Многомерная супергравитация

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Август 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Многомерная супергравитация - это суперсимметричное обобщение общей теории относительности в высших измерениях. Супергравитацию можно сформулировать в любом количестве измерений до одиннадцати. В этой статье основное внимание уделяется супергравитации (СУГРА) более чем в четырех измерениях.

Супермультиплеты [ править ]

Поля, связанные преобразованиями суперсимметрии, образуют супермультиплет ; тот, который содержит гравитон, называется супергравитационным мультиплетом .

Название теории супергравитации обычно включает в себя число измерений пространства - время , что он обитает, а также число из гравитиных , что у него есть. Иногда во имя теории также включается выбор супермультиплетов. Например, (9 + 1) -мерная супергравитация имеет 9 пространственных измерений, одно временное и 2 гравитино . Хотя состав поля в различных теориях супергравитации значительно различается, все теории супергравитации содержат по крайней мере одно гравитино, и все они содержат один гравитон. ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} = 2}$ . Таким образом, каждая теория супергравитации содержит единственный супергравитационный супермультиплет. До сих пор неизвестно, можно ли построить теории с несколькими гравитонами, которые не эквивалентны множественным разделенным теориям с одним гравитоном в каждой ^{[ необходимая цитата ]} . В теориях максимальной супергравитации (см. Ниже) все поля связаны преобразованиями суперсимметрии, так что существует только один супермультиплет: супергравитационный мультиплет.

Измеренная супергравитация против супергравитации Янга – Миллса [ править ]

Часто используется злоупотребление терминологией, когда «калибровочная супергравитация» относится к теории супергравитации, в которой поля в теории заряжены по отношению к векторным полям в теории. Однако, когда различие важно, следующая номенклатура является правильной. Если глобальная (т.е. жесткая) R-симметрия является калиброванной, гравитино заряжается относительно некоторых векторных полей, и теория называется калиброванной супергравитацией . Когда другие глобальные (жесткие) симметрии (например, если теория является нелинейной сигма-моделью) теории калиброваны так, что некоторые (не гравитино) поля заряжены относительно векторов, это известно как теория супергравитации Янга – Миллса – Эйнштейна. Конечно, можно представить себе «калибровочную теорию Янга – Миллса – Эйнштейна», используя комбинацию вышеупомянутых калибровок.

Подсчет гравитино [ править ]

Гравитино - это фермионы, что означает, что согласно теореме спиновой статистики они должны иметь нечетное число спинорных индексов. Фактически, поле гравитино имеет один спинор и один векторный индекс, что означает, что гравитино трансформируется как тензорное произведение спинорного представления и векторного представления группы Лоренца . Это спинор Рариты – Швингера .

Хотя для каждой группы Лоренца существует только одно векторное представление, в целом существует несколько различных спинорных представлений. Технически это действительно представления двойного покрытия группы Лоренца, называемого спиновой группой .

Каноническим примером спинорного представления является спинор Дирака , который существует во всех измерениях пространства-времени. Однако спинорное представление Дирака не всегда неприводимо. При вычислении числа всегда считается количество реальных неприводимых представлений. Спиноры со спинами менее 3/2, которые существуют в каждом количестве измерений, будут классифицированы в следующем подразделе. ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$

Классификация спиноров [ править ]

Доступные спинорные представления зависят от k ; Максимальная компактная подгруппа из маленькой группы из группы Лоренца , которая сохраняет импульс безмассовой частицы является Спин ( д - 1) × Спин ( д - к - 1), где K равно числу д пространственных измерений минус число d - k временных измерений. (См спиральности (физика элементарных частиц) ) Так , например, в нашем мире, это 3 - 1 = 2. Из - мод 8 периодичности Ботта из гомотопических группгруппы Лоренца, на самом деле нам нужно только рассмотреть k по модулю 8.

