Массивная гравитация

В теоретической физике , массивная гравитация является теорией гравитации , которая изменяет общая теория относительности с помощью наделения гравитона с ненулевой массой . В классической теории это означает, что гравитационные волны подчиняются массивному волновому уравнению и, следовательно, движутся со скоростью ниже скорости света .

Массивная гравитация имеет долгую и извилистую историю, восходящую к 1930-м годам, когда Вольфганг Паули и Маркус Фирц впервые разработали теорию массивного поля со спином 2, распространяющегося на плоском пространственно-временном фоне. Позже в 1970-х годах было осознано, что теории массивного гравитона страдают опасными патологиями, в том числе призрачной модой и разрывом с общей теорией относительности в пределе, когда масса гравитона стремится к нулю. Хотя решения этих проблем существовали в течение некоторого времени в трех измерениях пространства-времени ^{[1] [2],} они не были решены в четырех измерениях и выше, пока не появились работы Клаудии де Рам , Грегори Габададзе.и Эндрю Толли (модель dRGT) в 2010 году.

Одна из самых ранних теорий массивной гравитации была построена в 1965 году Огиевецким и Полубариновым (О.П.). ^[3] Несмотря на то, что модель OP совпадает с моделями массивной гравитации без призраков, переоткрытыми в dRGT, модель OP была почти неизвестна современным физикам, работающим с массивной гравитацией, возможно, потому, что стратегия, использованная в этой модели, была совершенно иной. из того, что принято в настоящее время. ^[4] Массивная дуальная гравитация к модели OP ^[5] может быть получена путем соединения дуального поля гравитона с ротором его собственного тензора энергии-импульса. ^{[6] [7]}Поскольку смешанная симметричная напряженность поля дуальной гравитации сравнима с полностью симметричным тензором внешней кривизны теории галилеонов, эффективный лагранжиан двойственной модели в 4-D может быть получен из рекурсии Фаддеева – Леверрие , которая аналогична рекурсии из Теория галилеона с точностью до членов, содержащих полиномы следа напряженности поля. ^{[8] [9]} Это также проявляется в двойственной формулировке теории Галилеона. ^{[10] [11]}

Тот факт, что общая теория относительности модифицируется на больших расстояниях в массивной гравитации, дает возможное объяснение ускоренного расширения Вселенной, не требующего никакой темной энергии . Массивная гравитация и ее расширения, такие как биметрическая гравитация , ^[12] могут дать космологические решения, которые на самом деле показывают ускорение в позднем времени в соответствии с наблюдениями. ^{[13] [14] [15]}

Наблюдения за гравитационными волнами ограничили комптоновскую длину волны гравитона λ _g >1,6 × 10 ¹⁶  м , что можно интерпретировать как ограничение массы гравитона m _g <7,7 × 10 ⁻²³  эВ / c ² . ^[16] Последние наблюдения накладывают новое ограничение на λ _g >1,66 × 10 ¹⁶  м для m _g <7,45 × 10 ⁻²³  эВ / c ² и λ _g >1,83 × 10 ¹⁶  м для m _g <6,76 × 10 ⁻²³  эВ / c ² . ^[17]

Линеаризованная массивная гравитация [ править ]

На линейном уровне можно построить теорию массивного поля спина -2, распространяющегося в пространстве Минковского . Это можно рассматривать как расширение линеаризованной гравитации следующим образом. Линеаризованной гравитации получается путем линеаризации общей теории относительности вокруг плоского пространства, где это масса Планка с к гравитационной постоянной . Это приводит к кинетическому члену в лагранжиане, для которого согласуется с инвариантностью диффеоморфизма , а также с взаимодействием с материей вида${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + M _ {\ mathrm {Pl}} ^ {- 1} h _ {\ mu \ nu}}$${\displaystyle M_{\mathrm {Pl} }=(8\pi G)^{-1/2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$,

где - тензор энергии-импульса . Комбинация этого кинетического члена и взаимодействия материи представляет собой не что иное, как действие Эйнштейна – Гильберта, линеаризованное относительно плоского пространства.${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

Массивная гравитация получается добавлением непроизводных членов взаимодействия для . На линейном уровне (т.е. второго порядка по ) есть только два возможных массовых члена:${\displaystyle h_{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=ah^{\mu \nu }h_{\mu \nu }+b\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}.}$

Фирц и Паули ^[18] показали в 1939 г., что при этом распространяются только ожидаемые пять поляризаций массивного гравитона (по сравнению с двумя в безмассовом случае), если коэффициенты выбраны так, чтобы . Любой другой выбор откроет шестую, призрачную степень свободы. Призрак - это режим с отрицательной кинетической энергией. Его гамильтониан неограничен снизу, и поэтому он неустойчив к распаду на частицы сколь угодно большой положительной и отрицательной энергии. Термин массы Фирца-Паули ,${\displaystyle a=-b}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {FP} }=m^{2}\left(h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }-\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}\right)}$

является единственной последовательной линейной теорией массивного поля спина 2.

