Уравнение с умеренным наклоном

Моделирование проникновения волн - включая дифракцию и преломление - в Тедиус-Крик, штат Мэриленд, с использованием CGWAVE (который решает уравнение умеренного наклона).

В гидродинамике уравнение с мягким уклоном описывает комбинированные эффекты дифракции и преломления волн на воде, распространяющихся по батиметрии и из-за боковых границ, таких как волноломы и береговые линии . Это приблизительная модель, получившая свое название от первоначально разработанной для распространения волн по пологим склонам морского дна. Уравнение мягкого уклона часто используется в прибрежной инженерии для расчета изменений волнового поля вблизи гаваней и побережий .

Уравнение мягкого уклона моделирует распространение и трансформацию водных волн, когда они проходят через воды различной глубины и взаимодействуют с боковыми границами, такими как скалы , пляжи , морские дамбы и волнорезы. В результате он описывает изменения амплитуды волны или, что эквивалентно, высоты волны . По амплитуде волны также может быть вычислена амплитуда колебаний скорости потока под поверхностью воды. Эти величины - амплитуда волн и амплитуда скорости потока - могут впоследствии использоваться для определения волнового воздействия на прибрежные и морские конструкции, корабли и другие плавучие объекты, перенос наносов и, как следствие,батиметрические изменения морского дна и береговой линии, средние поля течения и массообмен растворенных и плавучих материалов. Чаще всего уравнение с умеренным наклоном решается на компьютере с использованием методов численного анализа .

Первая форма уравнения с умеренным наклоном была разработана Эккартом в 1952 году, а улучшенная версия - уравнение с умеренным наклоном в его классической формулировке - была независимо получена Юри Беркхоффом в 1972 году ^[1]^[2]^[3] После этого было предложено множество модифицированных и расширенных форм, чтобы включить эффекты, например: взаимодействия волны с течением , нелинейности волн , крутых уклонов морского дна, трения дна и обрушения волн . Также часто используются параболические приближения к уравнению с умеренным наклоном, чтобы уменьшить вычислительные затраты.

В случае постоянной глубины уравнение с умеренным наклоном сводится к уравнению Гельмгольца для дифракции волн.

Формулировка монохроматического волнового движения [ править ]

Для монохроматических волн согласно линейной теории - с возвышением свободной поверхности, заданным как, и волнами, распространяющимися в слое жидкости со средней глубиной воды - уравнение умеренного наклона имеет следующий вид: ^[4] ${\ displaystyle \ zeta (x, y, t) = \ Re \ left \ {\ eta (x, y) \, {\ text {e}} ^ {- i \ omega t} \ right \}}$ ${\ Displaystyle ч (х, у)}$

\nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla \eta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,\eta \,=\,0,

куда:

$\eta (x,y)$ - комплексная амплитуда возвышения свободной поверхности $\zeta (x,y,t);$
$(x,y)$ горизонтальное положение;
$\omega$ - угловая частота движения монохроматической волны;
$i$ это мнимая единица ;
$\Re \{\cdot \}$ означает взятие действительной части количества между фигурными скобками;
$\nabla$ - оператор горизонтального градиента ;
$\nabla \cdot$ - оператор дивергенции ;
$k$ - волновое число ;
$c_{p}$ - фазовая скорость волн и
$c_{g}$ - групповая скорость волн.

Фаза и групповая скорость зависят от дисперсионного соотношения и выводятся из теории волн Эйри следующим образом: ^[5]

{\begin{aligned}\omega ^{2}&=\,g\,k\,\tanh \,(kh),\\c_{p}&=\,{\frac {\omega }{k}}\quad {\text{and}}\\c_{g}&=\,{\frac {1}{2}}\,c_{p}\,\left[1\,+\,kh\,{\frac {1-\tanh ^{2}(kh)}{\tanh \,(kh)}}\right]\end{aligned}}

куда

$g$ является сила тяжести Земли и
$\tanh$ - гиперболический тангенс .

