе» . Фракталы: междисциплинарный журнал по сложной геометрии природы . ISSN 1793-6543 . 
  10. ^ Б с д е е Benoît B. Mandelbrot (1983). Фрактальная геометрия природы . Макмиллан. ISBN 978-0-7167-1186-5. Проверено 1 февраля 2012 года .
  11. ^ a b c Мандельброт, Б. (1967-05-05). «Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и дробное измерение» . Наука . 156 (3775): 636–638. Bibcode : 1967Sci ... 156..636M . DOI : 10.1126 / science.156.3775.636 . ISSN 0036-8075 . PMID 17837158 . S2CID 15662830 .   
  12. ^ а б Гольдбергер, Ари Л; Peng, C.-K; Липсиц, Льюис А (январь 2002 г.). «Что такое физиологическая сложность и как она меняется с возрастом и болезнями?». Нейробиология старения . 23 (1): 23–26. DOI : 10.1016 / S0197-4580 (01) 00266-4 . PMID 11755014 . S2CID 17022186 .  
  13. ^ «Цифровые изображения в FracLac» . ImageJ. Архивировано 8 февраля 2012 года . Проверено 8 февраля 2012 . Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
  14. ^ а б Макинтош, Эндрю JJ; Пеллетье, Лора; Кьярадия, Андре; Като, Акико; Роперт-Кудерт, Ян (декабрь 2013 г.). «Временные фракталы в поведении морских птиц при кормлении: ныряние сквозь масштабы времени» . Научные отчеты . 3 (1): 1884. Bibcode : 2013NatSR ... 3E1884M . DOI : 10.1038 / srep01884 . ISSN 2045-2322 . PMC 3662970 . PMID 23703258 .   
  15. ^ Frontier, Serge (1987), "Применение теории фрактальной к экологии", Develoments в числовой экологии , Springer Berlin Heidelberg, стр 335-378,. DOI : 10.1007 / 978-3-642-70880-0_9 , ISBN 9783642708824
  16. ^ Шеуринг, Иштван; Риеди, Рудольф Х. (август 1994 г.). «Применение мультифракталов к анализу растительности». Журнал науки о растительности . 5 (4): 489–496. DOI : 10.2307 / 3235975 . JSTOR 3235975 . 
  17. ^ Seuront, Лоран; Лагадюк, Иван (1998). «Пространственно-временная структура приливно-смешанных прибрежных вод: изменчивость и неоднородность» . Журнал исследований планктона . 20 (7): 1387–1401. DOI : 10.1093 / plankt / 20.7.1387 . ISSN 0142-7873 . 
  18. ^ a b c Резерфорд, Кеннет, доктор медицины; Хаскелл, Мари Дж .; Гласби, Крис; Джонс, Р. Брайан; Лоуренс, Алистер Б. (сентябрь 2003 г.). «Анализ отклонений от тренда поведенческих реакций на легкие острые стрессоры у домашних кур». Прикладная наука о поведении животных . 83 (2): 125–139. DOI : 10.1016 / S0168-1591 (03) 00115-1 .
  19. ^ Брэдбери, Rh; Райхельт, Ре (1983). «Фрактальная размерность кораллового рифа в экологических масштабах» . Серия «Прогресс морской экологии» . 10 : 169–171. Bibcode : 1983MEPS ... 10..169B . DOI : 10,3354 / meps010169 . ISSN 0171-8630 . 
  20. ^ Гастингс, Гарольд М .; Пекелни, Ричард; Монтиччоло, Ричард; Вун Каннон, Дэвид; Дель Монте, Дайан (январь 1982). «Шкала времени, настойчивость и неоднородность». Биосистемы . 15 (4): 281–289. DOI : 10.1016 / 0303-2647 (82) 90043-0 . ISSN 0303-2647 . PMID 7165795 .  
  21. ^ Запад, Великобритания (1997-04-04). «Общая модель происхождения законов аллометрического масштабирования в биологии». Наука . 276 (5309): 122–126. DOI : 10.1126 / science.276.5309.122 . PMID 9082983 . S2CID 3140271 .  
