Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В области современной алгебры , известная как теория групп , то Янко группа J 2 или группа Холл-Янко HJ является спорадической простой группой из порядка
J 2 является одной из 26 спорадических групп и также называется группой Холла – Янко – Уэльса . В 1969 году Звонимир Янко предсказал J 2 как одну из двух новых простых групп, имеющих 2 1 + 4 : A 5 как централизатор инволюции (другая группа Янко J3 ). Она была построена Холлом и Уэльсом ( 1968 ) как группа перестановок ранга 3 по 100 точкам.
И множитель Шура, и группа внешних автоморфизмов имеют порядок 2. Как и группа перестановок на 100 точках, J 2 имеет инволюции, перемещающие все 100 точек, и инволюции, перемещающие только 80 точек. Прежние инволюции являются продуктом 25 двойных перемещений, нечетного числа и, следовательно, подъема до 4-элементов в двойном покрытии 2.A 100 . Двойное покрытие 2.J 2 является подгруппой группы Конвея Co 0 .
J 2 - единственная из 4 групп Janko, которая является частью группы монстров ; таким образом, это часть того, что Роберт Грисс называет «Счастливой семьей». Поскольку он также встречается в группе Co1 Конвея , он является частью второго поколения счастливой семьи.
Это подгруппа индекса два в группе автоморфизмов графа Холла – Янко , приводящая к перестановочному представлению степени 100. Это также подгруппа индекса два в группе автоморфизмов ближнего восьмиугольника Холла – Янко , [ 1], что приводит к перестановочному представлению степени 315.
Он имеет модульное представление шестого измерения над полем из четырех элементов; если во второй характеристике w 2 + w + 1 = 0 , то J 2 порождается двумя матрицами
а также
Эти матрицы удовлетворяют уравнениям
(Обратите внимание, что умножение матриц в конечном поле порядка 4 определяется немного иначе, чем обычное умножение матриц. См. Конечное поле § Поле с четырьмя элементами для конкретных таблиц сложения и умножения, где w совпадает с a, а w 2 совпадает с 1 + а .)
Таким образом, J 2 - группа Гурвица , конечный гомоморфный образ треугольной группы (2, 3, 7) .
Приведенное выше матричное представление представляет собой вложение в группу Диксона G 2 (4) . Существует только один класс сопряженности J 2 в G 2 (4). Каждая подгруппа J 2, содержащаяся в G 2 (4), продолжается до подгруппы J 2 : 2 = Aut (J 2 ) в G 2 (4): 2 = Aut ( G 2 (4)) ( G 2 (4), расширенная посредством полевые автоморфизмы F 4 ). G 2 (4), в свою очередь, изоморфна подгруппе группы КонвеяCo 1 .
Есть 9 классов сопряженности из максимальных подгрупп в J 2 . Некоторые из них описаны здесь в терминах действия на графе Холла – Янко.
Максимальный порядок любого элемента равен 15. В качестве перестановок элементы действуют на 100 вершин графа Холла – Янко.
порядок | Кол-во элементов | Структура цикла и сопряженность |
---|---|---|
1 = 1 | 1 = 1 | 1 класс |
2 = 2 | 315 = 3 2 · 5 · 7 | 2 40 , 1 класс |
2520 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7 | 2 50 , 1 класс | |
3 = 3 | 560 = 2 4 · 5 · 7 | 3 30 , 1 класс |
16800 = 2 5 · 3 · 5 2 · 7 | 3 32 , 1 класс | |
4 = 2 2 | 6300 = 2 2 · 3 2 · 5 2 · 7 | 2 6 4 20 , 1 класс |
5 = 5 | 4032 = 2 6 · 3 2 · 7 | 5 20 , 2 класса, эквивалент мощности |
24192 = 2 7 · 3 3 · 7 | 5 20 , 2 класса, эквивалент мощности | |
6 = 2 · 3 | 25200 = 2 4 · 3 2 · 5 2 · 7 | 2 4 3 6 6 12 , 1 класс |
50400 = 2 5 · 3 2 · 5 2 · 7 | 2 2 6 16 , 1 класс | |
7 = 7 | 86400 = 2 7 · 3 3 · 5 2 | 7 14 , 1 класс |
8 = 2 3 | 75600 = 2 4 · 3 3 · 5 2 · 7 | 2 3 4 3 8 10 , 1 класс |
10 = 2 · 5 | 60480 = 2 6 · 3 3 · 5 · 7 | 10 10 , 2 класса, эквивалент мощности |
120960 = 2 7 · 3 3 · 5 · 7 | 5 4 10 8 , 2 класса, эквивалент мощности | |
12 = 2 2 · 3 | 50400 = 2 5 · 3 2 · 5 2 · 7 | 3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 класс |
15 = 3 · 5 | 80640 = 2 8 · 3 2 · 5 · 7 | 5 2 15 6 , 2 класса, эквивалент мощности |