Прерывание vDVZ [ править ]

В 1970-х годах Хендрик ван Дам и Мартинус Дж. Велтман ^[19] и, независимо, Валентин И. Захаров ^[20] обнаружили особенное свойство массивной гравитации Фирца – Паули: ее предсказания в пределе не сводятся равномерно к предсказаниям общей теории относительности . В частности, в то время как на малых масштабах (короче, чем длина волны Комптона для массы гравитона) восстанавливается закон тяготения Ньютона , отклонение света составляет лишь три четверти результата, полученного Альбертом Эйнштейном в общей теории относительности. Это известно как разрыв vDVZ .${\displaystyle m\to 0}$

Мы можем понять меньшее отклонение света следующим образом. Массивный гравитон Фирца – Паули из-за нарушенной инвариантности диффеоморфизма, распространяет три дополнительные степени свободы по сравнению с безмассовым гравитоном линеаризованной общей теории относительности. Эти три степени свободы упаковываются в векторное поле, которое не имеет отношения к нашим целям, и скалярное поле. Эта скалярная мода оказывает дополнительное притяжение в массивном случае по сравнению с безмассовым случаем. Следовательно, если кто-то хочет, чтобы измерения силы, действующей между нерелятивистскими массами, согласовывались, константа связи массивной теории должна быть меньше, чем константа безмассовой теории. Но изгиб света не видит скалярный сектор, потому что тензор энергии-импульса света не имеет следов. Следовательно, при условии, что две теории согласуются в силе между нерелятивистскими зондами, массивная теория предсказывала бы меньшее отклонение света, чем безмассовое.

Скрининг Вайнштейна [ править ]

Два года спустя Вайнштейн ^[21] утверждал, что разрыв vDVZ является артефактом линейной теории, и что предсказания общей теории относительности фактически восстанавливаются в малых масштабах, если принять во внимание нелинейные эффекты, т. Е. Более высокие, чем квадратичные эффекты. термины в . Эвристически говоря, в пределах области, известной как радиус Вайнштейна.${\displaystyle h_{\mu \nu }}$, флуктуации скалярной моды становятся нелинейными, а ее производные высшего порядка становятся больше, чем канонический кинетический член. Таким образом, каноническая нормализация скаляра вокруг этого фона приводит к сильно подавленному кинетическому члену, который гасит флуктуации скаляра в пределах радиуса Вайнштейна. Поскольку дополнительная сила, опосредованная скаляром, пропорциональна (минус) его градиенту, это приводит к гораздо меньшей дополнительной силе, чем мы рассчитали бы, просто используя линейную теорию Фирца – Паули.

Это явление, известное как экранирование Вайнштейна , проявляется не только в массивной гравитации, но и в связанных теориях модифицированной гравитации, таких как DGP и некоторых скалярно-тензорных теориях , где оно имеет решающее значение для сокрытия эффектов модифицированной гравитации в Солнечной системе. . Это позволяет этим теориям соответствовать испытаниям гравитации Земли и Солнечной системы, а также общей теории относительности, сохраняя при этом большие отклонения на больших расстояниях. Таким образом, эти теории могут привести к космическому ускорению и иметь наблюдаемые отпечатки на крупномасштабной структуре Вселенной, не вступая в противоречие с другими, гораздо более строгими ограничениями из наблюдений ближе к дому.