Для данной угловой частоты волновое число должно быть решено из дисперсионного уравнения, которое связывает эти две величины с глубиной воды . $\omega$ $k$ $h$

Преобразование к неоднородному уравнению Гельмгольца [ править ]

Через преобразование

\psi \,=\,\eta \,{\sqrt {c_{p}\,c_{g}}},

Уравнение мягкого наклона можно представить в виде неоднородного уравнения Гельмгольца : ^[4]^[6]

\Delta \psi \,+\,k_{c}^{2}\,\psi \,=\,0\qquad {\text{with}}\qquad k_{c}^{2}\,=\,k^{2}\,-\,{\frac {\Delta \left({\sqrt {c_{p}\,c_{g}}}\right)}{\sqrt {c_{p}\,c_{g}}}},

где - оператор Лапласа . $\Delta$

Распространяющиеся волны [ править ]

В пространственно когерентных полях распространяющихся волн полезно разделить комплексную амплитуду на ее амплитуду и фазу, оба действительные значения : ^[7] $\eta (x,y)$

\eta (x,y)\,=\,a(x,y)\,{\text{e}}^{i\,\theta (x,y)},

куда

$a=|\eta |\,$ амплитуда или абсолютное значение из и $\eta \,$
$\theta =\arg\{\eta \}\,$ это фаза волны, которая является аргументом из $\eta .\,$

Это преобразует уравнение с умеренным наклоном в следующую систему уравнений (кроме местоположений, для которых является сингулярным): ^[7] $\nabla \theta$

{\begin{aligned}{\frac {\partial \kappa _{y}}{\partial {x}}}\,-\,{\frac {\partial \kappa _{x}}{\partial {y}}}\,=\,0\qquad &{\text{ with }}\kappa _{x}\,=\,{\frac {\partial \theta }{\partial {x}}}{\text{ and }}\kappa _{y}\,=\,{\frac {\partial \theta }{\partial {y}}},\\\kappa ^{2}\,=\,k^{2}\,+\,{\frac {\nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla a\right)}{c_{p}\,c_{g}\,a}}\qquad &{\text{ with }}\kappa \,=\,{\sqrt {\kappa _{x}^{2}\,+\,\kappa _{y}^{2}}}\quad {\text{ and}}\\\nabla \cdot \left({\boldsymbol {v}}_{g}\,E\right)\,=\,0\qquad &{\text{ with }}E\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,a^{2}\quad {\text{and}}\quad {\boldsymbol {v}}_{g}\,=\,c_{g}\,{\frac {\boldsymbol {\kappa }}{k}},\end{aligned}}

куда

$E$ - средняя плотность волновой энергии на единицу горизонтальной площади (сумма плотностей кинетической и потенциальной энергии ),
${\boldsymbol {\kappa }}$ - вектор эффективного волнового числа с компонентами $(\kappa _{x},\kappa _{y}),\,$
${\boldsymbol {v}}_{g}$ - вектор эффективной групповой скорости ,
$\rho$ - плотность жидкости , а
$g$ - ускорение силы тяжести Земли .

Последнее уравнение показывает, что энергия волны сохраняется в уравнении с мягким наклоном и что энергия волны переносится в направлении, перпендикулярном гребням волн (в этом случае движение чистой волны без средних токов). ^[7] Эффективная групповая скорость отличается от групповой скорости. $E$ ${\boldsymbol {\kappa }}$ $|{\boldsymbol {v}}_{g}|$ $c_{g}.$

Первое уравнение утверждает, что эффективное волновое число является безвихревым , прямым следствием того факта, что оно является производной фазы волны , скалярного поля . Второе уравнение - это уравнение эйконала . Он показывает влияние дифракции на эффективное волновое число: только для более или менее прогрессирующих волн, когда разделение на амплитуду и фазу приводит к согласованно изменяющимся и значимым полям и . В противном случае κ ² может даже стать отрицательным. При полном пренебрежении дифракционными эффектами эффективное волновое число κ равно , и геометрическая оптика ${\boldsymbol {\kappa }}$ $\theta$ $|\nabla \cdot (c_{p}\,c_{g}\,\nabla a)|\ll k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a,$ $a$ $\theta$ $a$ ${\boldsymbol {\kappa }}$ $k$ можно использовать приближение для преломления волн . ^[7]

Подробности вывода приведенных выше уравнений

Когда используется в уравнении с умеренным наклоном, результатом, помимо фактора, является : $\eta =a{\mbox{ }}\exp(i\theta )$ $\exp(i\theta )$

c_{p}\,c_{g}\,\left(\Delta a\,+\,2i\,\nabla a\cdot \nabla \theta \,-\,a\,\nabla \theta \cdot \nabla \theta \,+\,i\,a\,\Delta \theta \right)\,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \left(\nabla a\,+\,i\,a\,\nabla \theta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a\,=\,0.

