Вектор Ляпунова

Эта статья написана как исследовательская статья или научный журнал, в котором могут использоваться излишне технические термины, или же она может быть написана не как энциклопедическая статья . Пожалуйста, помогите улучшить его , переписав в энциклопедическом стиле . ( Декабрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В прикладной математике и теории динамических систем векторы Ляпунова , названные в честь Александра Ляпунова , описывают характерные направления расширения и сжатия динамической системы. Они использовались в анализе предсказуемости и в качестве начальных возмущений для ансамблевого прогнозирования при численном прогнозировании погоды . ^[1] В современной практике для этой цели их часто заменяют на выведенных переносчиков . ^[2]

Математическое описание [ править ]

Изображение асимметричного роста возмущений по эволюционирующей траектории.

Векторы Ляпунова определены вдоль траекторий динамической системы. Если система может быть описана с помощью D-мерный вектор состояния векторов Ляпунова , точка в направлениях , в которых бесконечно малое возмущение будет расти асимптотически, экспоненциально со средней скоростью , заданной в ляпуновских . ${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle v ^ {(к)} (х)}$ ${\ Displaystyle (к = 1 \ точки d)}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$

При расширении по векторам Ляпунова возмущение асимптотически выравнивается с вектором Ляпунова в этом разложении, соответствующем наибольшему показателю Ляпунова, поскольку это направление перерастает все остальные. Поэтому почти все возмущения асимптотически совпадают с вектором Ляпунова, соответствующим наибольшему показателю Ляпунова в системе. ^[3]
В некоторых случаях векторы Ляпунова могут не существовать. ^[4]
Векторы Ляпунова не обязательно ортогональны.
Векторы Ляпунова не тождественны локальным главным направлениям расширения и сжатия, т. Е. Собственным векторам якобиана . В то время как последние требуют только местного знания системы, векторы Ляпунова находятся под влиянием всех якобианов вдоль траектории.
Векторы Ляпунова для периодической орбиты являются векторами Флоке этой орбиты.

Численный метод [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Декабрь 2015 г. )

Если динамическая система дифференцируема и векторы Ляпунова существуют, их можно найти путем прямых и обратных итераций линеаризованной системы вдоль траектории. ^[5]^[6] Позвольте отобразить систему с вектором состояния в момент времени в состояние в момент времени . Линеаризация этого отображения, т.е. матрица Якоби, описывает изменение бесконечно малого возмущения . То есть ${\ displaystyle x_ {n + 1} = M_ {t_ {n} \ to t_ {n + 1}} (x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle t_ {n}}$ $x_{n+1}$ $t_{n+1}$ $~J_{n}$ $h_{n}$

M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n}+h_{n})\approx M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})+J_{n}h_{n}=x_{n+1}+h_{n+1}

Начиная с единичной матрицы, итерации $Q_{0}=\mathbb {I} ~$

Q_{n+1}R_{n+1}=J_{n}Q_{n}

где дается Грамм-Шмидта QR - разложения из , будет асимптотически сходятся к матрицам , которые зависят только от точек траектории , но не на начальном выборе . Строки ортогональных матриц определяют локальную ортогональную систему отсчета в каждой точке, а первые строки охватывают то же пространство, что и векторы Ляпунова, соответствующие наибольшим показателям Ляпунова. Верхнетреугольные матрицы описывают изменение бесконечно малого возмущения от одной локальной ортогональной системы отсчета к другой. Диагональные элементы - это локальные факторы роста в направлениях векторов Ляпунова. Показатели Ляпунова даются средними темпами роста $Q_{n+1}R_{n+1}$ $J_{n}Q_{n}$ $x_{n}$ $Q_{0}$ $Q_{n}$ $k$ $k$ $R_{n}$ $r_{kk}^{(n)}$ $R_{n}$

\lambda _{k}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{t_{n+m}-t_{n}}}\sum _{l=1}^{m}\log r_{kk}^{(n+l)}