Призрак Boulware-Deser [ править ]

В ответ на Freund -Maheshwari-Шонберг тяжести финитной модель ^[22] , и примерно в то же время , как явлению ВДВЗ и механизм Вайнштейна были обнаружено, Дэвид Бульвар и Стэнли Deser найдены в 1972 году общие нелинейные расширений фирцевский-Pauli теория вновь ввела опасный режим призраков; ^[23] они обнаружили, что настройка, которая гарантировала отсутствие этой моды в квадратичном порядке, как правило, нарушалась на кубическом и более высоких порядках, что приводило к повторному появлению призрака в этих порядках. В результате призрак Boulware-Deser будет присутствовать, например, на сильно неоднородном фоне.${\displaystyle a=-b}$

Это проблематично, потому что линеаризованная теория гравитации, такая как Фирц – Паули, хорошо определена сама по себе, но не может взаимодействовать с материей, так как связь нарушает инвариантность диффеоморфизма. Это необходимо исправить, добавляя новые термины все выше и выше до бесконечности . Для безмассового гравитона этот процесс сходится, и конечный результат хорошо известен: мы просто приходим к общей теории относительности. В этом смысл утверждения, что общая теория относительности является единственной теорией (с точностью до условий размерности, локальности и т. Д.) Безмассового поля со спином 2.${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$

Чтобы массивная гравитация действительно описывала гравитацию, то есть массивное поле со спином 2, взаимодействующее с материей и тем самым опосредуя гравитационную силу, аналогичным образом должно быть получено нелинейное завершение. Призрак Boulware-Deser представляет собой серьезное препятствие для таких усилий. Подавляющее большинство теорий массивных и взаимодействующих полей со спином 2 будут страдать от этого призрака и, следовательно, будут нежизнеспособны. Фактически, до 2010 года было широко распространено мнение, что все лоренц-инвариантные теории массивной гравитации обладают призраком Боулвэра-Дезера. ^[24]

Массивная гравитация без призраков [ править ]

В 2010 году был достигнут прорыв, когда де Рам , Габададзе и Толли построили, по порядку, теорию массивной гравитации с коэффициентами, настроенными так, чтобы избежать призрака Боулвэра-Дезера, упаковав все призрачные (то есть высшие производные) операторы в полные производные. которые не вносят вклад в уравнения движения. ^{[25] [26]} Полное отсутствие призрака Боулвэр-Дезер для всех порядков и за пределом развязки было впоследствии доказано Фавадом Хасаном и Рэйчел Розен . ^{[27] [28]}

Действие на призрак свободной де Рама -Gabadadze-Толли (dRGT) массивной гравитации определяется ^[29]

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {M_{\mathrm {Pl} }^{2}}{2}}R+m^{2}M_{\mathrm {Pl} }^{2}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\alpha _{n}e_{n}(\mathbb {K} )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i})\right),}$

или, что то же самое,

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {M_{\mathrm {Pl} }^{2}}{2}}R+m^{2}M_{\mathrm {Pl} }^{2}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}e_{n}(\mathbb {X} )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i})\right).}$

Ингредиенты требуют пояснений. Как и в стандартной общей теории относительности, существует кинетический член Эйнштейна – Гильберта, пропорциональный скаляру Риччи, и минимальная связь с лагранжианом материи , представляющая все поля материи, такие как поля Стандартной модели . Новый кусок термина массы, или потенциал взаимодействия, построенный осторожно , чтобы избежать призрака Бульвара-Дезеро, с силой взаимодействия , которая (если отлично от нуля в ) тесно связан с массой гравитона.${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }}$${\displaystyle \Phi _{i}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

ЧТ принцип калибровочной инвариантности делает избыточные выражения в любой теории поля , представленной с соответствующим датчиком (ами). Например, в массивном действии Прока со спином 1 массивная часть в лагранжиане нарушает калибровочную инвариантность. Однако инвариантность восстанавливается путем введения преобразований:${\displaystyle {\frac {1}{2}}mA_{\mu }A^{\mu }}$${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle A_{\mu }\to A_{\mu }+\partial _{\mu }\pi }$. То же самое можно сделать для массивной гравитации, следуя эффективной теории поля Аркани-Хамеда, Георги и Шварца для массивной гравитации. ^[30] Отсутствие разрыва vDVZ в этом подходе мотивировало развитие dRGT-пересуммирования теории массивной гравитации следующим образом. ^[26]

Потенциал взаимодействия строится из элементарных симметричных многочленов собственных значений матриц или , параметризованных безразмерными константами связи или , соответственно. Вот это матрица квадратный корень из матрицы . Записанный в индексной нотации, определяется отношением. Мы ввели эталонную метрику для построения термина взаимодействия. Для этого есть простая причина: невозможно построить нетривиальный взаимодействующий (то есть не производный) член на основе одного. Единственные возможности - и , обе из которых приводят к космологическому постоянному члену, а не к истинному${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f}}}$${\displaystyle \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f}}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle {\sqrt {g^{-1}f}}}$${\displaystyle g^{-1}f}$${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }.}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }}$${\displaystyle \operatorname {det} g}$взаимодействие. Физически соответствует фоновой метрике, вокруг которой флуктуации принимают форму Фирца – Паули. Это означает, что, например, нелинейное завершение теории Фирца – Паули вокруг пространства Минковского, приведенного выше, приведет к dRGT массивной гравитации с , хотя доказательство отсутствия призрака Боулвэра – Дезера в целом справедливо . ^[31]${\displaystyle f_{\mu \nu }}$${\displaystyle f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

