Нильрадикал алгебры Ли

Нильрадикалом конечномерной алгебры Ли является ее максимальный нильпотентный идеал , который существует потому, что сумма любых двух нильпотентных идеалов нильпотентна. Это идеал в радикале алгебры Ли . Фактор алгебры Ли по ее нильрадикалу является редуктивной алгеброй Ли . Однако соответствующая короткая точная последовательность ${\ displaystyle {\ mathfrak {ноль}} ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {рад}} ({\ mathfrak {г}})}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathrm {красный}}}$

не расщепляется вообще (т. е. не всегда есть подалгебра , дополнительная к в ). Это контрастирует с разложением Леви : короткая точная последовательность ${\ displaystyle {\ mathfrak {ноль}} ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$

расщепляется (в основном потому, что частное полупросто). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathrm {ss}}}$