Квантильная регрессия

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Нет очистки причина не была указана. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Декабрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Регрессивный анализ
Часть серии по

Модели
Линейная регрессия Простая регрессия Полиномиальная регрессия Общая линейная модель
Обобщенная линейная модель Дискретный выбор Биномиальная регрессия Бинарная регрессия Логистическая регрессия Полиномиальный логит Смешанный логит Пробит Полиномиальный пробит Заказал логит Заказал пробит Пуассон
Многоуровневая модель Фиксированные эффекты Случайные эффекты Линейная модель смешанных эффектов Нелинейная модель смешанных эффектов
Нелинейная регрессия Непараметрический Полупараметрический Крепкий Квантиль Изотонический Основные компоненты Наименьший угол Местный Сегментированный
Ошибки в переменных
Оценка
Наименьших квадратов Линейный Нелинейный
Обычный Взвешенный Обобщенный
Частичное Общий Неотрицательный Регрессия хребта Регулярный
Наименьшие абсолютные отклонения Итеративно переназначенный Байесовский Байесовский многомерный
Фон
Проверка регрессии Средний и прогнозируемый ответ Ошибки и остатки Доброту соответствия Студентизованный остаток Теорема Гаусса – Маркова
Математический портал
v т е

Квантильная регрессия - это тип регрессионного анализа, используемый в статистике и эконометрике. В то время как метод наименьших квадратов оценивает условное среднее значение переменной ответа по значениям переменных-предикторов, квантильная регрессия оценивает условную медиану (или другие квантили ) переменной ответа. Квантильная регрессия - это расширение линейной регрессии, используемое, когда не выполняются условия линейной регрессии.

Преимущества и приложения [ править ]

Одно из преимуществ квантильной регрессии по сравнению с обычной регрессией методом наименьших квадратов состоит в том, что оценки квантильной регрессии более устойчивы к выбросам в измерениях отклика. Однако основная привлекательность квантильной регрессии выходит за рамки этого и полезна, когда интересны условные квантильные функции. Различные меры центральной тенденции и статистической дисперсии могут быть полезны для получения более полного анализа взаимосвязи между переменными. ^[1]

В экологии была предложена квантильная регрессия, которая использовалась как способ обнаружения более полезных прогностических взаимосвязей между переменными в случаях, когда взаимосвязь отсутствует или есть только слабая взаимосвязь между средними значениями таких переменных. Необходимость и успех квантильной регрессии в экологии объясняется сложностью взаимодействий между различными факторами, приводящими к данным с неравномерным изменением одной переменной для разных диапазонов другой переменной. ^[2]

Другое применение квантильной регрессии - области диаграмм роста, где процентильные кривые обычно используются для выявления аномального роста. ^[3]^[4]

Математика [ править ]

Математические формы, возникающие при квантильной регрессии, отличаются от форм, возникающих при использовании метода наименьших квадратов . Метод наименьших квадратов приводит к рассмотрению проблем в пространстве внутреннего продукта , включая проекцию на подпространства, и, таким образом, проблема минимизации квадратов ошибок может быть сведена к задаче численной линейной алгебры . Квантильная регрессия не имеет такой структуры и вместо этого приводит к проблемам в линейном программировании, которые могут быть решены симплексным методом .

История [ править ]

Идея оценки среднего наклона регрессии, основная теорема о минимизации суммы абсолютных отклонений и геометрический алгоритм для построения медианной регрессии были предложены в 1760 году Руджером Йосипом Бошковичем , католическим священником- иезуитом из Дубровника. ^[1]^{: 4}^[5] Он интересовался эллиптичностью Земли, основываясь на предположении Исаака Ньютона о том, что ее вращение может вызвать выпуклость на экваторе с соответствующим уплощением на полюсах. ^[6] Наконец, он создал первую геометрическую процедуру для определения экватора вращающейся планеты по трем наблюдениям.поверхностного элемента. Что еще более важно для квантильной регрессии, он смог разработать первое свидетельство наименьшего абсолютного критерия и опередил метод наименьших квадратов, введенный Лежандром в 1805 году, на пятьдесят лет. ^[7]

Другие мыслители начали развивать идею Бошковича, например Пьер-Симон Лаплас , который разработал так называемый «метод ситуации». Это привело к множественной медиане Фрэнсиса Эджворта ^[8] - геометрическому подходу к медианной регрессии - и признано предшественником симплексного метода . ^[7] Работы Бошковича, Лапласа и Эджворта были признаны прелюдией к вкладам Роджера Кенкера в квантильную регрессию.

