В теории вероятностей , то центральная предельная теорема утверждает , что при определенных условиях, сумма многих независимых одинаково распределенных случайных величин , при масштабировании соответственно, сходится по распределению к стандартному нормальному распределению . Мартингальная центральная предельная теорема обобщает этот результат для случайных величин к мартингалам , которые являются случайными процессами , где изменение величины процесса от времени т до момента времени Т + 1 , имеет математическое ожидание ноля, даже условное на предыдущих результатах.
Заявление
Вот простая версия центральной предельной теоремы мартингала: Пусть
- - быть мартингалом с ограниченными приращениями, т. е. предположить
а также
почти наверняка для некоторой фиксированной границы k и всех t . Также предположим, что почти наверняка.
Определять
и разреши
потом
сходится по распределению к нормальному распределению со средним 0 и дисперсией 1 как . Более конкретно,
Сумма дисперсий должна расходиться до бесконечности.
Формулировка приведенного выше результата неявно предполагает, что сумма дисперсий равна бесконечности, поэтому с вероятностью 1 выполняется следующее:
Это гарантирует, что с вероятностью 1:
Это условие нарушается, например, мартингалом, который почти наверняка всегда равен нулю.
Интуиция на результат
Результат можно интуитивно понять, записав соотношение в виде суммы:
Первый член в правой части асимптотически сходится к нулю, а второй член качественно аналогичен формуле суммирования для центральной предельной теоремы в более простом случае случайных величин iid. Хотя члены в приведенном выше выражении не обязательно iid, они некоррелированы и имеют нулевое среднее значение. Действительно:
Рекомендации
Многие другие варианты центральной предельной теоремы мартингала можно найти в:
- Холл, Питер; CC Heyde (1980). Теория пределов мартингейла и ее применение . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-319350-8.
- По поводу обсуждения там теоремы 5.4 и правильной формы следствия 5.3 (ii) см. Брэдли, Ричард (1988). «О некоторых результатах М.И. Гордина: разъяснение недоразумения». Журнал теоретической вероятности . Springer. 1 (2): 115–119. DOI : 10.1007 / BF01046930 .