N -щелевое интерферометрическое уравнение

Квантовая механика была впервые применена к оптике , и в частности к интерференции , Полем Дираком . ^[1] Ричард Фейнман в своих лекциях по физике , использует обозначения Дирака для описания мысленных экспериментов на двухщелевых помехах от электронов . ^[2] Подход Фейнмана был распространен на интерферометры с N- щелью либо для однофотонного освещения, либо для лазерного освещения с узкой шириной линии , то есть освещения неотличимыми фотонами , Фрэнком Дуарте .^{[3] [4]} В N -slit интерферометр впервые был применен в генерации и измерения сложных интерференционных картин . ^{[3] [4]}

В этой статье описывается обобщенное интерферометрическое уравнение с N- щелью, выведенное с использованием обозначений Дирака. Хотя изначально это уравнение было разработано для воспроизведения и предсказания интерферограмм с N- щелью, ^{[3] [4]} это уравнение также имеет приложения к другим областям оптики.

Амплитуды вероятностей и интерферометрическое уравнение с N- щелью [ править ]

Схема интерферометра с N- щелью, вид сверху, показывающая положение плоскостей s , j и x . В N -slit массив или решетки, расположен на J . Внутриинтерферометрическое расстояние может составлять несколько сотен метров. TBE - телескопический расширитель луча, MPBE - многопризменный расширитель луча .

В этом подходе амплитуда вероятности распространения фотона от источника s до интерференционной плоскости x через массив щелей j задается с использованием обозначения бра-кета Дирака как ^[3]

${\ displaystyle \ langle x | s \ rangle = \ sum _ {j = 1} ^ {\ mathbb {N}} \ langle x | j \ rangle \ langle j | s \ rangle}$

Это уравнение представляет собой амплитуду вероятности распространения фотона от s до x через массив из j щелей. Используя представление волновой функции для амплитуд вероятности, ^[1] и определяя амплитуды вероятностей как ^{[3] [4] [5]}

${\ displaystyle {\ begin {align} \ langle j | s \ rangle & = \ Psi \ left (r_ {j, s} \ right) e ^ {- i \ theta _ {j}} \\\ langle x | j \ rangle & = \ Psi \ left (r_ {x, j} \ right) e ^ {- i \ phi _ {j}} \ end {align}}}$

где θ _j и Φ _j - фазовые углы падения и дифракции соответственно. Таким образом, общую амплитуду вероятности можно переписать как

${\ displaystyle \ langle x | s \ rangle = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ Psi \ left (r_ {j} \ right) e ^ {- i \ Omega _ {j}}}$

где

${\ Displaystyle \ Psi \ left (r_ {j} \ right) = \ Psi \ left (r_ {x, j} \ right) \ Psi \ left (r_ {j, s} \ right)}$

а также

${\ displaystyle \ Omega _ {j} = \ theta _ {j} + \ phi _ {j}}$

после некоторой алгебры соответствующая вероятность становится ^{[3] [4] [5]}

${\ displaystyle {\ big |} \ langle x | s \ rangle {\ big |} ^ {2} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ Psi \ left (r_ {j} \ right) ^ {2} +2 \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ Psi \ left (r_ {j} \ right) \ left (\ sum _ {m = j + 1} ^ {N} \ Psi \ left (r_ {m} \ right) \ cos \ left (\ Omega _ {m} - \ Omega _ {j} \ right) \ right)}$

где N - общее количество щелей в решетке или решетке пропускания, а член в скобках представляет фазу, которая напрямую связана с точными разностями хода, полученными из геометрии решетки с N- щелями ( j ), внутренней интерферометрической расстояние и интерферометрическая плоскость x . ^[5] В своей простейшей версии фазовый член может быть связан с геометрией, используя

${\displaystyle \cos(\Omega _{m}-\Omega _{j})=\cos k|L_{m}-L_{m-1}|}$

где k - волновое число , а L _m и L _{m - 1} представляют точные разности путей. Здесь Дирак - Дуарт (ДД) интерферометрическое уравнение представляет распределение вероятностей , что связанно с распределением интенсивности измеренным экспериментально. ^[6] Расчеты производятся численно. ^[5]

Интерферометрическое уравнение DD применяется к распространению одиночного фотона или к распространению ансамбля неразличимых фотонов и позволяет точно предсказывать измеренные интерферометрические картины N- щели непрерывно от ближнего к дальнему полю. ^{[5] [6]} Интерферограммы, полученные с помощью этого уравнения, хорошо сравниваются с измеренными интерферограммами как для четных ( N = 2, 4, 6 ... ), так и для нечетных ( N = 3, 5, 7 ... ) значений. из N от 2 до 1600. ^{[5] [7]}

Приложения [ править ]

На практическом уровне интерферометрическое уравнение с N- щелью было введено для приложений построения изображений ^[5] и обычно применяется для прогнозирования лазерных интерферограмм с N- щелью как в ближнем, так и в дальней зоне. Таким образом, он стал ценным инструментом для юстировки больших и очень больших лазерных интерферометров с N- щелью ^{[8] [9],} используемых для изучения турбулентности ясного неба и распространения интерферометрических знаков для безопасной лазерной связи в космосе . Другие аналитические приложения описаны ниже.

Обобщенная дифракция и преломление [ править ]

N -slit интерферометрического уравнение было применено для описания классических явлений , таких как помехи , дифракция , преломление ( закон Снеллиуса ), и отражение , в рациональном и едином подходе, с использованием принципов квантовой механики. ^{[7] [10]} В частности, этот интерферометрический подход был использован для получения обобщенных рефракции уравнений для положительного и отрицательного преломления , ^[11] , таким образом , обеспечивая четкую связь между теорией дифракции и обобщенной рефракцией. ^[11]

Из фазового члена интерферометрического уравнения выражение

${\displaystyle d_{m}\left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)=M\pi }$

может быть получено, где М = 0, 2, 4 ... .

Для n ₁ = n ₂ это уравнение можно записать как ^{[7] [10]}

${\displaystyle d_{m}\left(\pm \sin {\theta _{m}}\pm \sin {\phi _{m}}\right)=m\lambda }$

которое является обобщенным уравнением дифракционной решетки . Здесь θ _m - угол падения, φ _m - угол дифракции, λ - длина волны, а m = 0, 1, 2 ... порядок дифракции.

При определенных условиях d _m ≪ λ , которые можно легко получить экспериментально, фазовый член принимает вид ^{[7] [10]}

${\displaystyle \left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)=0}$

которое является обобщенным уравнением рефракции, ^[11] где θ _m - угол падения, а φ _m теперь становится углом преломления.

Уравнение ширины линии резонатора [ править ]

Кроме того, интерферометрическое уравнение с N- щелью было применено для вывода уравнения ширины линии резонатора, применимого к дисперсионным генераторам, таким как лазерные генераторы с несколькими призматическими решетками : ^[12]

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\frac {\partial \Theta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}}$

В этом уравнении Δ θ - это расходимость луча, а общая угловая дисперсия внутри резонатора - величина, указанная в скобках.

Визуализация с преобразованием Фурье [ править ]

Исследователи, работающие над визуализацией фантомных изображений с преобразованием Фурье, рассматривают интерферометрическое уравнение с N- щелью ^{[3] [5] [10]} как средство исследования квантовой природы фантомных изображений. ^[13] Кроме того, интерферометрический подход с N- щелью является одним из нескольких подходов, применяемых для описания основных оптических явлений связным и унифицированным образом. ^[14]

Примечание: учитывая различную терминологию, используемую для интерферометрии N- щелей, следует четко указать, что уравнение интерферометрии N- щелей применимо к интерференции с двумя щелями, интерференцией с тремя щелями, интерференцией с четырьмя щелями и т. Д.

Квантовая запутанность [ править ]

Принципы Дирака и вероятностная методология, использованные для вывода интерферометрического уравнения с N- щелью, также использовались для вывода амплитуды вероятности поляризационной квантовой запутанности ^[15]

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|x\right\rangle _{1}\left|y\right\rangle _{2}-\left|y\right\rangle _{1}\left|x\right\rangle _{2}{\bigr )}}$

и соответствующие амплитуды вероятности, изображающие распространение множества пар квантов. ^[16]

Сравнение с классическими методами [ править ]

Сравнение подхода Дирака с классическими методами при выполнении интерферометрических расчетов было проведено Трэвисом С. Тейлором и др . ^[17] Эти авторы пришли к выводу, что интерферометрическое уравнение, полученное с помощью формализма Дирака, было выгодным в очень ближнем поле.

Некоторые различия между интерферометрическим уравнением DD и классическими формализмами можно резюмировать следующим образом:

• Классический подход Френеля используется для приложений ближнего поля, а классический подход Фраунгофера - для приложений дальнего поля. В таком разделении нет необходимости при использовании DD-интерферометрического подхода, поскольку этот формализм применим как к ближнему, так и к дальнему полю. ^[5]
• Подход Фраунгофера работает для плоско-волнового освещения. ^[18] Подход DD работает как для освещения плоскими волнами, так и для схем освещения с высокой дифракцией. ^[5]
• Интерферометрическое уравнение DD носит статистический характер. Это не относится к классическим формулировкам.

До сих пор не было опубликовано сравнение с более общими классическими подходами, основанными на принципе Гюйгенса – Френеля или формуле дифракции Кирхгофа .

См. Также [ править ]

• Расширитель луча
• Обозначения Дирака
• Дифракция Фраунгофера (математика)
• Оптическая связь в свободном пространстве
• Уравнение решетки
• Лазерная связь в космосе
• Ширина лазерной линии
• Теория дисперсии с несколькими призмами
• N- щелевой интерферометр

Ссылки [ править ]