  22. ^ Запад, Великобритания; Энквист, Би Джей; Браун, JH (28 апреля 2009 г.). «Общая количественная теория структуры и динамики леса» . Труды Национальной академии наук . 106 (17): 7040–7045. Bibcode : 2009PNAS..106.7040W . DOI : 10.1073 / pnas.0812294106 . ISSN 0027-8424 . PMC 2678466 . PMID 19363160 .   
  23. ^ Рье, Мишель; Спозито, Гаррисон (1991). «Фрактальная фрагментация, пористость почвы и свойства почвенной воды: II. Приложения». Журнал Общества почвоведов Америки . 55 (5): 1239. Bibcode : 1991SSASJ..55.1239R . DOI : 10,2136 / sssaj1991.03615995005500050007x . ISSN 0361-5995 . 
  24. ^ Морс, DR; Лоутон, JH; Додсон, ММ; Уильямсон, MH (апрель 1985 г.). «Фрактальная размерность растительности и распределение длин тела членистоногих». Природа . 314 (6013): 731–733. Bibcode : 1985Natur.314..731M . DOI : 10.1038 / 314731a0 . ISSN 0028-0836 . S2CID 4362382 .  
  25. ^ Ли, Сяоянь; Пассов, Ута; Логан, Брюс Э (январь 1998 г.). «Фрактальные размеры мелких (15–200 мкм) частиц в прибрежных водах Восточной части Тихого океана». Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers . 45 (1): 115–131. DOI : 10.1016 / s0967-0637 (97) 00058-7 . ISSN 0967-0637 . 
  26. ^ Лавджой, S .; Шерцер, Д. (май 2006 г.). «Мультифракталы, сияние облаков и дождь». Журнал гидрологии . 322 (1–4): 59–88. Bibcode : 2006JHyd..322 ... 59L . DOI : 10.1016 / j.jhydrol.2005.02.042 .
  27. ^ Галлей, JM; Hartley, S .; Каллиманис, А.С.; Кунин, МЫ; Леннон, JJ; Сгарделис, ИП (24.02.2004). «Использование и злоупотребления фрактальной методологией в экологии». Письма об экологии . 7 (3): 254–271. DOI : 10.1111 / j.1461-0248.2004.00568.x . ISSN 1461-023X . S2CID 6059069 .  
  28. ^ Брайс, РМ; Sprague, KB (декабрь 2012 г.). «Возвращаясь к анализу колебаний без тренда» . Научные отчеты . 2 (1): 315. Bibcode : 2012NatSR ... 2E.315B . DOI : 10.1038 / srep00315 . ISSN 2045-2322 . PMC 3303145 . PMID 22419991 .   
  29. ^ Каталонский, Хорди; Марразе, Селия; Пуэйо, Сальвадор; Питерс, Франсеск; Бартумей, Фредерик (28 октября 2003 г.). «Спиральные прогулки Леви: корректировка статистики поиска с учетом доступности ресурсов в микрозоопланктоне» . Труды Национальной академии наук . 100 (22): 12771–12775. Bibcode : 2003PNAS..10012771B . DOI : 10.1073 / pnas.2137243100 . ISSN 0027-8424 . PMC 240693 . PMID 14566048 .   
  30. ^ Гарсия, Ф .; Carrère, P .; Сусана, JF; Р. Баумонт (сентябрь 2005 г.). «Характеристика путем фрактального анализа кормовых путей овец, пасущихся на неоднородных стадах». Прикладная наука о поведении животных . 93 (1–2): 19–37. DOI : 10.1016 / j.applanim.2005.01.001 .
  31. ^ Хамфрис, NE; Weimerskirch, H .; Queiroz, N .; Саутхолл, EJ; Симс, DW (2012-05-08). «Успех в поисках пищи биологических полетов Леви, зарегистрированных на месте» . Труды Национальной академии наук . 109 (19): 7169–7174. Bibcode : 2012PNAS..109.7169H . DOI : 10.1073 / pnas.1121201109 . ISSN 0027-8424 . PMC 3358854 . PMID 22529349 .   