Для любого значения k существует представление Дирака, которое всегда имеет действительную размерность, где - наибольшее целое число, меньшее или равное x. Когда существует реальное спинорное представление Майораны , размерность которого вдвое меньше, чем у представления Дирака. Когда k четно, существует спинорное представление Вейля , реальная размерность которого снова вдвое меньше, чем у спинора Дирака. Наконец, когда k делится на восемь, то есть когда k равно нулю по модулю восемь, существует спинор Майорана – Вейля , действительная размерность которого составляет одну четверть спинора Дирака. ${\ displaystyle 2 ^ {1+ \ lfloor {\ frac {2d-k} {2}} \ rfloor}}$ ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ ${\ Displaystyle -2 \ Leq К \ Leq 2 {\ pmod {8}}}$

Иногда также рассматривают симплектические спиноры Майораны, которые существуют, когда , у которых есть половина, имеющая много компонентов, как спиноры Дирака. Когда k = 4, они также могут быть Вейлевскими, что дает симплектические спиноры Майораны Вейля, которые имеют на четверть меньше компонентов, чем спиноры Дирака. ${\ Displaystyle 3 \ Leq К \ Leq 5}$

Выбор хиральности [ править ]

Спиноры в n -мерности являются представлениями (на самом деле модулями ) не только n- мерной группы Лоренца , но также алгебры Ли, называемой n -мерной алгеброй Клиффорда . Наиболее часто используемый базис комплексного -мерного представления алгебры Клиффорда, представления, действующего на спиноры Дирака, состоит из гамма-матриц . ${\ displaystyle 2 ^ {\ lfloor n \ rfloor}}$

Когда n является даже произведением всех гамма-матриц, что часто называют так, как это было впервые рассмотрено в случае n = 4, само по себе не является членом алгебры Клиффорда. Однако, будучи продуктом элементов алгебры Клиффорда, он находится в универсальной оболочке алгебры и, таким образом, действует на спиноры Дирака. ${\ displaystyle \ Gamma _ {5}}$

В частности, спиноры Дирака могут быть разложены на собственные подпространства с собственными значениями, равными , где k - количество пространственных минус временных измерений в пространстве-времени. Каждый спинор в этих двух собственных подпространствах формирует проективные представления группы Лоренца, известные как спиноры Вейля . Собственное значение ниже известно как киральность спинора, который может быть левым или правым. ${\ displaystyle \ Gamma _ {5}}$ $\pm (-1)^{-k/2}$ $\Gamma _{5}$

Частица, которая превращается в отдельный спинор Вейля, называется хиральной. Теорема CPT , которая требуется из-за лоренц-инвариантности в пространстве Минковского , означает, что, когда существует одно временное направление, такие частицы имеют античастицы противоположной киральности.

Напомним, что собственные значения , чьи собственные подпространства являются двумя киральностями, равны . В частности, когда k равно двум по модулю четыре, два собственных значения комплексно сопряжены, и поэтому две киральности представлений Вейля являются комплексно сопряженными представлениями. $\Gamma _{5}$ $\pm (-1)^{-k/2}$

Комплексное сопряжение в квантовых теориях соответствует обращению времени. Следовательно, из теоремы CPT следует, что когда количество измерений Минковского делится на четыре (так, что k равно 2 по модулю 4), существует равное количество левых и правых суперзарядов. С другой стороны, если размерность равна 2 по модулю 4, может быть разное количество левых и правых суперзарядов, и поэтому часто можно пометить теорию дублетом, где и - количество левых и правых зарядов. сдал соответственно наддувы. ${\mathcal {N}}=({\mathcal {N}}_{L},{\mathcal {N}}_{R})$ ${\mathcal {N}}_{L}$ ${\mathcal {N}}_{R}$

Подсчет суперсимметрий [ править ]

Все теории супергравитации инвариантны относительно преобразований в суперпуанкаре алгебры , хотя отдельные конфигурации, как правило, не инвариантны относительно всех преобразований в этой группе. Группа Суперпуанкаре порождается алгеброй Суперпуанкаре , которая является супералгеброй Ли . Супералгебра Ли - это градуированная алгебра, в которой элементы нулевой степени называются бозонными, а элементы первой степени - фермионными. Коммутатор, то есть антисимметричная скобка, удовлетворяющая тождеству Якоби, определяется между каждой парой генераторов фиксированной степени, за исключением пар фермионных генераторов, для которых вместо этого определяется симметричная скобка, называемая антикоммутатором. $\mathbf {Z} _{2}$

Фермионные генераторы также называют наддувом . Любая конфигурация, инвариантная относительно любого из суперзарядов, называется BPS , и часто теоремы о неперенормировке демонстрируют, что такие состояния особенно легко обрабатываются, поскольку на них не влияют многие квантовые поправки.