Вычисления медианной регрессии для больших наборов данных довольно утомительны по сравнению с методом наименьших квадратов, по этой причине он исторически не пользовался популярностью среди статистиков до широкого распространения компьютеров во второй половине 20-го века.

Квантили [ править ]

Позвольте быть вещественной случайной величиной с кумулятивной функцией распределения . - Й квантиль Y задается ${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle F_ {Y} (y) = P (Y \ leq y)}$ ${\ Displaystyle \ тау}$

Q_{Y}(\tau )=F_{Y}^{-1}(\tau )=\inf \left\{y:F_{Y}(y)\geq \tau \right\}

куда $\tau \in (0,1).$

Определите функцию потерь как , где - индикаторная функция . $\rho _{\tau }(y)=y(\tau -\mathbb {I} _{(y<0)})$ $\mathbb {I}$

Конкретный квантиль может быть найден путем минимизации ожидаемых потерь в отношении : ^[1] (стр. 5–6): $Y-u$ $u$

${\underset {u}{\min }}E(\rho _{\tau }(Y-u))$ $={\underset {u}{\min }}{\biggl \{}$ $(\tau -1)$ $\int _{-\infty }^{u}$ $(y-u)$ $dF_{Y}(y)+\tau \int _{u}^{\infty }$ $(y-u)$ $dF_{Y}(y){\biggr \}}.$

Это можно показать, вычислив производную ожидаемого убытка с помощью применения интегрального правила Лейбница , установив его равным 0 и приняв решение $q_{\tau }$

0=(1-\tau )\int _{-\infty }^{q_{\tau }}dF_{Y}(y)-\tau \int _{q_{\tau }}^{\infty }dF_{Y}(y).

Это уравнение сводится к

0=F_{Y}(q_{\tau })-\tau ,

а затем в

F_{Y}(q_{\tau })=\tau .

Отсюда - квантиль случайной величины Y. $q_{\tau }$ $\tau$

Пример [ править ]

Позвольте быть дискретной случайной величиной, которая принимает значения 1,2, .., 9 с равными вероятностями. Задача состоит в том, чтобы найти медиану Y, поэтому значение выбрано. Ожидаемый убыток L ( u ) равен $Y$ $\tau =0.5$

L(u)={\frac {(\tau -1)}{9}}\sum _{y_{i}<u}

(y_{i}-u)

+{\frac {\tau }{9}}\sum _{y_{i}\geq u}

(y_{i}-u)

={\frac {0.5}{9}}{\Bigl (}

-

\sum _{y_{i}<u}

(y_{i}-u)

+\sum _{y_{i}\geq u}

(y_{i}-u)

{\Bigr )}.

Поскольку является константой, его можно исключить из функции ожидаемых потерь (это верно, только если ). Тогда при u = 3 ${0.5/9}$ $\tau =0.5$

L(3)\propto \sum _{i=1}^{2}

-(i-3)

+\sum _{i=3}^{9}

(i-3)

=[(2+1)+(0+1+2+...+6)]=24.

Предположим, что u увеличено на 1 единицу. Тогда ожидаемый убыток изменится на изменение u на 4. Если u = 5, ожидаемый убыток составит $(3)-(6)=-3$

L(5)\propto \sum _{i=1}^{4}i+\sum _{i=0}^{4}i=20,

и любое изменение u увеличит ожидаемый убыток. Таким образом, u = 5 - медиана. В таблице ниже показаны ожидаемые убытки (разделенные на ) для различных значений u . ${0.5/9}$

ты	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ожидаемая потеря	36	29	24	21 год	20	21 год	24	29	36

Интуиция [ править ]

Рассмотрим и пусть q будет первоначальным предположением для . Ожидаемый убыток, оцениваемый по q, составляет $\tau =0.5$ $q_{\tau }$

L(q)=-0.5\int _{-\infty }^{q}(y-q)dF_{Y}(y)+0.5\int _{q}^{\infty }(y-q)dF_{Y}(y).

Чтобы минимизировать ожидаемый убыток, мы немного перемещаем значение q , чтобы увидеть, будет ли ожидаемый убыток расти или падать. Предположим, мы увеличиваем q на 1 единицу. Тогда изменение ожидаемого убытка будет

\int _{-\infty }^{q}1dF_{Y}(y)-\int _{q}^{\infty }1dF_{Y}(y).

Первый член уравнения равен, а второй член уравнения . Следовательно, изменение функции ожидаемых потерь является отрицательным тогда и только тогда , когда , то есть тогда и только тогда, когда q меньше медианы. Точно так же, если мы уменьшим q на 1 единицу, изменение функции ожидаемых потерь будет отрицательным тогда и только тогда, когда q больше медианы. $F_{Y}(q)$ $1-F_{Y}(q)$ $F_{Y}(q)<0.5$

Чтобы минимизировать ожидаемую функцию потерь, мы должны увеличивать (уменьшать) L ( q ), если q меньше (больше) медианы, пока q не достигнет медианы. Идея минимизации состоит в том, чтобы подсчитать количество точек (взвешенных по плотности), которые больше или меньше q, а затем переместить q в точку, где q больше % точек. $100\tau$

Образец квантиля [ править ]

Образец квантиль может быть получен путем решения следующей задачи минимизации $\tau$

{\hat {q}}_{\tau }={\underset {q\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}\rho _{\tau }(y_{i}-q),

={\underset {q\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\left[(\tau -1)\sum _{y_{i}<q}(y_{i}-q)+\tau \sum _{y_{i}\geq q}(y_{i}-q)\right]

, где функция представляет собой наклонную функцию абсолютного значения. Интуиция такая же, как и для квантиля населения.

\rho _{\tau }

Условная квантиль и квантильная регрессия [ править ]

Предположим, что условная функция квантиля равна . Учитывая функцию распределения , можно получить, решив $\tau$ $Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }$ $Y$ $\beta _{\tau }$

\beta _{\tau }={\underset {\beta \in \mathbb {R} ^{k}}{\mbox{arg min}}}E(\rho _{\tau }(Y-X\beta )).

Решение выборочного аналога дает оценку . $\beta$

{\hat {\beta _{\tau }}}={\underset {\beta \in \mathbb {R} ^{k}}{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}(\rho _{\tau }(Y_{i}-X_{i}\beta )).

Вычисление [ править ]

Задачу минимизации можно переформулировать как задачу линейного программирования

{\underset {\beta ,u^{+},u^{-}\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} _{+}^{2n}}{\min }}\left\{\tau 1_{n}^{'}u^{+}+(1-\tau )1_{n}^{'}u^{-}|X\beta +u^{+}-u^{-}=Y\right\},

куда

u_{j}^{+}=\max(u_{j},0)

,

u_{j}^{-}=-\min(u_{j},0).

Симплекс-методы ^[1]^{: 181} или методы внутренней точки ^[1]^{: 190} могут применяться для решения задачи линейного программирования.

Асимптотические свойства [ править ]

Для при некоторых условиях регулярности, является асимптотически нормальным : $\tau \in (0,1)$ ${\hat {\beta }}_{\tau }$

{\sqrt {n}}({\hat {\beta }}_{\tau }-\beta _{\tau }){\overset {d}{\rightarrow }}N(0,\tau (1-\tau )D^{-1}\Omega _{x}D^{-1}),

куда

D=E(f_{Y}(X\beta )XX^{\prime })

и

\Omega _{x}=E(X^{\prime }X).

Прямая оценка матрицы асимптотической дисперсии-ковариации не всегда бывает удовлетворительной. Вывод о параметрах квантильной регрессии может быть сделан с помощью тестов на ранговую оценку регрессии или с помощью методов начальной загрузки. ^[9]

Эквивариантность [ править ]

См. Инвариантную оценку для получения информации об инвариантности или см. Эквивариантность .

Эквивалентность шкалы [ править ]

Для любого и $a>0$ $\tau \in [0,1]$

{\hat {\beta }}(\tau ;aY,X)=a{\hat {\beta }}(\tau ;Y,X),

{\hat {\beta }}(\tau ;-aY,X)=-a{\hat {\beta }}(1-\tau ;Y,X).

Эквивалентность сдвига [ править ]

Для любого и $\gamma \in R^{k}$ $\tau \in [0,1]$

{\hat {\beta }}(\tau ;Y+X\gamma ,X)={\hat {\beta }}(\tau ;Y,X)+\gamma .

Эквивалентность повторной параметризации дизайна [ править ]

Пусть - произвольная невырожденная матрица и $A$ $p\times p$ $\tau \in [0,1]$

{\hat {\beta }}(\tau ;Y,XA)=A^{-1}{\hat {\beta }}(\tau ;Y,X).

Инвариантность к монотонным преобразованиям [ править ]

Если - неубывающая функция на ' R , применяется следующее свойство инвариантности : $h$

h(Q_{Y|X}(\tau ))\equiv Q_{h(Y)|X}(\tau ).

Пример (1):

Если и , то . Средняя регрессия не имеет того же свойства, поскольку $W=\exp(Y)$ $Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }$ $Q_{W|X}(\tau )=\exp(X\beta _{\tau })$ $\operatorname {E} (\ln(Y))\neq \ln(\operatorname {E} (Y)).$

Байесовские методы квантильной регрессии [ править ]

Поскольку квантильная регрессия обычно не предполагает параметрического правдоподобия для условных распределений Y | X, байесовские методы работают с рабочим правдоподобием. Удобным выбором является асимметричное лапласовское правдоподобие ^[10], потому что мода результирующего апостериорного при плоском априорном уровне - это обычные оценки квантильной регрессии. Однако апостериорный вывод следует интерпретировать с осторожностью. Ян, Ван и Хе ^[11] предоставили апостериорную поправку на дисперсию для достоверного вывода. Вдобавок Ян и Хе ^[12] показали, что можно иметь асимптотически верный апостериорный вывод, если рабочая вероятность выбрана в качестве эмпирической вероятности.

Методы машинного обучения для квантильной регрессии [ править ]

Помимо простой линейной регрессии, существует несколько методов машинного обучения, которые можно расширить до квантильной регрессии. Переключение с квадрата ошибки на наклонную функцию потерь абсолютного значения позволяет алгоритмам обучения на основе градиентного спуска изучать указанный квантиль вместо среднего. Это означает, что мы можем применить все нейронные сети и алгоритмы глубокого обучения к квантильной регрессии. ^[13]^[14] Древовидные алгоритмы обучения также доступны для квантильной регрессии (см., Например, Quantile Regression Forests, ^[15] как простое обобщение случайных лесов ).

Цензурированная квантильная регрессия [ править ]

Если переменная ответа подвергается цензуре, условное среднее не может быть идентифицировано без дополнительных предположений о распределении, но условный квантиль часто можно идентифицировать. О недавних работах по цензурированной квантильной регрессии см .: Portnoy ^[16] и Wang and Wang ^[17].

Пример (2):

Пусть и . Тогда . Это модель квантильной регрессии с цензурой: оценочные значения могут быть получены без каких-либо предположений о распределении, но за счет вычислительных трудностей ^[18], некоторых из которых можно избежать, используя в качестве приближения простую трехэтапную процедуру цензурированной квантильной регрессии. ^[19] $Y^{c}=\max(0,Y)$ $Q_{Y|X}=X\beta _{\tau }$ $Q_{Y^{c}|X}(\tau )=\max(0,X\beta _{\tau })$

Для случайной цензуры переменных ответа цензурированная квантильная регрессия Portnoy (2003) ^[16] обеспечивает согласованные оценки всех идентифицируемых функций квантилей, основанные на соответствующем изменении веса каждой цензурированной точки.

Реализации [ править ]

Многочисленные пакеты статистического программного обеспечения включают реализации квантильной регрессии:

Функция Matlab quantreg^[20]
Eviews , начиная с версии 6. ^{[ необходима ссылка ]}
У gretl есть quantregкоманда. ^[21]
R предлагает несколько пакетов, реализующих квантильную регрессию, в первую очередь quantregот Роджера Кенкера , ^[22], но также gbm, ^[23] quantregForest , ^[24] qrnn^[25] и qgam^[26]
Python , см. Scikit-garden^[27] и statsmodels^[28]
SAS через proc quantreg(версия 9.2) и proc quantselect(версия 9.3). ^[29]
Stata через qregкоманду. ^[30]^[31]
Vowpal Wabbit , через --loss_function quantile. ^[32]
Пакет Statsmodels для Python, через QuantReg^[33]
Пакет Mathematica QuantileRegression.m^[34] размещен в проекте MathematicaForPrediction на GitHub.

Ссылки [ править ]

^ a b c d e Коенкер, Роджер (2005). Квантильная регрессия . Издательство Кембриджского университета. стр. 146 -7. ISBN 978-0-521-60827-5.
^ Кейд, Брайан С .; Полдень, Барри Р. (2003). «Мягкое введение в квантильную регрессию для экологов» (PDF) . Границы экологии и окружающей среды . 1 (8): 412–420. DOI : 10.2307 / 3868138 . JSTOR 3868138 .
^ Wei, Y .; Pere, A .; Koenker, R .; Он, X. (2006). «Методы квантильной регрессии для справочных графиков роста». Статистика в медицине . 25 (8): 1369–1382. DOI : 10.1002 / sim.2271 . PMID 16143984 .
^ Wei, Y .; Он, X. (2006). «Графики условного роста (с обсуждениями)». Анналы статистики . 34 (5): 2069–2097 и 2126–2131. arXiv : math / 0702634 . DOI : 10.1214 / 009053606000000623 .
^ Стиглер, С. (1984). «Боскович, Симпсон и заметка в рукописи 1760 года об установлении линейной зависимости». Биометрика . 71 (3): 615–620. DOI : 10.1093 / Biomet / 71.3.615 .
^ Koenker, Роджер (2005). Квантильная регрессия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 2 . ISBN 9780521845731.
^ а б Фурно, Марилена; Вискоко, Доменико (2018). Квантильная регрессия: оценка и моделирование . Хобокен, Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья. стр. xv. ISBN 9781119975281.
^ Koenker, Роджер (август 1998). «Гальтон, Эджворт, Фриш и перспективы квантильной регрессии в экономике» (PDF) . UIUC.edu . Проверено 22 августа 2018 года .
^ Кочергинский, М .; Он, X .; Му, Ю. (2005). «Практические доверительные интервалы для квантилей регрессии». Журнал вычислительной и графической статистики . 14 (1): 41–55. DOI : 10.1198 / 106186005X27563 .
^ Кодзуми, H .; Кобаяши, Г. (2011). «Методы выборки Гиббса для байесовской квантильной регрессии» (PDF) . Журнал статистических вычислений и моделирования . 81 (11): 1565–1578. DOI : 10.1080 / 00949655.2010.496117 .
^ Ян, Y .; Ван, HX; Он, X. (2016). «Апостериорный вывод в байесовской квантильной регрессии с асимметричным правдоподобием Лапласа». Международное статистическое обозрение . 84 (3): 327–344. DOI : 10.1111 / insr.12114 . ЛВП : 2027,42 / 135059 .
^ Ян, Y .; Он, X. (2010). «Байесовская эмпирическая вероятность квантильной регрессии». Анналы статистики . 40 (2): 1102–1131. arXiv : 1207,5378 . DOI : 10.1214 / 12-AOS1005 .
^ Petneházi, Габор (2019-08-21). «QCNN: квантильная сверточная нейронная сеть». arXiv : 1908.07978 [ cs.LG ].
^ Родригес, Филипе; Перейра, Франсиско К. (27.08.2018). «За гранью ожидания: глубокое совместное среднее и квантильная регрессия для пространственно-временных проблем». arXiv : 1808.08798 [ статистика ].
^ Meinshausen, Николаи (2006). «Квантильные регрессионные леса» (PDF) . Журнал исследований в области машинного обучения . 7 (6): 983–999.
^ а б Портной, SL (2003). «Квантили регрессии с цензурой». Журнал Американской статистической ассоциации . 98 (464): 1001–1012. DOI : 10.1198 / 016214503000000954 .
^ Ван, Х .; Ван, Л. (2009). «Локально взвешенная цензурированная квантильная регрессия». Журнал Американской статистической ассоциации . 104 (487): 1117–1128. CiteSeerX 10.1.1.504.796 . DOI : 10,1198 / jasa.2009.tm08230 .
^ Пауэлл, Джеймс Л. (1986). «Квантили регрессии с цензурой». Журнал эконометрики . 32 (1): 143–155. DOI : 10.1016 / 0304-4076 (86) 90016-3 .
^ Черножуков, Виктор; Хун, Хан (2002). «Трехступенчатая цензурированная квантильная регрессия и внебрачные связи». J. Amer. Статист. Доц. 97 (459): 872–882. DOI : 10.1198 / 016214502388618663 .
^ "Quantreg (x, y, tau, order, Nboot) - Обмен файлами - MATLAB Central" . www.mathworks.com . Проверено 1 февраля 2016 .
^ "Справочник команд Gretl" (PDF) . Апрель 2017 г.
^ "Quantreg: квантильная регрессия" . R проект . 2018-12-18.
^ "GBM: Обобщенные модели ускоренной регрессии" . R проект . 2019-01-14.
^ "QuantregForest: леса квантильной регрессии" . R проект . 2017-12-19.
^ "qrnn: нейронные сети квантильной регрессии" . R проект . 2018-06-26.
^ «qgam: модели гладкой аддитивной квантильной регрессии» . R проект . 2019-05-23.
^ «Леса квантильной регрессии» . Сикит-сад . Дата обращения 3 января 2019 .
^ «Статистические модели: квантильная регрессия» . Statsmodels . Дата обращения 15 ноября 2019 .
^ «Введение в квантильную регрессию и процедуру QUANTREG» (PDF) . Поддержка SAS .
^ «qreg - квантильная регрессия» (PDF) . Руководство по Stata .
^ Кэмерон, А. Колин; Триведи, Правин К. (2010). «Квантильная регрессия» . Микроэконометрика с использованием Stata (пересмотренная ред.). Колледж-Стейшн: Stata Press. С. 211–234. ISBN 978-1-59718-073-3.
^ "Джон Лэнгфорд / vowpal_wabbit" . GitHub . Проверено 9 июля 2016 .
^ «Квантильная регрессия» . statsmodels.org . Дата обращения 3 января 2019 .
^ "QuantileRegression.m" . MathematicaForPrediction . Дата обращения 3 января 2019 .

Дальнейшее чтение [ править ]

В Wikibook R Programming есть страница на тему: Квантильная регрессия

Ангрист, Джошуа Д .; Пишке, Йорн-Штеффен (2009). «Квантильная регрессия» . В основном безвредная эконометрика: компаньон эмпирика . Издательство Принстонского университета. С. 269–291. ISBN 978-0-691-12034-8.
Кенкер, Роджер (2005). Квантильная регрессия . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-60827-5.

[Koenker2005-1] Коенкер, Роджер (2005). Квантильная регрессия . Издательство Кембриджского университета. стр. 146 -7. ISBN 978-0-521-60827-5.

[2] Кейд, Брайан С .; Полдень, Барри Р. (2003). «Мягкое введение в квантильную регрессию для экологов» (PDF) . Границы экологии и окружающей среды . 1 (8): 412–420. DOI : 10.2307 / 3868138 . JSTOR 3868138 .

[3] Wei, Y .; Pere, A .; Koenker, R .; Он, X. (2006). «Методы квантильной регрессии для справочных графиков роста». Статистика в медицине . 25 (8): 1369–1382. DOI : 10.1002 / sim.2271 . PMID 16143984 .

[4] Wei, Y .; Он, X. (2006). «Графики условного роста (с обсуждениями)». Анналы статистики . 34 (5): 2069–2097 и 2126–2131. arXiv : math / 0702634 . DOI : 10.1214 / 009053606000000623 .

[5] Стиглер, С. (1984). «Боскович, Симпсон и заметка в рукописи 1760 года об установлении линейной зависимости». Биометрика . 71 (3): 615–620. DOI : 10.1093 / Biomet / 71.3.615 .

[6] Koenker, Роджер (2005). Квантильная регрессия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 2 . ISBN 9780521845731.

[:0-7] а б Фурно, Марилена; Вискоко, Доменико (2018). Квантильная регрессия: оценка и моделирование . Хобокен, Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья. стр. xv. ISBN 9781119975281.

[8] Koenker, Роджер (август 1998). «Гальтон, Эджворт, Фриш и перспективы квантильной регрессии в экономике» (PDF) . UIUC.edu . Проверено 22 августа 2018 года .