  32. ^ Рапосо, EP; Булдырев С.В.; да Луз, MGE; Вишванатан, GM; Стэнли, HE (30 октября 2009 г.). «Полеты Леви и случайные поиски». Журнал физики A: математический и теоретический . 42 (43): 434003. Bibcode : 2009JPhA ... 42Q4003R . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 42/43/434003 . ISSN 1751-8113 . 
  33. ^ Вишванатан, GM; Афанасьев, В; Булдырев, Сергей В; Хавлин, Шломо; да Луз, MGE; Рапозо, EP; Стэнли, Х. Юджин (июнь 2001 г.). «Полеты Леви ищут образцы биологических организмов». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 295 (1–2): 85–88. Bibcode : 2001PhyA..295 ... 85V . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (01) 00057-7 .
  34. ^ а б Макинтош, Эндрю Джеймс Джонатан (2014). «Фрактальный примас» . Исследования приматов . 30 (1): 95–119. DOI : 10.2354 / psj.30.011 . ISSN 1880-2117 . 
  35. ^ a b Бургундер, Джейд; Petrželková, Klára J .; Модри, Дэвид; Като, Акико; Макинтош, Эндрю JJ (август 2018 г.). «Фрактальные меры в моделях активности: влияют ли желудочно-кишечные паразиты на сложность поведения овец?». Прикладная наука о поведении животных . 205 : 44–53. DOI : 10.1016 / j.applanim.2018.05.014 .
  36. ^ а б Макинтош, AJJ; Аладос, CL; Хаффман, Массачусетс (07.10.2011). «Фрактальный анализ поведения диких приматов: сложность поведения при здоровье и болезни» . Журнал Интерфейса Королевского общества . 8 (63): 1497–1509. DOI : 10,1098 / rsif.2011.0049 . ISSN 1742-5689 . PMC 3163426 . PMID 21429908 .   
  37. ^ Крибб, Нарди; Сёрон, Лоран (сентябрь 2016 г.). «Изменения в поведенческой сложности дельфинов-афалин вдоль градиента антропогенной среды в прибрежных водах Южной Австралии: последствия для стратегий сохранения и управления». Журнал экспериментальной морской биологии и экологии . 482 : 118–127. DOI : 10.1016 / j.jembe.2016.03.020 . ISSN 0022-0981 . 
  38. ^ Брэдбери, JW; Vehrencamp, SL (01.05.2014). «Сложность и поведенческая экология» . Поведенческая экология . 25 (3): 435–442. DOI : 10.1093 / beheco / aru014 . ISSN 1045-2249 . 
  39. ^ Аладос, CL; Escos, JM; Эмлен, JM (февраль 1996 г.). «Фрактальная структура последовательных моделей поведения: индикатор стресса». Поведение животных . 51 (2): 437–443. DOI : 10.1006 / anbe.1996.0040 . S2CID 53184132 . 
  40. ^ Резерфорд, KMD; Хаскелл, MJ; Glasbey, C .; Джонс, РБ; Лоуренс, AB (февраль 2004 г.). «Фрактальный анализ поведения животных как индикатор благополучия животных» . www.ingentaconnect.com . Проверено 27 марта 2019 .
  41. ^ «Приложения» . Архивировано из оригинала на 2007-10-12 . Проверено 21 октября 2007 .
  42. ^ Тан, Джан Озан; Коэн, Майкл А .; Eckberg, Dwain L .; Тейлор, Дж. Эндрю (2009). «Фрактальные свойства вариабельности сердечного периода человека: физиологические и методологические последствия» . Журнал физиологии . 587 (15): 3929–3941. DOI : 10.1113 / jphysiol.2009.169219 . PMC 2746620 . PMID 19528254 .  
  43. ^ Коста, Исида да Силва; Гамунди, Антони; Миранда, Хосе Г. Вивас; Франса, Лукас Г. Соуза; Сантана, Де; Новаэс, Чарльз; Монтойя, Педро (2017). «Измененные функциональные характеристики у пациентов с фибромиалгией» . Границы нейробиологии человека . 11 : 14. DOI : 10,3389 / fnhum.2017.00014 . ISSN 1662-5161 . PMC 5266716 . PMID 28184193 .   