Суперзаряды превращаются в спиноры, и количество неприводимых спиноров этих фермионных генераторов равно количеству гравитино, определенному выше. Часто определяется как количество фермионных генераторов, а не количество гравитино, потому что это определение распространяется на суперсимметричные теории без гравитации. ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {N}}$

Иногда удобно характеризовать теории не числом неприводимых представлений гравитино или сверхзарядов, а вместо этого общим Q их размеров. Это связано с тем, что некоторые особенности теории имеют одинаковую Q- зависимость в любом количестве измерений. Например, часто интересуют только теории, в которых все частицы имеют спин меньше или равный двум. Для этого требуется, чтобы Q не превышало 32, за исключением, возможно, особых случаев, когда суперсимметрия реализуется нетрадиционным, нелинейным образом с произведениями бозонных генераторов в антикоммутаторах фермионных генераторов. ${\mathcal {N}}$

Примеры [ править ]

Максимальная супергравитация [ править ]

Теории супергравитации, которые вызвали наибольший интерес, не содержат спинов выше двух. Это означает, в частности, что они не содержат полей, которые трансформируются как симметричные тензоры ранга выше двух при преобразованиях Лоренца. Однако согласованность взаимодействующих теорий поля высших спинов в настоящее время вызывает очень активный интерес.

Суперзаряды в каждой супер-алгебре Пуанкаре порождаются мультипликативным базисом из m фундаментальных суперзарядов, а аддитивный базис суперзарядов (это определение суперзарядов немного шире, чем данное выше) дается произведением любого подмножества эти m фундаментальных наддувов. Количество подмножеств из m элементов равно 2 ^m , таким образом, пространство суперзарядов 2 ^m -мерно.

Поля в суперсимметричной теории образуют представления суперпуанкаре алгебры. Можно показать, что когда m больше 5, нет представлений, содержащих только поля со спином, меньшим или равным двум. Таким образом, нас интересует случай, когда m меньше или равно 5, что означает, что максимальное количество суперзарядов равно 32. Теория супергравитации с ровно 32 суперсимметриями известна как максимальная супергравитация .

Выше мы видели, что количество суперзарядов в спиноре зависит от размерности и сигнатуры пространства-времени. В спинорах возникают перезаряды. Таким образом, указанное выше ограничение на количество сверхзарядов не может быть выполнено в пространстве-времени произвольной размерности. Ниже мы опишем некоторые из случаев, в которых он выполняется.

12-мерная двумерная теория [ править ]

Наивысшее измерение, в котором существуют спиноры только с 32 суперзарядами, равно 12. Если имеется 11 пространственных направлений и 1 направление во времени, то будут спиноры Вейля и Майорана, которые имеют размерность 64 и поэтому являются слишком большими. Однако некоторые авторы рассматривали нелинейные действия суперсимметрии, при которых поля более высоких спинов могут не возникать.

Если вместо этого рассматривать 10 пространственных направлений и второе временное измерение, то имеется спинор Майорана – Вейля, который, как и хотелось бы, имеет только 32 компонента. Обзор теорий двукратности, сделанный одним из их основных сторонников, Ицхаком Барсом , можно найти в его статье «Физика двукратного действия» и « Физика двукратного действия» на arxiv.org . Он рассматривал 12-мерную супергравитацию в супергравитации, дуальность p-браны и скрытые измерения пространства и времени .

Широко, но не повсеместно считалось, что теории двух времен могут иметь проблемы. Например, могут быть проблемы причинности (разрыв между причиной и следствием) и проблемы унитарности (отрицательная вероятность, призраки). Кроме того, подход к квантовой механике, основанный на гамильтониане, возможно, придется изменить при наличии второго гамильтониана в другое время. Однако в физике двух времен было продемонстрировано, что такие потенциальные проблемы решаются с соответствующей калибровочной симметрией.

Некоторые другие две теории времени описывают поведение низкоэнергетических, таких как Камран Вафа «s F-теории , которая также сформулирована с помощью 12 размеров. Однако сама F-теория не является двукратной теорией. Можно понять 2 из 12 измерений F-теории как бухгалтерский прием; их не следует путать с другими 10 координатами пространства-времени. Эти два измерения как-то двойственны друг другу и не должны рассматриваться независимо.

11-мерная максимальная СУГРА [ править ]

Эта максимальная супергравитация является классическим пределом М-теории . Классически у нас есть только одна 11-мерная теория супергравитации: 7-мерное гиперпространство + 4 общих измерения. Как и все максимальные супергравитеты, он содержит единственный супермультиплет, супергравитационный супермультиплет, содержащий гравитон, майорановское гравитино и 3-формное калибровочное поле, часто называемое C-полем.

