Формула усиления Мэйсона (MGF) - это метод нахождения передаточной функции линейного графика потока сигналов (SFG). Формула была получена Samuel Jefferson Mason , [1] , которого он также назван в честь. MGF - это альтернативный метод нахождения передаточной функции алгебраически путем маркировки каждого сигнала, записи уравнения того, как этот сигнал зависит от других сигналов, а затем решения нескольких уравнений для выходного сигнала в терминах входного сигнала. MGF предоставляет пошаговый метод получения передаточной функции из SFG. Часто MGF можно определить путем проверки SFG. Этот метод может легко обрабатывать SFG с множеством переменных и циклов, включая циклы с внутренними циклами. MGF часто возникает в контекстесистемы управления и цифровые фильтры, поскольку системы управления и цифровые фильтры часто представлены SFG.
Формула
Формула усиления выглядит следующим образом:
где:
- Δ = определитель графа.
- y in = переменная входного узла
- y out = переменная выходного узла
- G = полное усиление между y in и y out
- N = общее количество прямых путей между y in и y out
- G k = коэффициент усиления k- го пути вперед между y in и y out
- L i = коэффициент усиления каждого замкнутого контура в системе
- L i L j = произведение коэффициентов усиления контура любых двух контуров без соприкосновения (без общих узлов)
- L i L j L k = произведение коэффициентов усиления любых трех попарно не соприкасающихся петель
- Δ k = значение кофактора Δ для k- го прямого пути, с удаленными петлями, касающимися k- го прямого пути. *
Определения [2]
- Путь: непрерывный набор ветвей, пересекаемых в указанном ими направлении.
- Прямой путь: путь от входного узла к выходному узлу, в котором ни один узел не затрагивается более одного раза.
- Цикл: путь, который начинается и заканчивается на одном и том же узле, в котором ни один узел не затрагивается более одного раза.
- Прирост на пути: результат прироста всех ветвей на пути.
- Коэффициент усиления петли: произведение коэффициентов усиления всех ветвей в петле.
Порядок поиска решения
- Составьте список всех прямых путей и их усилений и пометьте их G k .
- Составьте список всех петель и их усиления и обозначьте их L i (для петель i ). Составьте список всех пар петель без соприкосновения и произведений их выигрышей ( L i L j ). Составьте список всех попарно не соприкасающихся петель, взятых по три за раз ( L i L j L k ), затем по четыре за раз и так далее, пока их больше не будет.
- Вычислите определитель Δ и сомножители Δ k .
- Примените формулу.
Примеры
Схема, содержащая двухпортовый
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Circuit_with_two_port_and_equivalent_signal_flow_graph.png/400px-Circuit_with_two_port_and_equivalent_signal_flow_graph.png)
Передаточная функция от V in до V 2 желательна.
Есть только один прямой путь:
- V в к V 1 , чтобы я 2 до V 2 с коэффициентом усиления
Есть три петли:
- От V 1 до I 1 до V 1 с усилением
- От V 2 до I 2 до V 2 с усилением
- От V 1 до I 2 до V 2 до I 1 до V 1 с усилением
- Примечание: L 1 и L 2 не касаются друг друга, тогда как L 3 касается обеих других петель.
- Примечание: прямой путь касается всех петель, поэтому остается 1 .
Цифровой биквадратный БИХ-фильтр
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Signal_flow_graph_for_a_digital_IIR_Biquad.png/400px-Signal_flow_graph_for_a_digital_IIR_Biquad.png)
Цифровые фильтры часто представляют в виде диаграмм прохождения сигналов.
- Есть две петли
- Обратите внимание, две петли соприкасаются, поэтому для их продукта нет термина.
- Есть три прямых пути
- Все прямые пути касаются всех петель, так что
Сервопривод
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/10/Position_servo_and_signal_flow_graph.png/800px-Position_servo_and_signal_flow_graph.png)
График потока сигналов состоит из шести контуров. Они есть:
Есть один прямой путь:
Прямой путь касается всех петель, поэтому коэффициент
И усиление от входа к выходу равно
Эквивалентная матричная форма
Правило Мейсона можно сформулировать в простой матричной форме. Предполагать - матрица переходных процессов графа, где - это суммарный коэффициент пропускания ветвей от узла m к узлу n . Тогда выигрыш от узла m к узлу n графа равен, где
- ,
а также - единичная матрица.
Правило Мейсона также особенно полезно для получения передаточной функции z-области дискретных сетей, которые имеют внутренние петли обратной связи, встроенные во внешние петли обратной связи (вложенные петли). Если дискретную сеть можно нарисовать как граф потока сигналов, то применение правила Мейсона даст передаточную функцию H (z) этой сети в z-области.
Сложность и вычислительные приложения
Правило Мейсона может расти факториально, потому что количество путей в ориентированном графе резко увеличивается. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим полный ориентированный граф навершины, имея ребро между каждой парой вершин. Есть форма пути к для каждого из перестановки промежуточных вершин. Таким образом, в общем случае метод исключения Гаусса более эффективен.
Тем не менее, правило Мейсона характеризует передаточные функции взаимосвязанных систем одновременно алгебраическим и комбинаторным образом, что позволяет делать общие утверждения и другие вычисления в теории алгебраических систем. Хотя во время исключения Гаусса происходит множество обратных, правило Мейсона естественным образом собирает их в одну квазиобратную . Общая форма
Где, как описано выше, представляет собой сумму продуктов цикла, каждый из которых обычно попадает в идеал (например, строго причинные операторы). Дроби этой формы составляют подкольцо поля рациональных функций . Это наблюдение переносится на некоммутативный случай [3], хотя само правило Мейсона должно быть затем заменено правилом Ригла .
Смотрите также
Заметки
- ↑ Мейсон, Сэмюэл Дж. (Июль 1956 г.). «Теория обратной связи - дополнительные свойства графов потоков сигналов» (PDF) . Труды ИРЭ . 44 (7): 920–926. DOI : 10,1109 / jrproc.1956.275147 . ЛВП : 1721,1 / 4778 . S2CID 18184015 .
- ^ Куо, Бенджамин С. (1967). Системы автоматического управления (2-е изд.). Прентис-Холл. С. 59–60.
- ^ Плиам, Дж. О. и Ли, Э. Б. (1995). «О глобальных свойствах взаимосвязанных систем». IEEE Trans. Схемы и сист. Я . 42 (12): 1013–1017. DOI : 10.1109 / 81.481196 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
Рекомендации
- Болтон, В. Ньюнес (1998). Справочник по технике управления . Оксфорд: Newnes.
- Ван Валкенбург, Мэн (1974). Сетевой анализ (3-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл.