Радикал алгебры Ли

В математической области теории Ли , то радикал из алгебры Ли является крупнейшей решаемой идеал из ^[1]${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}.}$

Радикал, обозначенный как , укладывается в точную последовательность${\ Displaystyle {\ rm {рад}} ({\ mathfrak {g}})}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ rm {rad}} ({\ mathfrak {g}}) \ to {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} / {\ rm {rad}} ({ \ mathfrak {g}}) \ to 0}$.

где находится полупрост . Когда основное поле имеет нулевую характеристику и конечную размерность, теорема Леви утверждает, что эта точная последовательность расщепляется; т. е. существует (обязательно полупростая) подалгебра, которая изоморфна полупростому факторному через ограничение фактор-отображения${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ rm {rad}} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ rm {rad}} ({\ mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}}).}$

Аналогичное понятие - это борелевская подалгебра , которая является (не обязательно единственной) максимальной разрешимой подалгеброй.

Определение [ править ]

Позвольте быть поле и пусть быть конечномерной алгеброй Ли над . Существует единственный максимальный разрешимый идеал, называемый радикалом, по следующей причине.${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k}$

Во-первых, пусть и будет два разрешимых идеала . Тогда это снова идеал , и он разрешим, потому что он является продолжением by . Теперь рассмотрим сумму всех разрешимых идеалов . Он непустой, поскольку является разрешимым идеалом, и это разрешимый идеал в силу только что выведенного свойства суммы. Ясно, что это единственный максимальный разрешимый идеал.${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}\simeq {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \{0\}}$

Понятия, связанные с данным [ править ]

• Алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда ее радикал является полупростым .${\displaystyle 0}$
• Алгебра Ли редуктивна тогда и только тогда, когда ее радикал равен ее центру.

См. Также [ править ]

• Разложение Леви

Ссылки [ править ]