  44. ^ França, LGS; Монтойя, Педро; Миранда, JGV (2017). «О мультифракталах: нелинейное исследование данных актиграфии». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 514 : 612–619. arXiv : 1702.03912 . DOI : 10.1016 / j.physa.2018.09.122 . S2CID 18259316 . 
  45. ^ a b Карпериен, Одри; Jelinek, Herbert F .; Леандро, Хорхе де Хесус Гомеш; Соареш, Жоао В.Б.; Cesar Jr, Роберто М .; Лаки, Алан (2008). «Автоматизированное выявление пролиферативной ретинопатии в клинической практике» . Клиническая офтальмология (Окленд, Новая Зеландия) . 2 (1): 109–122. DOI : 10.2147 / OPTH.S1579 . PMC 2698675 . PMID 19668394 .  
  46. ^ Kam, Y .; Karperien, A .; Weidow, B .; Estrada, L .; Андерсон, АР; Каранта, В. (2009). «Анализ расширения гнезда: подход системной биологии рака к измерениям инвазии in vitro» . BMC Research Notes . 2 : 130. DOI : 10,1186 / 1756-0500-2-130 . PMC 2716356 . PMID 19594934 .  
  47. ^ Лоса, Габриэле А .; Нонненмахер, Тео Ф., ред. (2005). Фракталы в биологии и медицине . Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2. Проверено 1 февраля 2012 года .
  48. ^ Мандельброт, Б. (1967). «Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и дробное измерение» . Наука . 156 (3775): 636–638. Bibcode : 1967Sci ... 156..636M . DOI : 10.1126 / science.156.3775.636 . PMID 17837158 . S2CID 15662830 .  
  49. ^ Ли, Х. (2013). «Фрактальный анализ боковых каналов для пробойных конструкций в изоляции кабеля из сшитого полиэтилена». J Mater Sci: Mater Electron . 24 (5): 1640–1643. DOI : 10.1007 / s10854-012-0988-у . S2CID 136564926 . 
  50. ^ Реувени, Шломи; Гранек, Рони; Клафтер, Джозеф (2008). «Белки: сосуществование стабильности и гибкости». Письма с физическим обзором . 100 (20): 208101. Bibcode : 2008PhRvL.100t8101R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.100.208101 . ISSN 0031-9007 . PMID 18518581 . S2CID 16203048 .   
  51. ^ Panteha Саиди, и Сорен А. Соренсен (2009). Алгоритмический подход к созданию полей тестирования после стихийных бедствий для поисковых и спасательных агентов (PDF) . Труды Всемирного инженерного конгресса 2009 . С. 93–98. ISBN  978-988-17-0125-1.
  52. ^ а б Чен, Янгуан (2011). "Моделирование фрактальной структуры распределений по размерам городов с помощью корреляционных функций" . PLOS ONE . 6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode : 2011PLoSO ... 624791C . DOI : 10.1371 / journal.pone.0024791 . PMC 3176775 . PMID 21949753 .  
  53. ^ Karperien, Одри L .; Jelinek, Herbert F .; Бьюкен, Аластер М. (2008). "Подсчет ячеек анализа формы микроглии при шизофрении, болезни Альцгеймера и аффективном расстройстве". Фракталы . 16 (2): 103–107. DOI : 10.1142 / S0218348X08003880 .
  54. ^ França, Лукас Г. Соуза; Миранда, Хосе Г. Вивас; Лейте, Марко; Шарма, Нирадж К .; Уокер, Мэтью С .; Лемье, Луи; Ван, Юйцзян (2018). «Фрактальные и мультифрактальные свойства электрографических записей активности мозга человека: на пути к его использованию в качестве сигнального признака для машинного обучения в клинических приложениях» . Границы физиологии . 9 : 1767. arXiv : 1806.03889 . Bibcode : 2018arXiv180603889F . DOI : 10.3389 / fphys.2018.01767 . ISSN 1664-042X . PMC 6295567 . PMID 30618789 .   