а в силу растяжения, вращения и ортогонализации по Граму-Шмидту показатели Ляпунова упорядочены как . При повторении вперед во времени случайный вектор, содержащийся в пространстве, охватываемом первыми столбцами , почти наверняка будет асимптотически расти с наибольшим показателем Ляпунова и выровняться с соответствующим вектором Ляпунова. В частности, первый столбец будет указывать в направлении вектора Ляпунова с наибольшим показателем Ляпунова, если он достаточно велик. При итерации назад во времени случайный вектор, содержащийся в пространстве, охватываемом первыми столбцами матрицы, почти наверняка будет асимптотически выровнен с вектором Ляпунова, соответствующим наибольшему показателю Ляпунова, если и $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{d}$ $k$ $Q_{n}$ $Q_{n}$ $n$ $k$ $Q_{n+m}$ $k$ $n$ $m$ достаточно большие. Определение мы находим . Выбирая первые элементы случайным образом, а остальные элементы равные нулю, и повторяя этот вектор назад во времени, вектор почти наверняка выравнивается с вектором Ляпунова, соответствующим th наибольшему показателю Ляпунова, если и являются достаточно большими. Так как итерации будут экспоненциально увеличивать или уменьшать вектор, его можно повторно нормализовать в любой точке итерации без изменения направления. $c_{n}=Q_{n}^{T}h_{n}$ $c_{n-1}=R_{n}^{-1}c_{n}$ $k$ $c_{n+m}$ $Q_{n}c_{n}$ $v^{(k)}(x_{n})$ $k$ $m$ $n$

Ссылки [ править ]

^ Kalnay, Е. (2007). Атмосферное моделирование, ассимиляция данных и предсказуемость . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
^ Kalnay, E .; Corazza, M .; Цай, М. (2002). "Разводимые векторы такие же, как и векторы Ляпунова?" . EGS XXVII Генеральная Ассамблея . Архивировано из оригинала на 2010-06-05.
↑ Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах (второе изд.). Издательство Кембриджского университета.
^ Ott, W .; Йорк, JA (2008). «Когда не существует показателей Ляпунова». Phys. Rev. E . 78 (5): 056203. Bibcode : 2008PhRvE..78e6203O . DOI : 10.1103 / PhysRevE.78.056203 . PMID 19113196 .
^ Ginelli, F .; Poggi, P .; Turchi, A .; Chaté, H .; Livi, R .; Полити, А. (2007). «Характеризация динамики ковариантными векторами Ляпунова». Phys. Rev. Lett . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Bibcode : 2007PhRvL..99m0601G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.99.130601 . PMID 17930570 .
^ Купцов, Павел В .; Парлитц, Ульрих (2012). «Теория и вычисление ковариантных векторов Ляпунова». Журнал нелинейной науки . 22 (5): 727–762. arXiv : 1105,5228 . Bibcode : 2012JNS .... 22..727K . DOI : 10.1007 / s00332-012-9126-5 .

[Kalnay07-1] Kalnay, Е. (2007). Атмосферное моделирование, ассимиляция данных и предсказуемость . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.

[Kalnay02-2] Kalnay, E .; Corazza, M .; Цай, М. (2002). "Разводимые векторы такие же, как и векторы Ляпунова?" . EGS XXVII Генеральная Ассамблея . Архивировано из оригинала на 2010-06-05.

[Ott02-3] Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах (второе изд.). Издательство Кембриджского университета.

[OttYorke08-4] Ott, W .; Йорк, JA (2008). «Когда не существует показателей Ляпунова». Phys. Rev. E . 78 (5): 056203. Bibcode : 2008PhRvE..78e6203O . DOI : 10.1103 / PhysRevE.78.056203 . PMID 19113196 .

[Ginelli07-5] Ginelli, F .; Poggi, P .; Turchi, A .; Chaté, H .; Livi, R .; Полити, А. (2007). «Характеризация динамики ковариантными векторами Ляпунова». Phys. Rev. Lett . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Bibcode : 2007PhRvL..99m0601G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.99.130601 . PMID 17930570 .

[Parlitz2007-6] Купцов, Павел В .; Парлитц, Ульрих (2012). «Теория и вычисление ковариантных векторов Ляпунова». Журнал нелинейной науки . 22 (5): 727–762. arXiv : 1105,5228 . Bibcode : 2012JNS .... 22..727K . DOI : 10.1007 / s00332-012-9126-5 .

[1]