Теперь и действительная, и мнимая части этого уравнения должны быть равны нулю:

{\begin{aligned}&c_{p}\,c_{g}\,\Delta a\,-\,c_{p}\,c_{g}\,a\,\nabla \theta \cdot \nabla \theta \,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \nabla a\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a\,=\,0\quad {\text{and}}\\&2\,c_{p}\,c_{g}\,\nabla a\cdot \nabla \theta \,+\,c_{p}\,c_{g}\,a\,\Delta \theta \,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \left(a\,\nabla \theta \right)\,=\,0.\end{aligned}}

Эффективный вектор волнового числа будет определен как градиент фазы волны: ${\boldsymbol {\kappa }}$

{\boldsymbol {\kappa }}\,=\,\nabla \theta

а его длина вектора равна

\kappa =|{\boldsymbol {\kappa }}|.

Обратите внимание, что это безвихревое поле, поскольку ротор градиента равен нулю: ${\boldsymbol {\kappa }}$

\nabla \,\times \,{\boldsymbol {\kappa }}\,=\,0.

Теперь действительная и мнимая части преобразованного уравнения с умеренным наклоном становятся, сначала умножая мнимую часть на : $a$

{\begin{aligned}&\kappa ^{2}\,=\,k^{2}\,+\,{\frac {\nabla (c_{p}\,c_{g})}{c_{p}\,c_{g}}}\cdot {\frac {\nabla a}{a}}\,+\,{\frac {\Delta a}{a}}\quad {\text{and}}\\&c_{p}\,c_{g}\,\nabla \left(a^{2}\right)\cdot {\boldsymbol {\kappa }}\,+\,c_{p}\,c_{g}\,\nabla \cdot {\boldsymbol {\kappa }}\,+\,a^{2}\,{\boldsymbol {\kappa }}\cdot \nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\,=\,0.\end{aligned}}

Первое уравнение напрямую приводит к уравнению эйконала выше для , а второе дает: $\kappa \,$

\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\kappa }}\,c_{p}\,c_{g}\,a^{2}\right)\,=\,0,

что, учитывая то, что угловая частота является постоянной для гармонического движения во времени, приводит к уравнению сохранения волновой энергии. $c_{p}=\omega /k$ $\omega$

Вывод уравнения умеренного наклона [ править ]

Уравнение с умеренным уклоном может быть получено с помощью нескольких методов. Здесь мы будем использовать вариационный подход. ^[4]^[8] Предполагается, что жидкость является невязкой и несжимаемой , а поток считается безвихревым . Эти предположения справедливы для поверхностных гравитационных волн, поскольку эффекты завихренности и вязкости существенны только в пограничных слоях Стокса (для колебательной части потока). Поскольку поток является безвихревым, волновое движение можно описать с помощью теории потенциального потока .

Детали вывода уравнения мягкого наклона

Вариационный принцип Луки [ править ]

Лагранжева формулировка Люка дает вариационную формулировку нелинейных поверхностных гравитационных волн. ^[9] Для случая горизонтально неограниченной области с постоянной плотностью , свободной поверхности жидкости и неподвижного морского дна в вариационном принципе Люка используется лагранжиан $\rho$ $z=\zeta (x,y,t)$ $z=-h(x,y),$ $\delta {\mathcal {L}}=0$

{\mathcal {L}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint L\;{\text{d}}x\;{\text{d}}y\;{\text{d}}t,

где - горизонтальная плотность лагранжиана , определяемая по формуле: $L$

L=-\rho \,\left\{\int _{-h(x,y)}^{\zeta (x,y,t)}\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right)\right]\;{\text{d}}z\;+\,{\frac {1}{2}}\,g\,(\zeta ^{2}\,-\,h^{2})\right\},