Эталонная метрика преобразуется как метрический тензор при диффеоморфизме Следовательно , и аналогичные члены с более высокими степенями преобразуются как скаляр при том же диффеоморфизме. Для изменения координат мы расширяем с таким образом, что возмущенная метрика становится , в то время как потенциально-подобный вектор преобразуется в соответствии с уловкой Штюкельберга как таковой, что поле Штюкельберга определяется как . ^[32] Из диффеоморфизма можно определить другую матрицу Штюкельберга , где и имеют те же собственные значения. ^[33] Теперь мы рассматриваем следующие симметрии:${\displaystyle f_{\mu \nu }\to f'_{\mu \nu }(X(x))\equiv f_{\alpha \beta }\partial _{\mu }X^{\alpha }\partial _{\nu }X^{\beta }.}$${\displaystyle [\mathbb {X} ^{2}]=X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\mu }=g^{\mu \alpha }f_{\mu \alpha }}$${\displaystyle x_{\mu }\to x_{\mu }+\xi _{\mu }}$${\displaystyle X^{\mu }=x^{\mu }-\phi ^{\mu }}$${\displaystyle f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }\to h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\phi _{\nu }+\partial _{\nu }\phi _{\mu }-\partial _{\mu }\phi ^{\alpha }\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$${\displaystyle \phi _{\mu }\to \phi _{\mu }+\xi _{\mu }}$${\displaystyle \phi ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }(A_{\nu }-\partial _{\nu }\pi )}$${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}\equiv f_{bc}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }X^{a}\partial _{\nu }X^{c}}$${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}}$${\displaystyle \mathbb {X} _{~b}^{a}}$

• ${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+{\frac {2}{M_{\text{Pl}}}}{\mathcal {L}}_{\xi }h_{\mu \nu }}$ ,
• ${\displaystyle \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi -m\xi _{\mu }+{\frac {2}{M_{\text{Pl}}}}\xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }A_{\mu }}$ ,
• ${\displaystyle \delta \pi =-m\pi }$,

такая, что преобразованная возмущенная метрика принимает вид: ${\displaystyle h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\partial _{\nu }A_{\alpha }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\partial _{\nu }\partial _{\alpha }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \partial _{\nu }A^{\alpha }-2\partial _{\mu }\partial _{\nu }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }\partial ^{\alpha }\pi .}$

Ковариантный вид этих преобразований получается следующим образом. Если спиральности-0 (или спин-0) режим является чисто датчиком нефизических голдстоуновских мод, с , ^[34] матрицей является тензор функцией тензора covariantization метрики возмущения таким образом, что тензор является Stueckelbergized поля . ^[35] Режим спиральности-0 преобразуется при преобразованиях Галилея , отсюда и название «Галилеоны». ^[36] Матрица представляет собой тензорную функцию тензора коваритизации возмущения метрики с компонентами, заданными как , где - внешняя кривизна.${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Pi _{\mu \nu }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\pi }$${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {X} }}$${\displaystyle {\displaystyle H_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2{\Pi }_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }{\Pi }_{\mu \alpha }{\Pi }_{\beta \nu }}=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }-\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla _{\nu }\phi ^{b}}$${\displaystyle {\displaystyle h_{\mu \nu }}}$${\displaystyle H_{\mu \nu }}$${\displaystyle \phi ^{a}=A^{a}-\eta ^{a\mu }\nabla _{\mu }\pi }$${\displaystyle \pi \to \pi +c+v_{\mu }x^{\mu }}$${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle H_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }-f'_{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {X} _{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2{\mathcal {K}}_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }{\mathcal {K}}_{\mu \alpha }{\mathcal {K}}_{\beta \nu }}}$${\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-\left({\sqrt {\mathbb {X} }}\right)_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\sqrt {\eta _{\mu \nu }-H_{\mu \nu }}}}}$^[37]