Он содержит два раствора p-бран , 2-брану и 5-брану, которые электрически и магнитно заряжены, соответственно, по отношению к C-полю. Это означает, что заряды 2-бран и 5-бран являются нарушением тождеств Бианки для дуального C-поля и исходного C-поля соответственно. Супергравитационные 2-браны и 5-браны являются длинноволновыми пределами (см. Также исторический обзор выше) для M2-браны и M5-браны в M-теории.

Теории 10d SUGRA [ править ]

Тип IIA SUGRA: N = (1, 1) [ править ]

Эта максимальная супергравитация является классическим пределом теории струн типа IIA . Содержимое поля супергравитации супермультиплета состоит из гравитона, майорановская гравитин, а поле Кэлба-Рамон , нечетномерные рамоны-рамоновские калибровочные потенциалы, A дилатонный и dilatino .

Тождества Бианки калибровочных потенциалов Рамона – Рамона могут быть нарушены добавлением источников , которые называются D (8 - 2 k ) -бранами. $C_{2k-1}$ $\rho$

ddC_{2k-1}=\rho .\,\,\,

В демократической формулировке супергравитации типа IIA существуют калибровочные потенциалы Рамона – Рамона для 0 < k <6, что приводит к D0-бранам (также называемым D-частицами), D2-бранам, D4-бранам, D6-бранам и, если один включает случай k = 0, D8-браны. Кроме того, существуют фундаментальные струны и их электромагнитные двойники, которые называются NS5-бранами .

Хотя очевидно, что нет калибровочных соединений формы −1, соответствующая напряженность поля формы ₀G ₀ может существовать. Эта напряженность поля называется массой римлян, и когда она не равна нулю, теория супергравитации называется массивной супергравитацией IIA или супергравитацией римлян IIA . Из приведенного выше тождества Бианки мы видим, что D8-брана - это доменная стенка между зонами с различным G ₀ , таким образом, в присутствии D8-браны, по крайней мере, часть пространства-времени будет описываться теорией римлян.

IIA SUGRA от 11d SUGRA [ править ]

IIA SUGRA - это размерная редукция 11-мерной супергравитации на окружности. Это означает, что супергравитация 11d в пространстве-времени эквивалентна супергравитации IIA на 10-многообразии, где исключаются моды с массами, пропорциональными обратному радиусу круга S ¹ . $M^{10}\times S^{1}\,$ $M^{10}\,$

В частности, поле и содержание бран в супергравитации IIA могут быть получены с помощью этой процедуры уменьшения размеров. Однако поле не возникает из-за уменьшения размерности, массивный IIA, как известно, не является размерным уменьшением какой-либо многомерной теории. 1-форма Рамона – Рамона - это обычная 1-форма связности, которая возникает из процедуры Калуцы – Клейна, она возникает из компонентов 11-мерной метрики, которые содержат один индекс вдоль компактифицированной окружности. Калибровочный потенциал 3-формы IIA $G_{0}$ $C_{1}\,$ $C_{3}\,$ представляет собой редукцию компонент калибровочного потенциала 11d 3-формы с индексами, не лежащими вдоль окружности, в то время как B-поле 2-формы Калба – Рамона IIA состоит из тех компонентов 11-мерной 3-формы с одним индексом вдоль круг. Высшие формы в IIA не являются независимыми степенями свободы, но получаются из низших форм с использованием двойственности Ходжа.

Точно так же браны IIA происходят от 11-размерных бран и геометрии. D0-брана IIA представляет собой импульсную моду Калуцы – Клейна вдоль компактифицированной окружности. Основная струна IIA представляет собой 11-мерную мембрану, которая охватывает уплотненный круг. IIA D2-брана представляет собой 11-мерную мембрану, которая не охватывает компактифицированный круг. D4-брана IIA - это 11-мерная 5-брана, охватывающая компактифицированный круг. IIA NS5-брана - это 11-мерная 5-брана, не охватывающая компактифицированный круг. IIA D6-брана является монополем Калуцы – Клейна, т. Е. Топологическим дефектом компактного расслоения на окружность. Подъем IIA D8-браны до 11-мерного состояния неизвестен, поскольку одна сторона геометрии IIA как нетривиальная римская масса, а 11-мерный оригинал римской массы неизвестен.

Тип IIB SUGRA: N = (2, 0) [ править ]

Эта максимальная супергравитация является классическим пределом теории струн типа IIB . Содержимое поля супергравитации супермультиплета состоит из гравитона, Вейль гравитин, А поле Кэлба-Рамон , четномерные рамоны-рамоновские калибровочные потенциалы, A дилатонный и dilatino .