где есть потенциальная скорость , с скоростью потока компонентами являются и в , и направлениях, соответственно. Лагранжева формулировка Люка также может быть преобразована в гамильтонову формулировку в терминах возвышения поверхности и потенциала скорости на свободной поверхности. ^[10] Взятие вариаций по отношению к потенциалу и возвышению поверхности приводит к уравнению Лапласа для внутри жидкости, а также ко всем граничным условиям как на свободной поверхности, так и в слое при $\Phi (x,y,z,t)$ $\partial \Phi /\partial {x},$ $\partial \Phi /\partial {y}$ $\partial \Phi /\partial {z}$ $x$ $y$ $z$ ${\mathcal {L}}(\Phi ,\zeta )$ $\Phi (x,y,z,t)$ $\zeta (x,y,t)$ $\Phi$ $z=\zeta (x,y,t)$ $z=-h(x,y).$

Теория линейных волн [ править ]

В случае линейной волновой теории вертикальный интеграл в плотности лагранжиана разбивается на часть от слоя до средней поверхности при и вторую часть от до свободной поверхности . Используя разложение в ряд Тейлора для второго интеграла вокруг среднего возвышения свободной поверхности и сохраняя только квадратичные члены и плотность лагранжиана для линейного волнового движения, получаем $L$ $z=-h$ $z=0,$ $z=0$ $z=\zeta$ $z=0,$ $\Phi$ $\zeta ,$ $L_{0}$

L_{0}=-\rho \,\left\{\zeta \,\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right]_{z=0}\,+\,\int _{-h}^{0}{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\;{\text{d}}z\;+\,{\frac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}\,\right\}.

Член в вертикальном интеграле опускается, поскольку он стал динамически неинтересным: он дает нулевой вклад в уравнения Эйлера – Лагранжа с фиксированным верхним пределом интегрирования. То же верно и для игнорируемого нижнего члена, пропорционального потенциальной энергии. $\partial \Phi /\partial {t}$ $h^{2}$

Волны распространяются в горизонтальной плоскости, при этом структура потенциала не волнообразная в вертикальном направлении. Это предполагает использование следующего предположения о виде потенциала $(x,y)$ $\Phi$ $z$ $\Phi :$

\Phi (x,y,z,t)=f(z;x,y)\,\varphi (x,y,t)

с нормировкой на среднее превышение свободной поверхности

f(0;x,y)=1

z=0.

Вот потенциал скорости на уровне средней свободной поверхности. Затем делается предположение о мягком наклоне, в котором функция формы по вертикали изменяется медленно в плоскости, а горизонтальными производными можно пренебречь в скорости потока. Так: $\varphi (x,y,t)$ $z=0.$ $f$ $(x,y)$ $f$

{\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial {x}}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial {y}}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial {z}}}\end{pmatrix}}\,\approx \,{\begin{pmatrix}\displaystyle f\,{\frac {\partial \varphi }{\partial {x}}}\\[2ex]\displaystyle f\,{\frac {\partial \varphi }{\partial {y}}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}\,\varphi \end{pmatrix}}.

Как результат:

L_{0}=-\rho \,\left\{\zeta \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,+\,{\frac {1}{2}}\,F\,\left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {x}}}\right)^{2}\,+\,\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {y}}}\right)^{2}\right]\,+\,{\frac {1}{2}}\,G\,\varphi ^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}\,\right\},

с и

F\,=\,\int _{-h}^{0}f^{2}\;{\text{d}}z

G\,=\,\int _{-h}^{0}\left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}z}}\right)^{2}\;{\text{d}}z.

В уравнения Эйлера-Лагранжа для данной плотности лагранжиана являются, с представляющей либо или $L_{0}$ $\xi (x,y,t)$ $\varphi$ $\zeta :$

{\frac {\partial {L_{0}}}{\partial \xi }}-{\frac {\partial }{\partial {t}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {t})}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {x}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {x})}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {y})}}\right)=0.

Теперь сначала принимается равным, а затем равным. В результате уравнения эволюции волнового движения принимают следующий вид : ^[4] $\xi$ $\varphi$ $\zeta .$

{\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}\,&+\nabla \cdot \left(F\,\nabla \varphi \right)\,-\,G\,\varphi \,=\,0\quad {\text{and}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,g\,\zeta \,=\,0,\end{aligned}}

с ∇ оператор горизонтального градиента: ∇ ≡ (∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ) ^T, где T обозначает транспонирование .

Следующим шагом является выбор функции формы и определение и $f$ $F$ $G.$

Функция вертикальной формы из теории волн Эйри [ править ]

Поскольку целью является описание волн над пологими слоями, функция формы выбирается согласно теории волн Эйри . Это линейная теория волн, распространяющихся с постоянной глубиной . Форма функции формы такова: ^[4] $f(z)$ $h.$

f={\frac {\cosh \,{\bigl (}k\,(z+h){\bigr )}}{\cosh \,(kh)}},

с в настоящее время в общем не является постоянной, но выбрана изменяться в зависимости , и в соответствии с местной глубиной и линейной дисперсии соотношением: ^[4] $k(x,y)$ $x$ $y$ $h(x,y)$

\omega _{0}^{2}\,=\,g\,k\,\tanh \,(kh).

Здесь постоянная угловая частота, выбираемая в соответствии с характеристиками исследуемого волнового поля. Следовательно, интегралы и становятся: ^[4] $\omega _{0}$ $F$ $G$

{\begin{aligned}F&=\int _{h}^{0}f^{2}\;{\text{d}}z={\frac {1}{g}}\,c_{p}\,c_{g}\quad {\text{and}}\\G&=\int _{h}^{0}\left({\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}\right)^{2}\;{\text{d}}z={\frac {1}{g}}\left(\omega _{0}^{2}\,-\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\right).\end{aligned}}

Следующие уравнения, зависящие от времени, дают эволюцию возвышения свободной поверхности и потенциала свободной поверхности ^[4] $\zeta (x,y,t)$ $\phi (x,y,t):$

{\begin{aligned}g\,{\frac {\partial \zeta }{\partial {t}}}&+\nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla \varphi \right)+\left(k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,-\,\omega _{0}^{2}\right)\,\varphi =0,\\{\frac {\partial \varphi }{\partial {t}}}&+g\zeta =0,\quad {\text{with}}\quad \omega _{0}^{2}\,=\,g\,k\,\tanh \,(kh).\end{aligned}}

Из двух эволюционных уравнений можно исключить одну из переменных или , чтобы получить зависящую от времени форму уравнения с умеренным наклоном: ^[4] $\varphi$ $\zeta$

-{\frac {\partial ^{2}\zeta }{\partial {t^{2}}}}+\nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla \zeta \right)+\left(k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,-\,\omega _{0}^{2}\right)\,\zeta =0,

и соответствующее уравнение для потенциала свободной поверхности идентично, с заменой на Зависящее от времени уравнение с мягким наклоном можно использовать для моделирования волн в узкой полосе частот около $\zeta$ $\varphi .$ $\omega _{0}.$

Монохроматические волны [ править ]

Рассмотрим монохроматические волны со сложной амплитудой и угловой частотой. $\eta (x,y)$ $\omega :$

\zeta (x,y,t)\,=\,\Re \left\{\eta (x,y)\;{\text{e}}^{-i\,\omega \,t}\right\},

с равными друг другу и выбранными равными. Используя это в зависящей от времени форме уравнения с умеренным наклоном, восстанавливается классическое уравнение с умеренным наклоном для гармонического по времени волнового движения: ^[4] $\omega$ $\omega _{0}$ $\omega =\omega _{0}.$

\nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla \eta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,\eta \,=\,0.

Применимость и обоснованность уравнения умеренного наклона [ править ]

Стандартное уравнение мягкого уклона без дополнительных членов для уклона и кривизны пласта дает точные результаты для волнового поля над склонами пласта в диапазоне от 0 до примерно 1/3. ^[11] Однако некоторые тонкие аспекты, такие как амплитуда отраженных волн, могут быть совершенно неверными даже для наклонов, идущих к нулю. Это математическое любопытство не имеет большого практического значения в целом, поскольку это отражение становится исчезающе малым для небольших склонов дна.

