Обозначение для очень больших чисел
В математике , Штейнгауз-Moser обозначение является обозначением для выражения некоторых больших чисел . Это расширение (разработанное Лео Мозером ) многоугольной нотации Хьюго Штайнхауза . [1]
Определения [ править ] число n в треугольнике означает n n . число n в квадрате эквивалентно «числу n внутри n треугольников, которые все вложены друг в друга». число n в пятиугольнике эквивалентно «числу n внутри n квадратов, которые все вложены друг в друга».и т.д .: n, записанное в ( m + 1 ) -стороннем многоугольнике, эквивалентно «числу n внутри n вложенных m- сторонних многоугольников». В серии вложенных многоугольников они связаны внутрь. Число n внутри двух треугольников эквивалентно n n внутри одного треугольника, что эквивалентно n n в степени n n .
Штейнхаус определил только треугольник, квадрат и круг , что эквивалентно пятиугольнику, определенному выше.
Особые значения [ править ] Штайнхаус определил:
мега - это число, эквивалентное 2 в круге: мегистон - это число, равное 10 в круге: ⑩Число Мозера - это число, представленное цифрой «2 в мегагонале». Мегагон - это здесь название многоугольника с «мега» сторонами (не путать с многоугольником с одним миллионом сторон ).
Альтернативные обозначения:
используйте функции квадрат (x) и треугольник (x) пусть M ( n , m , p ) будет числом, представленным числом n в m вложенных p- сторонних многоугольниках; тогда правила следующие: M ( п , 1 , 3 ) знак равно п п {\ Displaystyle М (п, 1,3) = п ^ {п}} M ( п , 1 , п + 1 ) знак равно M ( п , п , п ) {\ Displaystyle М (п, 1, р + 1) = М (п, п, р)} M ( п , м + 1 , п ) знак равно M ( M ( п , 1 , п ) , м , п ) {\ Displaystyle М (п, т + 1, р) = М (М (п, 1, р), т, р)} имега = M ( 2 , 1 , 5 ) {\ Displaystyle M (2,1,5)} мегистон = M ( 10 , 1 , 5 ) {\ Displaystyle M (10,1,5)} moser = M ( 2 , 1 , M ( 2 , 1 , 5 ) ) {\ Displaystyle М (2,1, М (2,1,5))} Мега, ②, уже является очень большим числом, так как ② = квадрат (квадрат (2)) = квадрат (треугольник (треугольник (2))) = квадрат (треугольник (2 2 )) = квадрат (треугольник (4)) = квадрат (4 4 ) = квадрат (256) = треугольник (треугольник (треугольник (... треугольник (256) ...))) [256 треугольников] = треугольник (треугольник (треугольник (... треугольник (256 256 )) ...))) [255 треугольников] ~ треугольник (треугольник (треугольник (... треугольник (3,2 × 10 616 ) ...))) [254 треугольника] = ...
Используя другие обозначения:
мега = М (2,1,5) = М (256,256,3)
Для функции мы имеем mega =, где верхний индекс обозначает функциональную степень , а не числовую степень. ж ( Икс ) знак равно Икс Икс {\ Displaystyle е (х) = х ^ {х}} ж 256 ( 256 ) знак равно ж 258 ( 2 ) {\ displaystyle f ^ {256} (256) = f ^ {258} (2)}
У нас есть (обратите внимание на соглашение, согласно которому мощность оценивается справа налево):
М (256,2,3) = ( 256 256 ) 256 256 знак равно 256 256 257 {\ displaystyle (256 ^ {\, \! 256}) ^ {256 ^ {256}} = 256 ^ {256 ^ {257}}} M (256,3,3) = ≈ ( 256 256 257 ) 256 256 257 знак равно 256 256 257 × 256 256 257 знак равно 256 256 257 + 256 257 {\ displaystyle (256 ^ {\, \! 256 ^ {257}}) ^ {256 ^ {256 ^ {257}}} = 256 ^ {256 ^ {257} \ times 256 ^ {256 ^ {257}} } = 256 ^ {256 ^ {257 + 256 ^ {257}}}} 256 256 256 257 {\ displaystyle 256 ^ {\, \! 256 ^ {256 ^ {257}}}} Так же:
М (256,4,3) ≈ 256 256 256 256 257 {\ displaystyle {\, \! 256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {257}}}}}} М (256,5,3) ≈ 256 256 256 256 256 257 {\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}} и т.п.
