Обозначения Штейнгауза – Мозера

В математике , Штейнгауз-Moser обозначение является обозначением для выражения некоторых больших чисел . Это расширение (разработанное Лео Мозером ) многоугольной нотации Хьюго Штайнхауза . ^[1]

Определения [ править ]

число n в треугольнике означает n ⁿ .

число n в квадрате эквивалентно «числу n внутри n треугольников, которые все вложены друг в друга».

число n в пятиугольнике эквивалентно «числу n внутри n квадратов, которые все вложены друг в друга».

и т.д .: n, записанное в ( m + 1 ) -стороннем многоугольнике, эквивалентно «числу n внутри n вложенных m- сторонних многоугольников». В серии вложенных многоугольников они связаны внутрь. Число n внутри двух треугольников эквивалентно n ⁿ внутри одного треугольника, что эквивалентно n ⁿ в степени n ⁿ .

Штейнхаус определил только треугольник, квадрат и круг , что эквивалентно пятиугольнику, определенному выше.

Особые значения [ править ]

Штайнхаус определил:

• мега - это число, эквивалентное 2 в круге: ②
• мегистон - это число, равное 10 в круге: ⑩

Число Мозера - это число, представленное цифрой «2 в мегагонале». Мегагон - это здесь название многоугольника с «мега» сторонами (не путать с многоугольником с одним миллионом сторон ).

Альтернативные обозначения:

• используйте функции квадрат (x) и треугольник (x)
• пусть M ( n , m , p ) будет числом, представленным числом n в m вложенных p- сторонних многоугольниках; тогда правила следующие:
  • ${\ Displaystyle М (п, 1,3) = п ^ {п}}$
  • ${\ Displaystyle М (п, 1, р + 1) = М (п, п, р)}$
  • ${\ Displaystyle М (п, т + 1, р) = М (М (п, 1, р), т, р)}$
• и
  • мега = ${\ Displaystyle M (2,1,5)}$
  • мегистон = ${\ Displaystyle M (10,1,5)}$
  • moser = ${\ Displaystyle М (2,1, М (2,1,5))}$

Mega [ править ]

Мега, ②, уже является очень большим числом, так как ② = квадрат (квадрат (2)) = квадрат (треугольник (треугольник (2))) = квадрат (треугольник (2 ² )) = квадрат (треугольник (4)) = квадрат (4 ⁴ ) = квадрат (256) = треугольник (треугольник (треугольник (... треугольник (256) ...))) [256 треугольников] = треугольник (треугольник (треугольник (... треугольник (256 ²⁵⁶ )) ...))) [255 треугольников] ~ треугольник (треугольник (треугольник (... треугольник (3,2 × 10 ⁶¹⁶ ) ...))) [254 треугольника] = ...

Используя другие обозначения:

мега = М (2,1,5) = М (256,256,3)

Для функции мы имеем mega =, где верхний индекс обозначает функциональную степень , а не числовую степень.${\ Displaystyle е (х) = х ^ {х}}$${\ displaystyle f ^ {256} (256) = f ^ {258} (2)}$

У нас есть (обратите внимание на соглашение, согласно которому мощность оценивается справа налево):

• М (256,2,3) = ${\ displaystyle (256 ^ {\, \! 256}) ^ {256 ^ {256}} = 256 ^ {256 ^ {257}}}$
• M (256,3,3) = ≈${\ displaystyle (256 ^ {\, \! 256 ^ {257}}) ^ {256 ^ {256 ^ {257}}} = 256 ^ {256 ^ {257} \ times 256 ^ {256 ^ {257}} } = 256 ^ {256 ^ {257 + 256 ^ {257}}}}$${\ displaystyle 256 ^ {\, \! 256 ^ {256 ^ {257}}}}$

Так же:

• М (256,4,3) ≈ ${\ displaystyle {\, \! 256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {257}}}}}}$
• М (256,5,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

и т.п.

Таким образом:

• mega = , где обозначает функциональную мощность функции .${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$${\displaystyle f(n)=256^{n}}$

Округляя более грубо (заменяя 257 в конце на 256), мы получаем mega ≈ , используя нотацию Кнута, направленную вверх .${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$

После первых нескольких шагов значение каждый раз примерно равно . Фактически, оно даже приблизительно равно (см. Также примерную арифметику для очень больших чисел ). Используя базовые 10 степеней, мы получаем:${\displaystyle n^{n}}$${\displaystyle 256^{n}}$${\displaystyle 10^{n}}$

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$( добавлен к 616)${\displaystyle \log _{10}616}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$( добавляется к , что незначительно; поэтому внизу добавляется только 10)${\displaystyle 619}$${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$
• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• mega = , где обозначает функциональную мощность функции . Следовательно${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$${\displaystyle f(n)=10^{n}}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

Число Мозера [ править ]

Было доказано , что в обозначениях конвея ,

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

и, в обозначении стрелки вверх Кнута ,

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

Следовательно, число Мозера, хотя и непостижимо велико, исчезающе мало по сравнению с числом Грэма : ^[2]

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.}$

См. Также [ править ]

• Функция Аккермана

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Большие числа Роберта Мунафо
• Фактоид о больших числах
• Megistron на mathworld.wolfram.com (Steinhaus назвал это число «мегистон» без буквы «r»).
• Обозначение круга на mathworld.wolfram.com
• Обозначение Штейнгауза-Мозера - бессмысленная фигня с большими числами