Примечания [ править ]

^ Эккарт, К. (1952), "Распространение гравитационных волн от глубокой до мелководной воды" , Циркуляр 20 , Национальное бюро стандартов: 165–173
^ Berkhoff, JCW (1972), "Вычисление комбинированного преломления-дифракции", Труды 13-й Международной конференции по прибрежной инженерии , Ванкувер, стр. 471–490
^ Berkhoff, JCW (1976), Математические модели для простых гармонических моделей линейных волн на воде; рефракция и дифракция волн (PDF) (докторская диссертация), Технологический университет Делфта
^ a b c d e f g h i j Dingemans (1997 , стр. 248–256 и 378–379)
^ Dingemans (1997 , стр. 49)
↑ Mei (1994 , стр. 86–89)
^ a b c d Dingemans (1997 , стр. 259–262)
^ Booij, N. (1981), Гравитационные волны на воде с неоднородной глубиной и течением (PDF) (докторская диссертация), Технологический университет Делфта
^ Люк, JC (1967), "Вариационный принцип для жидкости со свободной поверхностью", Журнал Fluid Mechanics , 27 (2): 395-397, Bibcode : 1967JFM .... 27..395L , DOI : 10,1017 / S0022112067000412
^ Miles, JW (1977), "О принципе Гамильтона для поверхностных волн", журнал Fluid Mechanics , 83 (1): 153-158, Bibcode : 1977JFM .... 83..153M , DOI : 10,1017 / S0022112077001104
^ Booij, Н. (1983), "Замечание о точности уравнения мягкого наклона", прибрежная инженерия , 7 (1): 191-203, DOI : 10,1016 / 0378-3839 (83) 90017-0

Ссылки [ править ]

Дингеманс, М.В. (1997), Распространение водной волны на неровном дне , Advanced Series on Ocean Engineering, 13 , World Scientific, Singapore, ISBN 981-02-0427-2, OCLC 36126836, 2 части, 967 стр.
Лю, PL-F. (1990), «Преобразование волн», в Б. Ле Мехоте и Д. М. Хане (ред.), Ocean Engineering Science , The Sea, 9A , Wiley Interscience, стр. 27–63, ISBN. 0-471-52856-0
Мэй, Чанг К. (1994), Прикладная динамика поверхностных волн океана , Advanced Series on Ocean Engineering, 1 , World Scientific, ISBN 9971-5-0789-7, 740 с.
Портер, Д .; Чемберлен, П.Г. (1997), "Линейное рассеяние волн двумерной топографией", в JN Hunt (редактор), Гравитационные волны в воде конечной глубины , Успехи в гидромеханике, 10 , Computational Mechanics Publications, стр. 13–53. , ISBN 1-85312-351-X
Портера, D. (2003), "мягкие двускатное уравнение", Журнал Fluid Mechanics , 494 : 51-63, Bibcode : 2003JFM ... 494 ... 51P , DOI : 10,1017 / S0022112003005846

[1] Эккарт, К. (1952), "Распространение гравитационных волн от глубокой до мелководной воды" , Циркуляр 20 , Национальное бюро стандартов: 165–173

[2] Berkhoff, JCW (1972), "Вычисление комбинированного преломления-дифракции", Труды 13-й Международной конференции по прибрежной инженерии , Ванкувер, стр. 471–490

[3] Berkhoff, JCW (1976), Математические модели для простых гармонических моделей линейных волн на воде; рефракция и дифракция волн (PDF) (докторская диссертация), Технологический университет Делфта

[Dingemans_ms-4] ^ a b c d e f g h i j Dingemans (1997 , стр. 248–256 и 378–379)

[5] Dingemans (1997 , стр. 49)

[6] Mei (1994 , стр. 86–89)

[Dingemans_259_263-7] Dingemans (1997 , стр. 259–262)

[8] Booij, N. (1981), Гравитационные волны на воде с неоднородной глубиной и течением (PDF) (докторская диссертация), Технологический университет Делфта

[9] Люк, JC (1967), "Вариационный принцип для жидкости со свободной поверхностью", Журнал Fluid Mechanics , 27 (2): 395-397, Bibcode : 1967JFM .... 27..395L , DOI : 10,1017 / S0022112067000412

[Miles1977-10] Miles, JW (1977), "О принципе Гамильтона для поверхностных волн", журнал Fluid Mechanics , 83 (1): 153-158, Bibcode : 1977JFM .... 83..153M , DOI : 10,1017 / S0022112077001104

[Booij1983-11] Booij, Н. (1983), "Замечание о точности уравнения мягкого наклона", прибрежная инженерия , 7 (1): 191-203, DOI : 10,1016 / 0378-3839 (83) 90017-0

