Самолет Моултона

Мултон самолет . Линии, идущие вниз и вправо, изгибаются там, где они пересекают ось y .

В геометрии падения , то плоскость Моултон представляет собой пример аффинной плоскости , в которой теорема Дезарга не выполняется. Он назван в честь американского астронома Фореста Рэя Моултона . Точки плоскости Моултона - это просто точки в реальной плоскости R ^2, а линии также являются правильными линиями, за исключением того, что для линий с отрицательным наклоном наклон удваивается, когда они проходят через ось y .

Формальное определение [ править ]

Плоскость Моултона представляет собой структуру инцидентности , где обозначает набор точек, набор линий и отношение инцидентности, "лежащее на":${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = \ langle P, G, {\ textrm {I}} \ rangle}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ textrm {I}}}$

${\ Displaystyle P: = \ mathbb {R} ^ {2} \,}$

${\ Displaystyle G: = (\ mathbb {R} \ чашка \ {\ infty \}) \ times \ mathbb {R},}$

${\ displaystyle \ infty}$это просто формальный символ элемента . Он используется для описания вертикальных линий, которые вы можете представить как линии с бесконечно большим наклоном.${\ Displaystyle \ not \ in \ mathbb {R}}$

Отношение инцидентности определяется следующим образом:

Для и мы имеем${\displaystyle p=(x,y)\in P}$${\displaystyle g=(m,b)\in G}$

${\displaystyle p\,{\textrm {I}}\,g\iff {\begin{cases}x=b&{\text{if }}m=\infty \\y={\frac {1}{2}}mx+b&{\text{if }}m\leq 0,x\leq 0\\y=mx+b&{\text{if }}m\geq 0{\text{ or }}x\geq 0.\end{cases}}}$

Заявление [ править ]

Плоскость Моултона - это аффинная плоскость, в которой теорема Дезарга не выполняется. ^[1] Соответствующая проективная плоскость, следовательно, также недезаргова. Это означает , что существует проективные плоскости , не изоморфные для любых (косых) полей F . Здесь есть проективная плоскость определяется 3-мерным векторным пространством над (косыми) полями F .${\displaystyle PG(2,F)}$ ${\displaystyle PG(2,F)}$ ${\displaystyle P(F^{3})}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бойтельшпахер, Альбрехт ; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ до приложений , Cambridge University Press, стр.  76–78 , ISBN 978-0-521-48364-3
• Мултон, Forest Ray (1902), "Простая недезарговая планиметрия", Труды Американского математического общества , Providence, RI: Американское математическое общество , 3 (2): 192-195, DOI : 10,2307 / 1986419 , ISSN  0002 -9947 , JSTOR  1986419
• Ричард С. Миллман, Джордж Д. Паркер: Геометрия: метрический подход с моделями . Springer 1991, ISBN 9780387974125 , стр. 97-104