Интересно, что тензор коваритизации был первоначально введен Махешвари в его авторской статье, продолжении модели спиральности- ( ) Фрейнда – Махешвари – Шенберга конечной области гравитации. ^[38] В работе Махешвари возмущение метрики подчиняется условию Гильберта-Лоренца при изменении , которое вводится в массивную гравитацию Огиевецкого-Полубаринова, где необходимо определить. ^[39] Легко заметить сходство между тензором в dRGT и тензором в работе Махешвари после выбора. Также модель Огиевецкого-Полубаринова требует , что означает, что в 4D вариация конформна.${\displaystyle 2\oplus 0}$${\displaystyle m^{2}(\partial _{\nu }h_{\mu \nu }+q\partial _{\mu }h)=0}$${\displaystyle \delta ^{*}h_{\mu \nu }=\delta h_{\mu \nu }+\delta h_{\mu \nu }^{spin}=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+p\eta _{\mu \nu }h+\delta h_{\mu \nu }^{spin}}$${\displaystyle p~{\text{and}}~q}$${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle h_{(p)}^{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu }-n\psi ^{\mu \nu })^{1/n}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=-1/p}$${\displaystyle p=-1/n=-{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }}$

Массивные поля dRGT разделяются на две степени свободы спиральность-2 , две спиральности-1 и одну спиральность-0 , как и в теории массивов Фирца-Паули. Однако коваритизация вместе с пределом развязки гарантирует, что симметрии этой массивной теории сведены к симметрии линеаризованной общей теории относительности плюс симметрии массивной теории, в то время как скаляр развязан. Если выбрано бездивергентным, то есть предел разделения dRGT дает известную линеаризованную гравитацию. ^[40] Чтобы увидеть, как это происходит, разверните термины, содержащиеся в действии, в степени , где выражается в терминах полей, например как${\displaystyle h_{\mu \nu }}$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle v_{\mu }}$${\displaystyle \Box \pi =0}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$${\displaystyle H_{\mu \nu }}$${\displaystyle H_{\mu \nu }}$${\displaystyle \phi ^{a}}$${\displaystyle h'_{\mu \nu }}$выражается в единицах . Поля заменяются: . Из этого следует, что в пределе расцепления , т. Е. В обоих случаях , лагранжиан массивной гравитации инвариантен относительно:${\displaystyle A^{\mu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }\ ,\ A_{\mu }\ ,\ \pi }$${\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=M_{\text{Pl}}h_{\mu \nu }\ ,\ {\tilde {A}}_{\mu }=M_{\text{Pl}}m\ A_{\mu }\ ,\ {\tilde {\pi }}=M_{\text{Pl}}m^{2}\pi \ ,\ {\hat {h}}_{\mu \nu }={\tilde {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }{\tilde {\pi }}}$${\displaystyle M_{\text{Pl}}\to \infty \ ,m\to 0\ ,\ m^{2}M_{\text{Pl}}={\text{const.}}}$

1. ${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }}$ как в линеаризованной общей теории относительности,
2. ${\displaystyle \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi }$ как в электромагнитной теории Максвелла,
3. ${\displaystyle \delta \pi =0}$.

В принципе, эталонная метрика должна быть указана вручную, и поэтому не существует единой теории массивной гравитации dRGT, поскольку теория с плоской эталонной метрикой отличается от теории с эталонной метрикой де Ситтера и т. Д. В качестве альтернативы можно подумать о как константа теории, как или . Вместо того чтобы указывать эталонную метрику с самого начала, можно позволить ей иметь собственную динамику. Если кинетический член для Эйнштейна-Гильберта, то теория остается свободной от духов , и мы остаемся с теорией массивной бигравитации ^[12] (или биметрической теорией относительности , BR), распространяющей две степени свободы безмассового гравитона в дополнение к пятерке массивной.${\displaystyle f_{\mu \nu }}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M_{\mathrm {Pl} }}$${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

На практике нет необходимости вычислять собственные значения (или ), чтобы получить . Они могут быть записаны непосредственно в терминах , как${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle \mathbb {X} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )&=1,\\e_{1}(\mathbb {X} )&=[\mathbb {X} ],\\e_{2}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{2}}\left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ][\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3}]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\end{aligned}}}$

где скобки означают след , . Именно особая антисимметричная комбинация терминов в каждом из них отвечает за то, что призрак Боулвара – Дезера становится нединамичным.${\displaystyle [\mathbb {X} ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }}$${\displaystyle e_{n}}$

Выбор , чтобы использовать или с в единичной матрице , является конвенцией, поскольку в обеих случаях термин массы призрака свободного является линейной комбинацией элементарных симметрических полиномов выбранной матрицы. Можно преобразовать один базис в другой, и в этом случае коэффициенты удовлетворяют соотношению ^[29]${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -\mathbb {X} }$${\displaystyle \mathbb {I} }$

${\displaystyle \beta _{n}=(4-n)!\displaystyle \sum _{i=n}^{4}{\frac {(-1)^{i+n}}{(4-i)!(i-n)!}}\alpha _{i}.}$

Коэффициенты представляют собой характеристический полином в форме определителя Фредгольма . Их также можно получить с помощью алгоритма Фаддеева – Леверье .