Поля Рамона – Рамона порождаются нечетномерными D (2 k + 1) -бранами, которые содержат суперсимметричные U (1) калибровочные теории. Как и в супергравитации IIA, фундаментальная струна является электрическим источником для B-поля Калба – Рамона, а NS5-брана - магнитным источником. В отличие от теории IIA, NS5-брана содержит суперсимметричную калибровочную теорию U (1) мирового объема с суперсимметрией, хотя часть этой суперсимметрии может быть нарушена в зависимости от геометрии пространства-времени и других присутствующих бран. ${\mathcal {N}}=(1,1)$

Эта теория обладает SL (2, R ) -симметрией, известной как S-дуальность, которая меняет местами поле Калба – Рамона и RR 2-форму, а также смешивает дилатон и RR 0-форму аксиона .

SUGRA типа I: N = (1, 0) [ править ]

Это классические пределы теории струн типа I и двух гетеротических теорий струн . Существует один спинор суперзарядов Майорана – Вейля , который в 10 измерениях содержит 16 суперзарядов. Поскольку 16 меньше 32, максимальное количество наддувов типа I не является максимальной теорией супергравитации.

В частности, это означает, что существует более одной разновидности супермультиплета. На самом деле их два. Как обычно, существует супергравитационный супермультиплет. Это меньше, чем супергравитационный супермультиплет типа II, он содержит только гравитон , гравитино Майорана – Вейля , калибровочный потенциал 2-формы, дилатон и дилатино . Является ли это 2-форма считается поле Кэлб-Рамона или поле Рамона-Рамона зависит от того, считает ли одна теория супергравитация быть классическим пределом гетеротической теории струн или типа I теории струн . Также существует векторный супермультиплет, который содержит калибровочный потенциал одной формы, называемый глюоном, а также глюино Майорана – Вейля .

В отличие от супергравитации типа IIA и IIB, для которых классическая теория уникальна, в качестве классической теории супергравитация согласуется с одним супергравитационным супермультиплетом и любым количеством векторных мультиплетов. Она также согласована без супермультиплета супергравитации, но тогда она не будет содержать гравитона и, следовательно, не будет теорией супергравитации. Хотя можно добавить несколько супергравитационных супермультиплетов, неизвестно, могут ли они последовательно взаимодействовать. Можно не только определять количество векторных супермультиплетов, если таковые имеются, но также есть некоторая свобода в определении их связей. Они должны описывать классическую калибровочную теорию Янга – Миллса. ${\mathcal {N}}=1$ , но выбор калибровочной группы произволен. Кроме того, в классической теории можно сделать выбор в пользу гравитационных связей.

Хотя существует множество разновидностей классических сверхтяжелостей, не все они являются классическими пределами квантовых теорий. Обычно квантовые версии этих теорий страдают от различных аномалий, что можно увидеть уже на 1-петле на шестиугольных диаграммах Фейнмана . В 1984 и 1985 годах Майкл Грин и Джон Х. Шварц показали, что если включить точно 496 векторных супермультиплетов и выбрать определенные связи 2-формы и метрики, то гравитационные аномалии сокращаются. Это называется механизмом подавления аномалии Грина – Шварца . ${\mathcal {N}}=1$

Кроме того, для устранения аномалии необходимо устранить аномалии калибратора . Это фиксирует датчик алгебра симметрии , чтобы быть , , или . Однако только первые две алгебры Ли могут быть получены из теории суперструн ^[^ссылка^] . В квантовых теориях, по крайней мере, с 8 перезарядами, как правило, существуют непрерывные пространства модулей вакуума. В компактификации ${\mathfrak {so}}(32)$ ${\mathfrak {e}}_{8}\oplus {\mathfrak {e}}_{8}$ ${\mathfrak {e}}_{8}\oplus 248{\mathfrak {u}}(1)$ $496{\mathfrak {u}}(1)$ из этих теорий, имеющих 16 перезарядов, существуют вырожденные вакуумы с разными значениями петель Вильсона. Такие лупы Вильсона можно использовать для нарушения калибровочной симметрии на различные подгруппы. В частности, указанные выше калибровочные симметрии могут быть нарушены, чтобы получить не только калибровочную симметрию стандартной модели, но также группы симметрии, такие как SO (10) и SU (5), которые популярны в теориях GUT .

9d теории сугра [ править ]

В 9-мерном пространстве Минковского единственным неприводимым спинорным представлением является спинор Майорана , который имеет 16 компонентов. Таким образом, сверхзаряды населяют спиноры Майораны, которых не более двух.

