В математике , А вблизи полигоном является геометрией заболеваемости введен Эрнест Е. Шульт и Артур Yanushka в 1980 году [1] Шульт и Yanushka показали связь между так называемыми тетраэдрический замкнутыми линиями-системами в евклидовых пространств и классом точечно геометрии линий, которые они назвали рядом с полигонами. Эти структуры обобщают понятие обобщенного многоугольника, поскольку каждый обобщенный 2 n -угольник является почти 2 n -угольником определенного вида. Близкие многоугольники широко изучались, и связь между ними и дуальными полярными пространствами [2] была показана в 1980-х и начале 1990-х годов. Некоторыйспорадические простые группы , например, группы Холла-Янко и группа Матьи , действуют как группы автоморфизмов вблизи полигонов.
Определение
Около 2 d -угольник - это структура падения (), где это множество точек, это набор линий и это отношение инцидентности , такое что:
- Максимальное расстояние между двумя точками (так называемый диаметр) равно d .
- За каждую точку и каждая строчка существует единственная точка на который ближе всего к .
Обратите внимание, что расстояние измеряется в графе коллинеарности точек, т. Е. Графе, образованном путем взятия точек в качестве вершин и соединения пары вершин, если они инцидентны общей прямой. Мы также можем дать альтернативное теоретико-графическое определение: почти 2 d -угольник - это связный граф конечного диаметра d, обладающий тем свойством, что для каждой вершины x и каждой максимальной клики M существует единственная вершина x ' в M, ближайшая к x . Максимальные клики такого графа соответствуют линиям в определении структуры инцидентности. Около 0-угольник ( d = 0) - это единственная точка, а близкий 2-угольник ( d = 1) - это всего лишь одна линия, то есть полный граф . Почти четырехугольник ( d = 2) совпадает с (возможно, вырожденным) обобщенным четырехугольником . В самом деле, можно показать , что каждый обобщенный 2 д -угольник является почти 2 г -угольника , которая удовлетворяет следующие два дополнительные условие:
- Каждая точка инцидентна как минимум двум линиям.
- Для каждых двух точек x , y на расстоянии i < d существует единственный сосед y на расстоянии i - 1 от x .
Близкий многоугольник называется плотным, если каждая линия инцидентна как минимум трем точкам и если каждые две точки на расстоянии два имеют как минимум двух общих соседей. Говорят, что он имеет порядок ( s , t ), если каждая прямая инцидентна ровно s + 1 точкам и каждая точка инцидентна ровно t + 1 прямой . Плотные около полигоны имеют обширную теорию, и несколько их классов (например, тонкие плотные около многоугольники) были полностью классифицированы. [3]
Примеры
- Все связные двудольные графы близки к многоугольникам. Фактически, любой почти многоугольник, у которого ровно две точки на линии, должен быть связным двудольным графом.
- Все конечные обобщенные многоугольники, кроме проективных плоскостей.
- Все дуальные полярные пространства .
- Холл-Янко возле восьмиугольника, также известный как Коэна Tits вблизи восьмиугольника [4] , связанные с группой Холла-Янко . Его можно построить, выбрав класс сопряженности 315 центральных инволюций группы Холла-Янко как точки и прямые как трехэлементные подмножества {x, y, xy} всякий раз, когда x и y коммутируют.
- M 24 около шестиугольника, относящегося к группе Mathieu M24 и расширенному двоичному коду Голея . Он построен путем взятия 759 октад (блоков) в плане Витта S (5, 8, 24), соответствующих коду Голея, как точек и тройки из трех попарно непересекающихся октад как линий. [5]
- Возьмем разбиения {1, 2, ..., 2 n + 2} на n + 1 2-подмножества как точки, а разбиения на n - 1 2-подмножества и одно 4-подмножество как прямые. Точка инцидентна линии, если как разбиение является ее уточнением. Это дает нам почти 2 n -угольник с тремя точками на каждой линии, обычно обозначаемый H n . Его полная группа автоморфизмов - это симметрическая группа S 2 n +2 . [6] [7]
Правильные возле полигонов
Конечная близкая -угольник S называется регулярным, если он имеет порядок и если существуют константы , такое, что для каждых двух точек а также на расстоянии , есть именно линии через содержащая (обязательно уникальную) точку на расстоянии из . Оказывается, что обычный рядом-угольники - это как раз те, кто рядом -угольники, точечный граф которых (также известный как граф коллинеарности ) является дистанционно регулярным графом . Обобщенный-угольник порядка постоянный рядом -угольник с параметрами
Смотрите также
Заметки
- ^ Шульт, Эрнест; Янушка, Артур. «Около n-угольников и линейные системы».
- ^ Кэмерон, Питер Дж. "Двойные полярные пространства".
- ^ Де Брюн, Барт. Рядом с полигонами
- ^ http://www.win.tue.nl/~aeb/graphs/HJ315.html
- ^ https://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/Witt.pdf
- ^ Брауэр, AE; Уилбринк, HA, Две бесконечные последовательности почти многоугольников (PDF)
- ^ Де Брюн, Барт, Изометрические вложения между почти многоугольником H n и G n (PDF)
Рекомендации
- Брауэр, AE; Коэн, AM; Wilbrink, HA; Холл, Дж. Дж. (1994), "Почти многоугольники и пространства Фишера" (PDF) , Geom. Dedicata , 49 (3): 349-368, DOI : 10.1007 / BF01264034.
- Брауэр, AE ; Коэн, AM; Neumaier, A. (1989), Distance Regular Graphs , Berlin, New York: Springer-Verlag., ISBN. 3-540-50619-5, Руководство по ремонту 1002568.
- Брауэр, AE ; Уилбринк, HA (1983), Две бесконечные последовательности почти полигонов (PDF) , Отчет ZW194 / 83, Mathematisch Centrum.
- Кэмерон, Питер Дж. (1982), "Двойные полярные пространства", Geom. Dedicata , 12 : 75-85, DOI : 10.1007 / bf00147332 , МР 0645040.
- Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства , QMW Maths Notes, 13 , Лондон: Школа математических наук Queen Mary and Westfield College, MR 1153019.
- Де Брюн, Барт (2006), Рядом с полигонами , Границы в математике, Birkhäuser Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-7643-7553-9 , ISBN 3-7643-7552-3, Руководство по ремонту 2227553.
- De Clerck, F .; Ван Малдегем, Х. (1995), "Некоторые классы геометрий ранга 2", Справочник по геометрии инцидентности , Амстердам: Северная Голландия, стр. 433–475..
- Шулт, Эрнест Э. (2011), точки и линии , Universitext, Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.
- Шульт, Эрнест; Янушка, Артур (1980), "Около n-угольников и линейные системы", Геом. Dedicata , 9 : 1-72, DOI : 10.1007 / BF00156473 , МР 0566437.