Редуктивная алгебра Ли

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Редуктивная алгебра Ли»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , алгебра Ли является восстановительное , если ее присоединенное представление является вполне приводимым , откуда и название. Более конкретно, алгебра Ли редуктивной , если она является прямой суммой из полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли : существуют альтернативные характеризации, приведенные ниже.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {s}} \ oplus {\ mathfrak {a}};}$

Примеры [ править ]

Самый основной примером является алгеброй Ли из матриц с коммутатором в качестве скобки Ли, или более абстрактно как эндоморфизмы алгебры с п - мерного векторным пространства , Это алгебра Ли линейной группы GL ( п ), и является восстановительным поскольку он разлагается в соответствии с бесследовыми матрицами и скалярными матрицами .${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V).}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus {\ mathfrak {k}},}$

Любая полупростая алгебра Ли или абелевая алгебра Ли является подавно восстановительной.

Над действительными числами компактные алгебры Ли редуктивны.

Определения [ править ]

Алгебра Ли над полем характеристики 0 называется редуктивной, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

1. Присоединенное представление (действие с помощью брекет) из является вполне приводимым (а прямая сумма неприводимых представлений).${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$
2. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ допускает точное, вполне приводимое конечномерное представление.
3. Радикал из равного центра:${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {r}} ({\ mathfrak {g}}) = {\ mathfrak {z}} ({\ mathfrak {g}}).}$

   Радикал всегда содержит центр, но не обязательно равен ему.

4. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$является прямой суммой полупростого идеала и его центра${\ displaystyle {\ mathfrak {s}} _ {0}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {z}} ({\ mathfrak {g}}):}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$

   Сравните с разложением Леви , которое раскладывает алгебру Ли как ее радикал (который разрешим, а не абелев в общем) и подалгебру Леви (которая полупроста).

5. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$является прямой суммой полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли :${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}.}$
6. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ представляет собой прямую сумму простых идеалов: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\textstyle {\sum {\mathfrak {g}}_{i}}.}$

Некоторые из этих эквивалентностей легко увидеть. Например, центр и радикал есть, в то время как если радикал равен центру, разложение Леви дает разложение. Кроме того, простые алгебры Ли и тривиальная одномерная алгебра Ли являются первичными идеалами.${\displaystyle {\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}},}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

Свойства [ править ]

Редуктивные алгебры Ли являются обобщением полупростых алгебр Ли и имеют много общих свойств с ними: многие свойства полупростых алгебр Ли зависят только от того факта, что они редуктивны. Следует отметить, что унитарная трюк из Вейля работ для редуктивных алгебр Ли.

Связанные редуктивные группы Ли представляют значительный интерес: программа Ленглендса основана на предпосылке, что то, что делается для одной редуктивной группы Ли, должно быть сделано для всех. ^{[ требуется разъяснение ]}

Пересечение редуктивных алгебр Ли и разрешимых алгебр Ли является в точности абелевыми алгебрами Ли (в отличие от пересечения полупростых и разрешимых алгебр Ли тривиально).

Внешние ссылки [ править ]

• Алгебра Ли, редуктивная , А. Л. Онищик, в энциклопедии математики, ISBN  1-4020-0609-8 , SpringerLink