[1]

vтеФизическая океанография
Волны	Теория волн Эйри Шкала баллантина Неустойчивость Бенджамина – Фейра Приближение Буссинеска Разбивающаяся волна Клапотис Кноидальная волна Пересечь море Дисперсия Краевая волна Экваториальные волны Принести Гравитационная волна Закон Грина Инфрагравитационная волна Внутренняя волна Число Ирибаррена Волна Кельвина Кинематическая волна Береговой дрейф Вариационный принцип Люка Уравнение с умеренным наклоном Радиационный стресс Разбойная волна Волна Россби Россби-гравитационные волны Состояние моря Seiche Значительная высота волны Солитон Пограничный слой Стокса Стоксов дрейф Волна Стокса Опухать Трохоидальная волна Цунами Мегацунами Прилив Номер Урселла Волновое действие Волновая база Высота волны Мощность волны Волновой радар Настройка волны Обмеление волн Волновая турбулентность Взаимодействие волна-ток Волны и мелководье одномерные уравнения Сен-Венана уравнения мелкой воды Ветровая волна модель
Тираж	Атмосферная циркуляция Бароклинность Граничный ток Сила Кориолиса Сила Кориолиса – Стокса Вихревая сила Крейка – Лейбовича Даунвеллинг Эдди Слой Экмана Спираль Экмана Экман транспорт Эль-Ниньо – Южное колебание Модель общей циркуляции Исследование геохимических разрезов океана Геострофическое течение Проект анализа глобальных океанических данных Гольфстрим Галотермальная циркуляция Гумбольдтовское течение Гидротермальная циркуляция Ленгмюровское кровообращение Береговой дрейф Контурный ток Модульная модель океана океаническое течение Динамика океана Круговорот океана Принстонская модель океана Ток разрыва Подземные течения Баланс Свердрупа Термохалинное кровообращение неисправность Апвеллинг Ток, генерируемый ветром Водоворот Эксперимент по циркуляции Мирового океана
Приливы	Амфидромная точка Земной прилив Глава прилива Внутренний прилив Лунный интервал Перигей весенний прилив Rip tide Правило двенадцатых Стоячая вода Приливная скважина Приливная сила Приливная сила Приливная гонка Приливный диапазон Приливный резонанс Датчик приливов и отливов Линия прилива Теория приливов
Формы суши	Глубинный вентилятор Абиссальная равнина Атолл Батиметрическая карта Прибрежная география Холодное просачивание Континентальная окраина Континентальный подъем континентальный шельф Контурит Гайо Гидрография Океанический бассейн Плато океана Океанический желоб Пассивная маржа Морское дно Подводная гора Подводный каньон Подводный вулкан
Тектоника плит	Сходящаяся граница Расходящаяся граница Зона перелома Гидротермальный источник Морская геология Срединно-океанский хребет Разрыв Мохоровича Гипотеза Вайна – Мэтьюза – Морли Океаническая кора Зыбь наружной траншеи Ридж-толчок Распространение морского дна Вытягивание плиты Всасывание плиты Плиточное окно Субдукция Преобразовать ошибку Вулканическая дуга
Океанские зоны	Бентосный Глубокая океанская вода Глубокое море Литораль Мезопелагический Океанический Пелагический Photic Серфинг Swash
Уровень моря	Глубоководная оценка цунами и сообщение о них Будущий уровень моря Глобальная система наблюдения за уровнем моря Оперативная океанографическая система Северо-Западного шельфа Кривая уровня моря Повышение уровня моря Мировая геодезическая система
Акустика	Глубокий рассеивающий слой Гидроакустика Акустическая томография океана Софар бомба ГНФАР канал Подводная акустика
Спутники	Джейсон-1 Джейсон-2 (Миссия по топографии поверхности океана) Джейсон-3
Связанный	Арго Бентический спускаемый аппарат Цвет воды DSV Элвин Окраинное море Морская энергия загрязнение морской среды Швартовка Национальный центр океанографических данных Океан Исследование океана Наблюдения за океаном Реанализ океана Топография поверхности океана Преобразование тепловой энергии океана Океанография Очерк океанографии Пелагический осадок Микрослой морской поверхности Температура поверхности моря Морская вода Наука о сфере Термоклин Подводный планер Толщина воды Атлас Мирового океана
Портал океанов Категория Commons