  55. ^ Лю, Цзин З .; Zhang, Lu D .; Юэ, Гуан Х. (2003). «Фрактальное измерение в мозжечке человека, измеренное с помощью магнитно-резонансной томографии» . Биофизический журнал . 85 (6): 4041–4046. Bibcode : 2003BpJ .... 85.4041L . DOI : 10.1016 / S0006-3495 (03) 74817-6 . PMC 1303704 . PMID 14645092 .  
  56. ^ Николич, Д .; Moca, VV; Певица, З .; Мурешан, RC (2008). «Свойства многомерных данных, исследуемых фрактальной размерностью». Журнал методов неврологии . 172 (1): 27–33. DOI : 10.1016 / j.jneumeth.2008.04.007 . PMID 18495248 . S2CID 12268410 .  
  57. ^ Смит, Роберт Ф .; Mohr, David N .; Торрес, Висенте Э .; Offord, Kenneth P .; Мелтон III, Л. Джозеф (1989). «Почечная недостаточность у внебольничных больных с легкой бессимптомной микрогематурией». Труды клиники Мэйо . 64 (4): 409–414. DOI : 10.1016 / s0025-6196 (12) 65730-9 . PMID 2716356 . 
  58. Перейти ↑ Al-Kadi OS, Watson D. (2008). «Анализ текстуры агрессивных и неагрессивных КТ-изображений опухолей легкого» (PDF) . IEEE Transactions по биомедицинской инженерии . 55 (7): 1822–1830. DOI : 10.1109 / tbme.2008.919735 . PMID 18595800 . S2CID 14784161 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 апреля 2014 года . Проверено 10 апреля 2014 .   
  59. Перейти ↑ Landini, Gabriel (2011). «Фракталы в микроскопии». Журнал микроскопии . 241 (1): 1–8. DOI : 10.1111 / j.1365-2818.2010.03454.x . PMID 21118245 . S2CID 40311727 .  
  60. ^ Cheng, Qiuming (1997). «Мультифрактальное моделирование и анализ лакунарности». Математическая геология . 29 (7): 919–932. DOI : 10,1023 / A: 1022355723781 . S2CID 118918429 . 
  61. ^ Burkle-Элизондо, Херардо; Вальдес-Сепеда, Рикардо Давид (2006). «Фрактальный анализ мезоамериканских пирамид». Нелинейная динамика, психология и науки о жизни . 10 (1): 105–122. PMID 16393505 . 
  62. ^ Браун, Клиффорд Т .; Витчи, Уолтер RT; Либович, Ларри С. (2005). «Разбитое прошлое: фракталы в археологии». Журнал археологического метода и теории . 12 : 37–78. DOI : 10.1007 / s10816-005-2396-6 . S2CID 7481018 . 
  63. ^ Vannucchi, Паола; Леони, Лоренцо (2007). «Структурная характеристика декольте Коста-Рики: свидетельства сейсмически индуцированных пульсаций флюида». Письма о Земле и планетологии . 262 (3–4): 413–428. Bibcode : 2007E и PSL.262..413V . DOI : 10.1016 / j.epsl.2007.07.056 .
  64. ^ Дидье Сорнетт (2004). Критические явления в естествознании: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок: концепции и инструменты . Springer. С. 128–140. ISBN 978-3-540-40754-6.
  65. ^ Ху, Шугэн; Ченг, Цюмин; Ван, Ле; Се, Шуюнь (2012). «Мультифрактальная характеристика стоимости городской жилой земли в пространстве и времени». Прикладная география . 34 : 161–170. DOI : 10.1016 / j.apgeog.2011.10.016 .
  66. ^ Братья, Харлан Дж. (2007). «Структурное масштабирование в Сюите № 3 Баха для виолончели» . Фракталы . 15 : 89–95. DOI : 10.1142 / S0218348X0700337X .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Фракталы и фрактальный анализ
  • Фрактальный анализ
  • Бенуа - Программное обеспечение для фрактального анализа
  • Методы фрактального анализа динамики сердцебиения и походки человека