Огромная гравитация на языке vierbein [ править ]

В четырехмерной ортонормированной тетрадной системе есть основания:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{~\mu }^{0}&=(-1,0,0,0)\\e_{\mu }^{I}&=(0,e_{i}^{I})\end{aligned}}}$

где индекс предназначен для трехмерной пространственной компоненты -нонормальных координат, а индекс - для трехмерных пространственных компонентов -ортонормальных координат. Для параллельного переноса требуется спиновая связь. Следовательно, внешняя кривизна , соответствующая в метрическом формализме, становится равной${\displaystyle i}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e^{0\nu }\nabla _{e^{0\nu }}e_{~\mu }^{I}=0.}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$

${\displaystyle K_{j}^{i}\equiv {\frac {1}{2}}\gamma ^{ik}\partial _{t}(\gamma _{kj})=e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I}),}$

где - пространственная метрика, как в формализме ADM и формулировке начального значения .${\displaystyle \gamma _{ij}}$

Если тетрадный конформно преобразуется как внешняя кривизна становится где из уравнений Фридмана , и (несмотря на то, что является спорным ^[41] ), то есть внешней кривизной преобразований как . Это очень похоже на матрицу или тензор .${\displaystyle e_{i}^{I}\to {e'}_{i}^{I}\equiv a(t)~e_{i}^{I},}$${\displaystyle {K'}_{j}^{i}={\frac {a}{\dot {a}}}K_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-{\frac {a}{\dot {a}}}e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I}),}$ ${\displaystyle {\frac {a}{\dot {a}}}={\frac {a}{\partial _{t}a}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}}$${\displaystyle m\sim 1/{\sqrt {\Lambda }}}$${\displaystyle K_{j}^{i}\to mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{j}^{i}}$

DRGT был разработан на основе применения предыдущей техники к модели 5D DGP после рассмотрения деконструкции многомерных теорий гравитации Калуцы-Клейна ^[42], в которых дополнительное измерение (я) заменяется серией из N узлов решетки. таким образом, что метрика более высокого измерения заменяется набором взаимодействующих метрик, которые зависят только от компонентов 4D. ^[37]

Наличие матрицы квадратного корня несколько неудобно и указывает на альтернативную, более простую формулировку в терминах vierbeins . Разделение показателей на вирбейны как

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }\\f_{\mu \nu }&=\eta _{ab}f^{a}{}_{\mu }f^{b}{}_{\nu }\end{aligned}}}$

а затем определение одной формы

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{a}&=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {f} ^{a}&=f^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {i} ^{a}&=\delta ^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\end{aligned}}}$

члены безбидного взаимодействия в теории бигравитации Хассана-Розена могут быть записаны просто как (с точностью до числовых множителей) ^[43]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {e} ^{d}\\e_{1}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{2}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{3}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{4}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {f} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\end{aligned}}}$

Таким образом, с точки зрения vierbeins, а не показателей, мы можем довольно ясно увидеть физическое значение потенциальных терминов dRGT без привидений: они представляют собой просто все различные возможные комбинации продуктов клина vierbeins двух показателей.

Обратите внимание, что массивная гравитация в формулировках метрики и Вербейна эквивалентна только в том случае, если условие симметрии

${\displaystyle (e^{-1})_{a}{}^{\mu }f_{b\nu }=(e^{-1})_{b}{}^{\mu }f_{a\nu }}$

доволен. Хотя это верно для большинства физических ситуаций, могут быть случаи, например, когда материя соединяется с обеими метриками или в мультиметрических теориях с циклами взаимодействия, в которых это не так. В этих случаях формулировки метрики и вирбейна представляют собой разные физические теории, хотя каждая из них распространяет здоровый массивный гравитон.