Максимальный 9d SUGRA от 10d [ править ]

В частности, если есть два майорановских спинора, то получается 9-мерная теория максимальной супергравитации. Напомним, что в 10 измерениях существовали две неэквивалентные теории максимальной супергравитации, IIA и IIB. Размерная редукция либо IIA или IIB по окружности является уникальным 9-мерным супергравитация. Другими словами, IIA или IIB на произведении 9-мерного пространства M ⁹ и круга эквивалентны 9-мерной теории на M ⁹ , с модами Калуцы – Клейна, если не брать предел, в котором окружность сжимается. до нуля.

Т-дуальность [ править ]

В более общем плане можно было бы рассмотреть 10-мерную теорию на нетривиальном круговом расслоении над M ⁹ . Уменьшение размерности по-прежнему приводит к 9-мерной теории на M ⁹ , но с калибровочным потенциалом 1-формы, равным связи кругового расслоения, и напряженности поля 2-формы, которая равна классу Черна старого кругового расслоения. Затем можно поднять эту теорию до другой 10-мерной теории, и в этом случае будет обнаружено, что калибровочный потенциал 1-формы поднимается до поля Калба – Рамона.. Точно так же связь расслоения окружности во второй 10-мерной теории является интегралом поля Калба – Рамона исходной теории по компактифицированной окружности.

Это преобразование между двумя 10-мерными теориями известно как T-дуальность . В то время как T-дуальность в супергравитации включает уменьшение размеров и, таким образом, теряет информацию, в полной квантовой теории струн дополнительная информация хранится в режимах наматывания струны, и поэтому T-дуальность - это дуальность между двумя 10-мерными теориями. Приведенная выше конструкция может быть использована для получения связи между связностью кругового расслоения и дуальным полем Калба – Рамона даже в полной квантовой теории.

N = 1 измеренная СУГРА [ править ]

Как и в случае с исходной 10-мерной теорией, 9-мерная N = 1 супергравитация содержит один супергравитационный мультиплет и произвольное количество векторных мультиплетов. Эти векторные мультиплеты могут быть связаны так, чтобы допускать произвольные калибровочные теории, хотя не все возможности имеют квантовое завершение. В отличие от 10-мерной теории, как было описано в предыдущем подразделе, супергравитационный мультиплет сам содержит вектор, поэтому всегда будет по крайней мере калибровочная симметрия U (1), даже в случае N = 2.

Математика [ править ]

Лагранжиан для 11D супергравитацией найдено с помощью грубой силы Cremmer, Julia и Шерком ^[1] является:

{\begin{array}{rcl}L&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNP}D_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi _{P}\\&&+{\frac {1}{48}}eF_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{384}}e({\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi _{S}\\&&+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})_{NPQR}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{3456}}\varepsilon ^{M_{1}\dots M_{11}}F_{M_{1}\dots M_{4}}F_{M_{5}\dots M_{8}}A_{M_{9}M_{10}M_{11}}\end{array}}

который содержит три типа полей:

e_{M}^{A},\psi _{M},A_{MNP}

Симметрия этой теории супергравитации задается супергруппой OSp (1 | 32), которая дает подгруппы O (1) для бозонной симметрии и Sp (32) для фермионной симметрии. Это потому, что спинорам нужно 32 компонента в 11 измерениях. Супергравитация 11D может быть компактифицирована до четырех измерений, которые затем будут иметь симметрию OSp (8 | 4). (У нас по-прежнему 8 × 4 = 32, так что остается то же количество компонентов.) Спинорам нужно 4 компонента в 4 измерениях. Это дает O (8) для калибровочной группы, которая слишком мала, чтобы содержать калибровочную группу Стандартной модели U (1) × SU (2) × SU (3), для которой потребуется как минимум O (10).

Примечания и ссылки [ править ]

^ Cremmer, E .; Юлия, Б .; Шерк, Дж. (1978). «Супергравитация в теории в 11 измерениях». Физика Письма Б . Elsevier BV. 76 (4): 409–412. DOI : 10.1016 / 0370-2693 (78) 90894-8 . ISSN 0370-2693 .

[1] Cremmer, E .; Юлия, Б .; Шерк, Дж. (1978). «Супергравитация в теории в 11 измерениях». Физика Письма Б . Elsevier BV. 76 (4): 409–412. DOI : 10.1016 / 0370-2693 (78) 90894-8 . ISSN 0370-2693 .