В прикладной математике сжатые сфероидальные волновые функции (например, вытянутые сфероидальные волновые функции и другие связанные функции [1] ) участвуют в решении уравнения Гельмгольца в сжатых сфероидальных координатах . Решая это уравнение,, методом разделения переменных, , с участием:
решение можно записать как произведение радиальной сфероидальной волновой функции и угловая сфероидальная волновая функция от . Здесь, с участием - межфокусное расстояние эллиптического поперечного сечения сплюснутого сфероида .
Радиальная волновая функция удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению :
- .
Угловая волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:
- .
Это то же дифференциальное уравнение, что и в случае радиальной волновой функции. Однако диапазон радиальной координаты отличается от угловой координаты .
Собственное значение задачи Штурма-Лиувилля фиксируется требованием, чтобы быть конечным для .
Для эти два дифференциальных уравнения сводятся к уравнениям, которым удовлетворяют соответствующие полиномы Лежандра . Дляугловые сфероидальные волновые функции могут быть разложены в ряд функций Лежандра. Такие разложения рассматривал Мюллер. [2]
Приведенные выше дифференциальные уравнения для сжатых радиальных и угловых волновых функций могут быть получены из соответствующих уравнений для вытянутых сфероидальных волновых функций путем замены для а также для . Обозначения для сжатых сфероидальных функций отражают эту взаимосвязь.
Существуют разные схемы нормализации сфероидальных функций. Таблицу различных схем можно найти у Абрамовица и Стегуна. [3] Абрамовиц и Стегун (и настоящая статья) следуют обозначениям Фламмера. [4]
Первоначально сфероидальные волновые функции были введены К. Нивеном [5], что привело к уравнению Гельмгольца в сфероидальных координатах. Монографии, связывающие воедино многие аспекты теории сфероидальных волновых функций, были написаны Стрэттом [6] Стрэттоном и др., [7] Мейкснером и Шафке [8] и Фламмером. [4]
Фламмер [4] провел подробное обсуждение расчета собственных значений, угловых волновых функций и радиальных волновых функций как для сжатого, так и для вытянутого случая. Компьютерные программы для этой цели были разработаны многими, в том числе Ван Буреном и др., [9] Кингом и Ван Бюреном, [10] Байером и др., [11] Чжан и Джин, [12] и Томпсоном. [13] Ван Бурен недавно разработал новые методы для вычисления сфероидальных волновых функций, которые расширяют возможности получения числовых значений до чрезвычайно широкого диапазона параметров. Эти результаты основаны на более ранних работах по вытянутым сфероидальным волновым функциям. [14] [15] Исходный код Fortran, сочетающий новые результаты с традиционными методами, доступен на http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .
Таблицы численных значений сплюснутых сфероидальных волновых функций приведены в Flammer, [4], Hanish et al., [16] [17] [18] и Van Buren et al. [19]
Асимптотические разложения угловых сжатых сфероидальных волновых функций для больших значений были выведены Мюллером [20] также аналогично для вытянутых сфероидальных волновых функций. [21]
Цифровая библиотека математических функций http://dlmf.nist.gov, предоставленная NIST, является отличным ресурсом для сфероидальных волновых функций.
Рекомендации
- ^ Ф. М. Арскотт, Периодические дифференциальные уравнения , Pergamon Press (1964).
- ^ HJW Müller, Asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen und ihre Verwandtschaft mit Kugelfunktionen , Z. angew. Математика. Мех. 44 (1964) 371-374, Über asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen , Z. angew. Математика. Мех. 45 (1965) 29-36.
- ^ . М. Абрамовиц и И. Стегун. Справочник по математическим функциям, стр. 751-759 (Довер, Нью-Йорк, 1972).
- ^ a b c d C. Фламмер. Сфероидальные волновые функции Stanford University Press, Стэнфорд, Калифорния, 1957 г.
- ^ К. Нивен о теплопроводности в эллипсоидах вращения. Философские труды Лондонского королевского общества, 171 с. 117 (1880)
- ^ MJO Strutt. Lamesche, Mathieusche и Verdandte Funktionen в Physik und Technik Ergebn. Математика. u. Гренцеб, 1 , стр. 199-323, 1932 г.
- ^ JA Stratton, Морс, JL Чу, и FJ Corbató. Сфероидальные волновые функции Wiley, New York, 1956.
- ^ J. Meixner и FW Schafke. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen Springer-Verlag, Берлин, 1954 г.
- ^ А. Л. Ван Бурен, Р. В. Байер и С. Ханиш Компьютерная программа на Фортране для вычисления сжатых сфероидальных радиальных функций первого и второго рода и их первых производных. (1970)
- ^ BJ King и AL Van Buren Компьютерная программа на языке Fortran для вычисления вытянутых и сжатых сфероидальных угловых функций первого типа и их первой и второй производных. (1970)
- ^ RV Baier, AL Van Buren, S. Hanish, BJ King - Сфероидальные волновые функции: их использование и оценка Журнал Акустического общества Америки, 48 , стр. 102–102 (1970)
- ^ С. Чжан и Дж. Цзинь. Вычисление специальных функций , Wiley, New York, 1996.
- ^ WJ Thomson Сфероидальные волновые функции. Архивировано 16 февраля 2010 г. в Wayback Machine Computing in Science & Engineering p. 84, май – июнь 1999 г.
- ^ А. Л. Ван Бурен и Дж. Э. Бойсверт. Точный расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций первого рода и их первых производных , Quarterly of Applied Mathematics 60 , pp. 589-599, 2002
- ^ А. Л. Ван Бурен и Дж. Э. Бойсверт. Улучшенное вычисление вытянутых сфероидальных радиальных функций второго рода и их первых производных , Quarterly of Applied Mathematics 62 , pp. 493-507, 2004
- ^ S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren и BJ King Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 4, сжатый, m = 0 (1970)
- ^ S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren и BJ King Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 5, сжатый, m = 1 (1970)
- ^ S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren и BJ King Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 6, сжатый, m = 2 (1970)
- ^ А.Л. Ван Бурен, Б.Дж. Кинг, Р.В. Байер и С. Ханиш. Таблицы угловых сфероидальных волновых функций, т. 2, сжатый, m = 0 , Морская исследовательская лаборатория. Публикация, правительство США. Типография, 1975 г.
- ^ HJW Müller, Асимптотические разложения сжатых сфероидальных волновых функций и их характеристических чисел , J. Reine angew. Математика. 211 (1962) 33 - 47
- ^ HJW Müller, Асимптотические разложения выпуклых спероидальных волновых функций и их характеристических чисел , J. Reine angw. Математика. 212 (1963) 26 - 48
Внешние ссылки
- MathWorld Сфероидальные волновые функции
- MathWorld Вытягивающая сфероидальная волновая функция
- MathWorld Сжатая сфероидальная волновая функция