Теория Нильсена - это отрасль математических исследований, берущая свое начало в теории топологической неподвижной точки . Его основные идеи были разработаны датским математиком Якобом Нильсеном и носят его имя.
Развитая теория в изучении так называемого минимального числа из на карте F от компактного пространства к себе, обозначаемый MF [ ф ]. Это определяется как:
![{\ mathit {MF}} [f] = \ min \ {\ # \ mathrm {Fix} (g) \, | \, g \ sim f \},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752b4f858271a6ab93fedb9fe885fb7b9b1a821e)
где ~ указывает на гомотопию отображений, а #Fix ( g ) указывает количество неподвижных точек g . Минимальное число было очень трудно вычислить во времена Нильсена, и остается таковым сегодня. Подход Нильсена состоит в том, чтобы сгруппировать набор фиксированных точек в классы, которые оцениваются как «существенные» или «несущественные» в зависимости от того, могут ли они быть «удалены» с помощью гомотопии.
Первоначальная формулировка Нильсена эквивалентно следующему: Определим отношение эквивалентности на множестве неподвижных точек самообслуживания отображения F на пространстве X . Мы говорим, что x эквивалентен y тогда и только тогда, когда существует путь c из x в y с f ( c ), гомотопным c в качестве путей. Классы эквивалентности по отношению к этому отношению называются классами Нильсена функции f , а число Нильсена N ( f) определяется как количество классов Нильсена, имеющих ненулевую индексную сумму с фиксированной точкой .
Нильсен доказал, что
![N (е) \ leq {\ mathit {MF}} [е],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbe6d2c6654efdcf07f947aab854860bd78756c)
превратив его инвариант в хороший инструмент для оценки гораздо более сложной MF [ f ]. Это немедленно приводит к тому, что теперь известно как теорема Нильсена о неподвижной точке: любое отображение f имеет не менее N (f) неподвижных точек.
Из-за своего определения в терминах индекса фиксированной точки число Нильсена тесно связано с числом Лефшеца . Действительно, вскоре после первоначальной работы Нильсена, эти два инварианта были объединены в единое «обобщенном число Лефшца» (последнее называется след Райдемейстер ) по Wecken и Райдемайстеру .
Библиография [ править ]
- Фенчел, Вернер ; Нильсен, Якоб (2003). Асмус Л. Шмидт (ред.). Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости . Де Грюйтер Исследования по математике. 29 . Берлин: Walter de Gruyter & Co.
Внешние ссылки [ править ]
- Обзорная статья Роберта Ф. Брауна по теории Нильсена в Topology Atlas
