Полиномиальный пробит

В статистике и эконометрике , то полиномиальная модель пробит является обобщением модели пробит используется , когда существует несколько возможных категорий , что зависимая переменная может попасть. По сути, это альтернатива полиномиальной логит- модели как одному из методов мультиклассовой классификации . Ее не следует путать с многомерной пробит-моделью , которая используется для моделирования коррелированных бинарных результатов для более чем одной независимой переменной.

Общая спецификация [ править ]

Предполагается, что у нас есть серия наблюдений Y _i , для i = 1 ... n , результатов множественных выборов из категориального распределения размера m (есть m возможных вариантов). Наряду с каждым наблюдением Y _i представляет собой набор из k наблюдаемых значений x _{1, i} , ..., x _{k, i} независимых переменных (также известных как независимые переменные , переменные-предикторы, характеристики и т. Д.). Несколько примеров:

• Наблюдаемые результаты могут быть такими: «имеет болезнь А, болезнь В, болезнь С, не имеет ни одной из болезней» для набора редких заболеваний со схожими симптомами, а объясняющие переменные могут быть характеристиками пациентов, которые считаются соответствующими (пол , раса, возраст, артериальное давление , индекс массы тела , наличие или отсутствие различных симптомов и т. д.).
• Наблюдаемые результаты - это голоса людей за данную партию или кандидата на многосторонних выборах, а объясняющие переменные - это демографические характеристики каждого человека (например, пол, раса, возраст, доход и т. Д.).

Полиномиальная пробит-модель - это статистическая модель, которую можно использовать для прогнозирования вероятного результата ненаблюдаемого многостороннего испытания с учетом связанных независимых переменных. В процессе модель пытается объяснить относительное влияние различных объясняющих переменных на разные результаты.

Формально результаты Y _i описываются как категориально распределенные данные, где каждое значение результата h для наблюдения i происходит с ненаблюдаемой вероятностью p _{i, h,} которая специфична для текущего наблюдения i, поскольку определяется значениями объясняющие переменные, связанные с этим наблюдением. Это:

${\ displaystyle Y_ {i} | x_ {1, i}, \ ldots, x_ {k, i} \ \ sim \ operatorname {категориальный} (p_ {i, 1}, \ ldots, p_ {i, m}) , {\ text {for}} i = 1, \ dots, n}$

или эквивалентно

${\ displaystyle \ Pr [Y_ {i} = h | x_ {1, i}, \ ldots, x_ {k, i}] = p_ {i, h}, {\ text {for}} i = 1, \ точки, n,}$

для каждого из m возможных значений h .

Модель со скрытыми переменными [ править ]

Полиномиальный пробит часто записывается в терминах модели скрытых переменных :

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{i}^{1\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{1}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{1}\,\\Y_{i}^{2\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{2}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{2}\,\\\ldots &\ldots \\Y_{i}^{m\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{m}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{m}\,\\\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\sim {\mathcal {N}}(0,{\boldsymbol {\Sigma }})}$

потом

${\displaystyle Y_{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}Y_{i}^{1\ast }>Y_{i}^{2\ast },\ldots ,Y_{i}^{m\ast }\\2&{\text{if }}Y_{i}^{2\ast }>Y_{i}^{1\ast },Y_{i}^{3\ast },\ldots ,Y_{i}^{m\ast }\\\ldots &\ldots \\m&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Это,

${\displaystyle Y_{i}=\arg \max _{h=1}^{m}Y_{i}^{h\ast }}$

Обратите внимание, что эта модель допускает произвольную корреляцию между ошибочными переменными , поэтому она не обязательно учитывает независимость нерелевантных альтернатив .

Когда это единичная матрица (такая, что нет корреляции или гетероскедастичности ), модель называется независимым пробитом .${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

Оценка [ править ]

Подробнее о том, как оцениваются уравнения, см. В статье Пробит-модель .

Ссылки [ править ]

• Грин, Уильям Х. (2012). Эконометрический анализ (седьмое изд.). Бостон: образование Пирсона. С. 810–811. ISBN 978-0-273-75356-8. CS1 maint: discouraged parameter (link)