Новизна в массивной гравитации dRGT состоит в том, что это теория калибровочной инвариантности относительно обоих локальных преобразований Лоренца, исходя из предположения, что эталонная метрика равна метрике Минковского , и инвариантности диффеоморфизма из-за существования активного искривленного пространства-времени . Это показано путем переписывания ранее обсуждавшегося формализма Штюкельберга на языке вирбейна следующим образом. ^[44]${\displaystyle f_{\mu \nu }}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

4D версия уравнений поля Эйнштейна в 5D читается

${\displaystyle G_{\mu \nu }n^{\mu }n^{\nu }={\frac {1}{2}}\left(R-K^{\mu \nu }K_{\mu \nu }+(K_{~\mu }^{\mu })^{2}\right),}$

где - вектор, нормальный к 4-мерному срезу. Используя определение массивной внешней кривизны, легко увидеть, что члены, содержащие внешние кривизны, принимают функциональную форму в тетрадном действии.${\displaystyle n^{\mu }}$${\displaystyle mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I},}$${\displaystyle (f^{a}-e^{a})\wedge (f^{b}-e^{b})\wedge e^{c}\wedge e^{d}}$

Следовательно, с точностью до числовых коэффициентов полное действие dRGT в тензорной форме имеет вид

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\int dx^{4}{\sqrt {g}}{\Big (}R+2m^{2}[e_{2}({\mathcal {K}})+e_{3}({\mathcal {K}})+e_{4}({\mathcal {K}})]{\Big )},}$

где функции принимают форму, аналогичную форме . Тогда с точностью до некоторых числовых коэффициентов действие принимает интегральный вид${\displaystyle e_{i}({\mathcal {K}})}$${\displaystyle e_{i}(\mathbb {X} )}$

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\epsilon _{abcd}\int {\Big (}\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land R^{cd}-m^{2}[\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {i} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}]{\Big )},}$

где первый член является Эйнштейна-Гильберта часть тетрадным действия Палатини и является символом Леви-Чивита .${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$

Поскольку развязывающий предел гарантирует , что и путь сравнения с , что является законным думать тензор Сравнивая это с определением 1-формы можно определить ковариантные компоненты поля кадра т.е. , чтобы заменить такие , что последнее три условия взаимодействия в действие vierbein становится${\displaystyle \Box \pi =0}$${\displaystyle A_{\mu }\to x_{\mu }}$${\displaystyle X^{\mu }}$${\displaystyle \phi ^{\mu }}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{a}=\delta _{~\mu }^{a}.}$${\displaystyle \mathbf {i} ^{a},}$ ${\displaystyle f_{~\mu }^{a}=\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\delta _{~\nu }^{a},}$${\displaystyle e_{~\mu }^{a}={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \phi ^{\mu }}}\Lambda _{~b}^{a}e_{~\nu }^{b}}$${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$

${\displaystyle S=-{\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}m^{2}\epsilon _{abcd}\int {\Big [}\mathbf {f} ^{a}\land (\Lambda _{b'}^{b}\mathbf {e} ^{b'})\land (\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'})\land (\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'})+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land (\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'})\land (\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'})+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \mathbf {f} ^{c}\land (\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}){\Big ]}.}$

Это может быть сделано, потому что можно свободно перемещать преобразования диффеоморфизма на эталонный vierbein через преобразования Лоренца . Что еще более важно, преобразования диффеоморфизма помогают проявить динамику мод спиральности-0 и спиральности-1, следовательно, их легко измерить, когда теория сравнивается с ее версией с единственными калибровочными преобразованиями, когда поля Штюкельберга отключены.${\displaystyle \partial _{\nu }\phi ^{\mu }}$${\displaystyle \Lambda _{~b}^{a}}$${\displaystyle U(1)}$

Можно задаться вопросом, почему отбрасываются коэффициенты и как гарантировать, что они являются числовыми без явной зависимости полей. Фактически это допустимо, потому что вариация действия Вирбейна относительно локально преобразованных по Лоренцеву полей Штюкельберга дает такой хороший результат. ^[44] Кроме того, мы можем явно решить для лоренц-инвариантных полей Штюкельберга, и, подставляя обратно в действие Вирбейна, мы можем показать полную эквивалентность тензорной форме массивной гравитации dRGT. ^[45]

Космология [ править ]

