Закон полной ковариации

В теории вероятностей , в законе общей ковариантности , ^[1] ковариационной формулы разложения или условных ковариационной формулы состояний , что если X , Y и Z являются случайными величинами на том же вероятностном пространстве , и ковариации из X и Y конечна, то

${\ displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y) = \ operatorname {E} (\ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z)) + \ operatorname {cov} (\ operatorname {E} (X \ mid Z), \ operatorname {E} (Y \ mid Z)).}$

Номенклатура в названии статьи соответствует фразе закону полной дисперсии . Некоторые исследователи вероятностей называют это « формулой условной ковариации » ^[2] или используют другие названия.

Примечание: условные ожидаемые значения Е ( Х | Z ) и Е ( Y | Z ) являются случайными величинами, значения которых зависят от величины Z . Обратите внимание, что условное ожидаемое значение X для события Z = z является функцией z . Если мы пишем E ( X | Z = z ) = g ( z ), то случайная величина E ( X | Z ) равна g ( Z). Подобные комментарии относятся к условной ковариации.

Доказательство [ править ]

Закон полной ковариации можно доказать с помощью закона полного ожидания : Во-первых,

${\ displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y) = \ operatorname {E} [XY] - \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y]}$

из простого стандартного тождества ковариаций. Затем мы применяем закон полного ожидания, обусловливая случайную величину Z :

${\ displaystyle = \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [XY \ mid Z] {\ big]} - \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [X \ mid Z] {\ big]} \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [Y \ mid Z] {\ big]}}$

Теперь перепишем термин внутри первого математического ожидания, используя определение ковариации:

${\displaystyle =\operatorname {E} \!{\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z)+\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}}$

Поскольку ожидание суммы - это сумма ожиданий, мы можем перегруппировать условия:

${\displaystyle =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {cov} (X,Y\mid Z)]+\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Z]]\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]}$

Наконец, мы распознаем последние два члена как ковариацию условных ожиданий E [ X  | Z ] и E [ Y  | Z ]:

${\displaystyle =\operatorname {E} {\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z){\big ]}+\operatorname {cov} {\big (}\operatorname {E} [X\mid Z],\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big )}}$

См. Также [ править ]

• Закон общей дисперсии , особый случай , соответствующий  X  =  Y .
• Закон полной кумуляции , закон полной ковариации является частным случаем.

Примечания и ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]