[9] Кочергинский, М .; Он, X .; Му, Ю. (2005). «Практические доверительные интервалы для квантилей регрессии». Журнал вычислительной и графической статистики . 14 (1): 41–55. DOI : 10.1198 / 106186005X27563 .

[10] Кодзуми, H .; Кобаяши, Г. (2011). «Методы выборки Гиббса для байесовской квантильной регрессии» (PDF) . Журнал статистических вычислений и моделирования . 81 (11): 1565–1578. DOI : 10.1080 / 00949655.2010.496117 .

[11] Ян, Y .; Ван, HX; Он, X. (2016). «Апостериорный вывод в байесовской квантильной регрессии с асимметричным правдоподобием Лапласа». Международное статистическое обозрение . 84 (3): 327–344. DOI : 10.1111 / insr.12114 . ЛВП : 2027,42 / 135059 .

[12] Ян, Y .; Он, X. (2010). «Байесовская эмпирическая вероятность квантильной регрессии». Анналы статистики . 40 (2): 1102–1131. arXiv : 1207,5378 . DOI : 10.1214 / 12-AOS1005 .

[13] Petneházi, Габор (2019-08-21). «QCNN: квантильная сверточная нейронная сеть». arXiv : 1908.07978 [ cs.LG ].

[14] Родригес, Филипе; Перейра, Франсиско К. (27.08.2018). «За гранью ожидания: глубокое совместное среднее и квантильная регрессия для пространственно-временных проблем». arXiv : 1808.08798 [ статистика ].

[15] Meinshausen, Николаи (2006). «Квантильные регрессионные леса» (PDF) . Журнал исследований в области машинного обучения . 7 (6): 983–999.

[Portnoy2003-16] а б Портной, SL (2003). «Квантили регрессии с цензурой». Журнал Американской статистической ассоциации . 98 (464): 1001–1012. DOI : 10.1198 / 016214503000000954 .

[17] Ван, Х .; Ван, Л. (2009). «Локально взвешенная цензурированная квантильная регрессия». Журнал Американской статистической ассоциации . 104 (487): 1117–1128. CiteSeerX 10.1.1.504.796 . DOI : 10,1198 / jasa.2009.tm08230 .

[18] Пауэлл, Джеймс Л. (1986). «Квантили регрессии с цензурой». Журнал эконометрики . 32 (1): 143–155. DOI : 10.1016 / 0304-4076 (86) 90016-3 .

[19] Черножуков, Виктор; Хун, Хан (2002). «Трехступенчатая цензурированная квантильная регрессия и внебрачные связи». J. Amer. Статист. Доц. 97 (459): 872–882. DOI : 10.1198 / 016214502388618663 .

[20] "Quantreg (x, y, tau, order, Nboot) - Обмен файлами - MATLAB Central" . www.mathworks.com . Проверено 1 февраля 2016 .

[21] "Справочник команд Gretl" (PDF) . Апрель 2017 г.

[22] "Quantreg: квантильная регрессия" . R проект . 2018-12-18.

[23] "GBM: Обобщенные модели ускоренной регрессии" . R проект . 2019-01-14.

[24] "QuantregForest: леса квантильной регрессии" . R проект . 2017-12-19.

[25] "qrnn: нейронные сети квантильной регрессии" . R проект . 2018-06-26.

[26] «qgam: модели гладкой аддитивной квантильной регрессии» . R проект . 2019-05-23.

[27] «Леса квантильной регрессии» . Сикит-сад . Дата обращения 3 января 2019 .

[28] «Статистические модели: квантильная регрессия» . Statsmodels . Дата обращения 15 ноября 2019 .

[29] «Введение в квантильную регрессию и процедуру QUANTREG» (PDF) . Поддержка SAS .

[30] «qreg - квантильная регрессия» (PDF) . Руководство по Stata .

[31] Кэмерон, А. Колин; Триведи, Правин К. (2010). «Квантильная регрессия» . Микроэконометрика с использованием Stata (пересмотренная ред.). Колледж-Стейшн: Stata Press. С. 211–234. ISBN 978-1-59718-073-3.

[32] "Джон Лэнгфорд / vowpal_wabbit" . GitHub . Проверено 9 июля 2016 .

[33] «Квантильная регрессия» . statsmodels.org . Дата обращения 3 января 2019 .

[34] "QuantileRegression.m" . MathematicaForPrediction . Дата обращения 3 января 2019 .