Если масса гравитона сравнима со скоростью Хаббла , то на космологических расстояниях массовый член может вызывать отталкивающий гравитационный эффект, который приводит к космическому ускорению. Поскольку, грубо говоря, повышенная симметрия диффеоморфизма в пределе защищает небольшую массу гравитона от больших квантовых поправок, выбор фактически является технически естественным . ^[46] Таким образом, массивная гравитация может обеспечить решение проблемы космологической постоянной : почему квантовые поправки не вызывают ускорение Вселенной в очень ранние времена?${\displaystyle m}$ ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m\sim H_{0}}$

Однако оказывается, что плоские и замкнутые космологические решения Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера не существуют в массивной гравитации dRGT с плоской эталонной метрикой. ^[13] Открытые решения и решения с общими эталонными метриками страдают нестабильностью. ^[47] Следовательно, жизнеспособные космологии могут быть найдены только в массивной гравитации, если кто-то откажется от космологического принципа , согласно которому Вселенная однородна в больших масштабах, или иным образом обобщит dRGT. Например, космологические решения лучше ведет себя в bigravity , ^[14] теория , которая расширяет dRGT давая динамику. Хотя они также, как правило, обладают нестабильностью, ^{[48] [49]}${\displaystyle f_{\mu \nu }}$эти нестабильности могут найти решение в нелинейной динамике (с помощью механизма, подобного Вайнштейну) или в продвижении эры нестабильности в очень раннюю Вселенную. ^[15]

3D массивная гравитация [ править ]

Частный случай существует в трех измерениях, когда безмассовый гравитон не распространяет никаких степеней свободы. Здесь можно сформулировать несколько теорий отсутствия привидений для массивного гравитона, распространяющего две степени свободы. В случае топологически массивной гравитации ^[1] действует действие

${\displaystyle S={\frac {M_{3}}{2}}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )+{\frac {1}{4\mu }}\epsilon ^{\lambda \mu \nu }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }\left(\partial _{\mu }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+{\frac {2}{3}}\Gamma _{\mu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\right),}$

с трехмерной планковской массой. Это трехмерная общая теория относительности, дополненная термином типа Черна-Саймонса, построенным из символов Кристоффеля .${\displaystyle M_{3}}$

Совсем недавно, теория упоминается как новая массивная гравитация была разработана, ^[2] , который описывается действие

${\displaystyle S=M_{3}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}\left[\pm R+{\frac {1}{m^{2}}}\left(R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-{\frac {3}{8}}R^{2}\right)\right].}$

Связь с гравитационными волнами [ править ]

Открытие гравитационных волн в 2016 г. ^[50] и последующие наблюдения дали ограничения на максимальную массу гравитонов, если они вообще массивны. После события GW170104 комптоновская длина волны гравитона оказалась не менее1,6 × 10 ¹⁶  м , или около 1,6 световых лет , что соответствует массе гравитона не более7,7 × 10 ⁻²³  эВ / c ² . ^[16] Это соотношение между длиной волны и энергией рассчитывается по той же формуле ( соотношение Планка – Эйнштейна ), которая связывает длину электромагнитной волны с энергией фотона . Однако фотоны , которые имеют только энергию и не имеют массы, в этом отношении принципиально отличаются от массивных гравитонов, поскольку комптоновская длина волны гравитона не равна длине волны гравитации. Вместо этого нижняя граница длины волны Комптона гравитона составляет околоВ 9 × 10 ⁹ раз больше, чем длина гравитационной волны для события GW170104, которая составила ~ 1700 км. Это связано с тем, что длина волны Комптона определяется массой покоя гравитона и является инвариантной скалярной величиной.

См. Также [ править ]

• Ускоряющееся расширение Вселенной
• Альтернативы общей теории относительности  - Предлагаемые теории гравитации
• Теория Хорндески
• Биметрическая гравитация  - Предлагаемые теории гравитации
• Модель DGP
• Скалярно-тензорная теория  - Теория в физике со скалярами и тензорами, которые описывают силу или взаимодействие.
• Двойной гравитон

Дальнейшее чтение [ править ]

Обзорные статьи

• де Рам, Клаудиа (2014), «Массивная гравитация», Living Reviews in Relativity , 17 (1): 7, arXiv : 1401.4173 , Bibcode : 2014LRR .... 17 .... 7D , doi : 10.12942 / lrr-2014 -7 , PMC  5256007 , PMID  28179850
• Хинтербихлер, Курт (2012), «Теоретические аспекты массивной гравитации», Обзоры современной физики , 84 (2): 671–710, arXiv : 1105.3735 , Bibcode : 2012RvMP ... 84..671H , doi : 10.1103 / RevModPhys. 84.671 , S2CID  119279950

Ссылки [ править ]