Набор мультиброт

Воспроизвести медиа

Нажмите, чтобы воспроизвести видео с набором мультибротов с d, изменяющимся от 0 до 8

В математике набор мультиброта - это набор значений на комплексной плоскости , абсолютное значение которого остается ниже некоторого конечного значения на протяжении итераций членом общего однофакторного одномерного полиномиального семейства рекурсий . ^{[1] [2] [3]} Название представляет собой сумку из множества и множества Мандельброта . То же самое можно применить и к множеству Жюлиа , которое называется множеством Жюлиа .

${\ Displaystyle г \ mapsto г ^ {д} + с. \,}$

где d  ≥ 2. Показатель степени d может быть далее обобщен на отрицательные и дробные значения. ^[4]

Примеры ^{[5] [6]} [ править ]

Случай

${\ Displaystyle d = 2 \,}$

это классический набор Мандельброта, от которого и произошло название.

Наборы для других значений d также показывают фрактальные изображения ^[7], когда они нанесены на комплексную плоскость.

Каждый из примеров различных степеней d, показанных ниже, нанесен на график в одном масштабе. Значения c, принадлежащие набору, черные. Значения c, которые имеют неограниченное значение при рекурсии и, таким образом, не принадлежат набору, отображаются разными цветами, которые отображаются в виде контуров, в зависимости от количества рекурсий, которые привели к превышению значения фиксированной величины в алгоритме Escape Time. .

Положительные силы [ править ]

Пример d = 2 - это исходное множество Мандельброта. Примеры для d > 2 часто называют мультиброт-множествами . Эти множества включают начало координат и имеют фрактальный периметр с ( d - 1) -кратной вращательной симметрией.

г ↦ г 2 + с

г ↦ г 3 + с

г ↦ г 4 + с

г ↦ г 5 + с

z ↦ z 6 + с

z ↦ z 96 + с

z ↦ z 96 + c деталь x40

Отрицательные силы [ править ]

Когда d отрицательно, множество окружает, но не включает начало координат. Наблюдается интересное сложное поведение контуров между множеством и началом координат в звездной области с (1 - d ) -кратной вращательной симметрией. Кажется, что наборы имеют круговой периметр, однако это всего лишь артефакт фиксированного максимального радиуса, разрешенного алгоритмом Escape Time, и не является пределом наборов, которые фактически простираются во всех направлениях до бесконечности.

z ↦ z −2 + с

z ↦ z −3 + с

z ↦ z −4 + с

z ↦ z −5 + с

z ↦ z −6 + с

Дробные степени [ править ]

Отрисовка по экспоненте [ править ]

Альтернативный метод - визуализировать экспоненту по вертикальной оси. Для этого необходимо либо зафиксировать действительное, либо мнимое значение, а оставшееся значение отобразить по горизонтальной оси. Результирующий набор поднимается вертикально от начала координат в узком столбце до бесконечности. Увеличение показывает возрастающую сложность. Первая заметная выпуклость или шип виден при показателе степени 2, месте расположения традиционного набора Мандельброта в его поперечном сечении. Третье изображение здесь отображается на плоскости, которая зафиксирована под углом 45 градусов между реальной и мнимой осями.^[8]

Обработка изображений [ править ]

Все приведенные выше изображения визуализируются с использованием алгоритма Escape Time, который просто определяет точки за пределами набора. Гораздо больше фрактальной деталь раскрывается путем построения ляпуновского , ^[9] , как показано на примере ниже. Показатель Ляпунова - это скорость роста ошибки данной последовательности. Сначала вычислите итерационную последовательность с N итерациями, затем вычислите экспоненту как

${\ displaystyle \ lambda = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ ln | \ mathbf {z} |}$

и если показатель отрицательный, последовательность устойчива. Белые пиксели на картинке - это параметры c, для которых показатель степени положительный или нестабильный. Цвета показывают периоды циклов, к которым притягиваются орбиты. Все точки, окрашенные в синий цвет (снаружи), притягиваются фиксированной точкой, все точки в середине (светло-синие) притягиваются периодом 2 и так далее.

Псевдокод [ править ]

АЛГОРИТМ ВЫХОДА ВРЕМЕНИ=====================для каждого пикселя на экране сделать x = x0 = x координата пикселя y = y0 = y координата пикселя  итерация: = 0 max_iteration: = 1000  while (x * x + y * y ≤ (2 * 2) и итерация <max_iteration do / * ВСТАВИТЬ КОД (И) ДЛЯ Z ^ d ИЗ ТАБЛИЦЫ НИЖЕ * / итерация: = итерация + 1  если итерация = max_iteration, то цвет: = черный еще цвет: = итерация  сюжет (x0, y0, цвет)

Комплексное значение z имеет координаты ( x , y ) на комплексной плоскости и возводится в различные степени внутри итерационного цикла с помощью кодов, показанных в этой таблице. Мощности, не указанные в таблице, можно получить путем объединения показанных кодов.

d = х ^ 4 + 2 * х ^ 2 * у ^ 2 + у ^ 4если d = 0, то ESCAPExtmp = (х ^ 2-у ^ 2) / д + ау = -2 * х * у / д + Ьx = xtmp 

д = х ^ 2 + у ^ 2если d = 0, то ESCAPEх = х / д + ау = -y / d + b 

xtmp = х ^ 2-у ^ 2 + ау = 2 * х * у + Ьx = xtmp 

xtmp = х ^ 3-3 * х * у ^ 2 + ау = 3 * х ^ 2 * уу ^ 3 + бx = xtmp 

xtmp = x ^ 5-10 * x ^ 3 * y ^ 2 + 5 * x * y ^ 4 + аy = 5 * x ^ 4 * y-10 * x ^ 2 * y ^ 3 + y ^ 5 + bx = xtmp

xtmp = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * cos (n * atan2 (y, x)) + ay = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * sin (n * atan2 (y, x)) + bx = xtmp

В Викиучебнике есть книга на тему: Фракталы.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с наборами Multibrot .

Ссылки [ править ]