Максимальная дуга в конечной проективной плоскости является максимально возможной ( к , д ) - дуга в этой проективной плоскости. Если конечная проективная плоскость имеет порядок q ( на любой прямой есть q +1 точек), то для максимальной дуги k , количество точек дуги, является максимально возможным (= qd + d - q ) с свойство, что никакие d +1 точки дуги не лежат на одной прямой.
Определение
Позволять - конечная проективная плоскость порядка q (не обязательно дезаргова ). Максимальные дуги степени d (2 ≤ d ≤ q - 1) - это ( k , d ) - дуги в, где k максимально по параметру d , другими словами, k = qd + d - q .
Эквивалентно, можно определить максимальные дуги степени d вкак непустые наборы точек K такие, что каждая прямая пересекает набор либо в 0, либо в d точках.
Некоторые авторы допускают, чтобы степень максимальной дуги равнялась 1, q или даже q + 1. [1] Пусть K - максимальная ( k , d ) -дуга в проективной плоскости порядка q , если
- d = 1, K - точка плоскости,
- d = q , K - дополнение к прямой ( аффинная плоскость порядка q ), а
- d = q + 1, K - вся проективная плоскость.
Все эти случаи считаются тривиальными примерами максимальных дуг, существующих в проективной плоскости любого типа для любого значения q . Когда 2 ≤ d ≤ q - 1, максимальная дуга называется нетривиальной , а определение, данное выше, и свойства, перечисленные ниже, относятся к нетривиальным максимальным дугам.
Характеристики
- Количество прямых, проходящих через фиксированную точку p , а не на максимальной дуге K , пересекающих K в d точках, равно. Таким образом, d делит q .
- В частном случае d = 2 максимальные дуги называются гиперовалами, которые могут существовать, только если q четно.
- Дуга K, имеющая на одну точку меньше, чем максимальная дуга, всегда может быть однозначно расширена до максимальной дуги, добавив к K точку, в которой пересекаются все прямые, пересекающие K в d - 1 точках. [2]
- В PG (2, q ) с нечетным q нет нетривиальных максимальных дуг. [3]
- В PG (2,2 h ) существуют максимальные дуги для любой степени 2 t , 1 ≤ t ≤ h . [4]
Частичная геометрия
Можно построить частичные геометрии , полученные из максимальных дуг: [5]
- Пусть K - максимальная дуга степени d . Рассмотрим структуру заболеваемости, где P содержит все точки проективной плоскости не на K , B содержит всю прямую проективной плоскости, пересекающую K в d точках, а инцидентность I является естественным включением. Это частичная геометрия:.
- Рассмотрим пространство и пусть K - максимальная дуга степени в двумерном подпространстве . Рассмотрим структуру заболеваемостигде P содержит все точки, не входящие в, B содержит все строки, не входящие в и пересекающиеся в точке в K , и I снова является естественным включением. это снова частичная геометрия: .
Заметки
- Перейти ↑ Hirschfeld 1979 , pp. 325
- Перейти ↑ Hirschfeld 1979 , pg. 328
- ^ Болл, Blokhuis & Mazzocca 1997
- ^ Деннистон 1969
- ^ Thas 1974
Рекомендации
- Мячи.; Blokhuis, A .; Mazzocca, Ф. (1997), "Максимальные дуги в дезарговых плоскостях нечетного порядка не существует", Combinatorica , 17 : 31-41, DOI : 10.1007 / bf01196129 , МР 1466573 , Zbl +0880,51003
- Denniston, RHF (1969), "Некоторые максимальные дуги в конечных проективных плоскостях", J. Comb. Теория , 6 (3): 317-319, DOI : 10.1016 / s0021-9800 (69) 80095-5 , МР 0239991 , Zbl +0167,49106
- Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853526-3
- Mathon, R. (2002), "Новые максимальные дуги в дезарговых плоскостях", J. Comb. Теоретически , 97 (2): 353-368, DOI : 10,1006 / jcta.2001.3218 , МР 1883870 , Zbl +1010,51009
- Thas, JA (1974), "Построение максимальных дуг и частичных геометрий", Geom. Dedicata , 3 : 61-64, DOI : 10.1007 / bf00181361 , МР 0349437 , Zbl +0285,50018