Таким образом:
mega = , где обозначает функциональную мощность функции . M ( 256 , 256 , 3 ) ≈ ( 256 ↑ ) 256 257 {\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257} ( 256 ↑ ) 256 {\displaystyle (256\uparrow )^{256}} f ( n ) = 256 n {\displaystyle f(n)=256^{n}} Округляя более грубо (заменяя 257 в конце на 256), мы получаем mega ≈ , используя нотацию Кнута, направленную вверх . 256 ↑↑ 257 {\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}
После первых нескольких шагов значение каждый раз примерно равно . Фактически, оно даже приблизительно равно (см. Также примерную арифметику для очень больших чисел ). Используя базовые 10 степеней, мы получаем: n n {\displaystyle n^{n}} 256 n {\displaystyle 256^{n}} 10 n {\displaystyle 10^{n}}
M ( 256 , 1 , 3 ) ≈ 3.23 × 10 616 {\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}} M ( 256 , 2 , 3 ) ≈ 10 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}} ( добавлен к 616) log 10 616 {\displaystyle \log _{10}616} M ( 256 , 3 , 3 ) ≈ 10 10 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}} ( добавляется к , что незначительно; поэтому внизу добавляется только 10) 619 {\displaystyle 619} 1.99 × 10 619 {\displaystyle 1.99\times 10^{619}} M ( 256 , 4 , 3 ) ≈ 10 10 10 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}} ...
mega = , где обозначает функциональную мощность функции . Следовательно M ( 256 , 256 , 3 ) ≈ ( 10 ↑ ) 255 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}} ( 10 ↑ ) 255 {\displaystyle (10\uparrow )^{255}} f ( n ) = 10 n {\displaystyle f(n)=10^{n}} 10 ↑↑ 257 < mega < 10 ↑↑ 258 {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258} Число Мозера [ править ] Было доказано , что в обозначениях конвея ,
m o s e r < 3 → 3 → 4 → 2 , {\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,} и, в обозначении стрелки вверх Кнута ,
m o s e r < f 3 ( 4 ) = f ( f ( f ( 4 ) ) ) , where f ( n ) = 3 ↑ n 3. {\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.} Следовательно, число Мозера, хотя и непостижимо велико, исчезающе мало по сравнению с числом Грэма : [2]
m o s e r ≪ 3 → 3 → 64 → 2 < f 64 ( 4 ) = Graham's number . {\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.} Внешние ссылки [ править ] Преемник (0) Дополнение (1) Умножение (2) Возведение в степень (3) Тетрация (4) Пентация (5) Вычитание (1) Дивизия (2) Удаление корней (3) Супер-корень (4) Вычитание (1) Дивизия (2) Логарифм (3) Суперлогарифм (4) Функция Аккермана Обозначение стрелок Конвея Иерархия Гжегорчика Обозначение Кнута со стрелкой вверх Обозначения Штейнгауза – Мозера
Тысяча Десять тысяч Сто тысяч Миллион Десять миллионов Сто миллионов Миллиард Триллион Квадриллион Квинтиллион Секстиллион Септиллион Октиллион Нониллион Дециллион Гугол Гуголплекс Число Скьюза Число Мозера Число Грэма ДЕРЕВО (3) SSCG (3) Номер Райо Трансфинитные числа
Научная нотация Обозначение Кнута со стрелкой вверх Обозначение стрелок Конвея Обозначения Штейнгауза – Мозера Гипероперация Функция Аккермана Иерархия Гжегорчика Быстрорастущая иерархия
Расширенная строка действительных чисел Гигантский прайм Неопределенные и фиктивные числа Бесконечно малый Наибольшее известное простое число Список номеров Длинная и короткая чешуя Системы счисления Числовые имена Порядки величины Сила двух Сила трех Степень 10 Саган Юнит Титаник Прайм