Структура заболеваемости состоит из точек , линии , и флаги где точка считается инцидентом с линией если . Это ( конечная ) частичная геометрия, если есть целые числа такой, что:
- Для любой пары различных точек а также , существует не более одной инцидентной линии с ними обоими.
- Каждая строка инцидент с точки.
- Каждая точка связана с линий.
- Если точка и линия не случайны, есть ровно пары , так что инцидент с а также инцидент с .
Частичная геометрия с этими параметрами обозначается как .
Характеристики
- Количество баллов определяется как и количество строк на .
- Точечный график (также известный как график коллинеарности )является сильно регулярным графом :.
- Частичные геометрии - это двойственные структуры: двойственная просто .
Особый случай
- В обобщенных четырехугольников в точности те частичные геометрии с участием .
- Системы Штайнера это именно те частичные геометрии с участием .
Обобщения
Частичное линейное пространство порядка называется полупчастичной геометрией, если есть целые числа такой, что:
- Если точка и линия не случайны, есть либо или точно пары , так что инцидент с а также инцидент с .
- Каждая пара неколлинеарных точек имеет ровно общие соседи.
Полупарциальная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда .
Нетрудно показать, что граф коллинеарности такой геометрии сильно регулярен с параметрами .
Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной подплоскости Бэра; у него есть параметры.
Смотрите также
Рекомендации
- Брауэр, AE; ван Линт, Дж. Х. (1984), «Сильно регулярные графы и частичные геометрии», Джексон, DM; Ванстон, С.А. (ред.), Перечисление и дизайн , Торонто: Academic Press, стр. 85–122.
- Bose, RC (1963), "Сильно регулярные графы, частичные геометрии и частично сбалансированные планы" , Pacific J. Math. , 13 : 389-419, DOI : 10,2140 / pjm.1963.13.389
- De Clerck, F .; Ван Малдегем, Х. (1995), "Некоторые классы геометрий ранга 2", Справочник по геометрии инцидентности , Амстердам: Северная Голландия, стр. 433–475
- Thas, JA (2007), «Частичные геометрии», в Colbourn, Charles J .; Диниц, Джеффри Х. (ред.), Справочник по комбинаторным схемам (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC, стр. 557–561 , ISBN 1-58488-506-8
- Debroey, I .; Thas, JA (1978), "о получастичных геометрии", Журнал комбинаторной теории, Series A , 25 : 242-250, DOI : 10.1016 / 0097-3165 (78) 90016-х