Вытянутым сфероидальных волновые функции являются собственными функциями лапласиана в вытянутых сфероидальных координатах, предназначенный для граничных условий на некоторых эллипсоидов вращения (эллипс вращается вокруг своей продольной оси, «сигара формы«). С ними связаны сплюснутые сфероидальные волновые функции (эллипсоид в форме блинов). [1]
Решения волнового уравнения
Решите уравнение Гельмгольца ,, методом разделения переменных в вытянутых сфероидальных координатах ,, с участием:
а также , , а также . Здесь,- межфокусное расстояние эллиптического поперечного сечения вытянутого сфероида. Параметр, решение можно записать как произведение , радиальная сфероидальная волновая функция и угловая сфероидальная волновая функция .
Радиальная волновая функция удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению :
Угловая волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:
Это то же дифференциальное уравнение, что и в случае радиальной волновой функции. Однако диапазон переменной другой: в радиальной волновой функции, а в угловой волновой функции . Собственное значениезадачи Штурма-Лиувилля фиксируется требованием, чтобы должен быть конечным для .
Для оба дифференциальных уравнения сводятся к уравнениям, которым удовлетворяют соответствующие полиномы Лежандра . Дляугловые сфероидальные волновые функции могут быть разложены в ряд функций Лежандра.
Если кто-то пишет , функция удовлетворяет:
которое известно как уравнение сфероидальной волны . Это вспомогательное уравнение было использовано Страттоном. [2]
Сигналы с ограничением диапазона
При обработке сигналов вытянутые сфероидальные волновые функции (PSWF) полезны как собственные функции операции ограничения по времени, за которой следует фильтр нижних частот. Позволять обозначают оператор усечения времени, такой, что если и только если имеет поддержку . Аналогично пусть обозначают идеальный оператор фильтрации нижних частот, такой, что тогда и только тогда, когда его преобразование Фурье ограничено. Оператороказывается линейным, ограниченным и самосопряженным . Для мы обозначаем через в -я собственная функция , определяемая как
где - соответствующие собственные значения, а является константой. Ограниченные по диапазону функции - вытянутые сфероидальные волновые функции, пропорциональные введено выше. [3] (См. Также Проблема спектральной концентрации .)
Новаторские работы в этой области были выполнены Слепяном и Поллаком [4] Ландау и Поллаком [5] [6] и Слепяном. [7] [8]
Вытянутые сфероидальные волновые функции, область которых представляет собой (часть) поверхности единичной сферы, в более общем смысле называются «Слепианскими функциями». [9] Они очень полезны в таких дисциплинах, как геодезия [10] или космология. [11]
Техническая информация и история
Существуют разные схемы нормализации сфероидальных функций. Таблицу различных схем можно найти у Абрамовица и Стегуна [12], которые следуют обозначениям Фламмера. [13] цифровая библиотека математических функций , предоставляемых NIST является отличным ресурсом для сфероидальных волновых функций.
Таблицы численных значений сфероидальных волновых функций приведены у Фламмера [13] Хантера, [14] [15] Ханиша и др., [16] [17] [18] и Ван Бурена и др. [19]
Первоначально сфероидальные волновые функции были введены К. Нивеном [20], что привело к уравнению Гельмгольца в сфероидальных координатах. Монографии, связывающие воедино многие аспекты теории сфероидальных волновых функций, были написаны Стрэттом [21] Стрэттоном и др., [22] Мейкснером и Шафке [23] и Фламмером. [13]
Фламмер [13] провел подробное обсуждение расчета собственных значений, угловых волновых функций и радиальных волновых функций как для вытянутого, так и для сжатого случая. Компьютерные программы для этой цели были разработаны многими, включая Кинга и др., [24] Патца и Ван Бурена, [25] Байера и др., [26] Чжана и Джина, [27] Томпсона [28] и Фаллуна. [29] Ван Бурен и Бойсверт [30] [31] недавно разработали новые методы для вычисления вытянутых сфероидальных волновых функций, которые расширяют возможность получения числовых значений до чрезвычайно широкого диапазона параметров. Исходный код Fortran, сочетающий новые результаты с традиционными методами, доступен на http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .
Асимптотические разложения угловых вытянутых сфероидальных волновых функций при больших значениях были выведены Мюллером. [32] Он также исследовал связь между асимптотическими разложениями сфероидальных волновых функций. [33] [34]
Рекомендации
- ^ Ф. М. Арскотт, Периодические дифференциальные уравнения , Pergamon Press (1964).
- ^ JA Stratton Сфероидальные функции Труды Национальной академии наук (США) 21 (1935) 51.
- ^ « 30.15 Сфероидальные волновые функции - анализ сигналов » . Электронная библиотека математических функций . NIST . Проверено 20 мая 2021 года .
- ^ Д. Слепян и Х.О. Поллак, Выпуклые сфероидальные волновые функции, анализ Фурье и неопределенность - I , Bell System Technical Journal 40 (1961) 43.
- ^ HJ Ландау и Х.О. Поллак, Выпуклые сфероидальные волновые функции, анализ Фурье и неопределенность - II , Bell System Technical Journal 40 (1961) 65.
- ^ HJ Ландау и Х.О. Поллак. Вытянутые сфероидальные волновые функции, анализ Фурье и неопределенность - III: измерение пространства сигналов , существенно ограниченных по времени и диапазону , Bell System Technical Journal 41 (1962) 1295.
- ^ D. Слепиан Вытянутые сфероидальные волновые функции, анализ Фурье и неопределенность - IV: Расширения на многие измерения; Обобщенные выпуклые сфероидальные функции , Bell System Technical Journal 43 (1964) 3009-3057
- ^ Д. Слепян. Вытянутые сфероидальные волновые функции, анализ Фурье и неопределенность - V: дискретный случай , Bell System Technical Journal 57 (1978) 1371.
- ↑ FJ Simons, MA Wieczorek и FA Dahlen. Пространственно-спектральная концентрация на сфере . SIAM Review 48 (+2006) 504-536, DOI : 10,1137 / S0036144504445765
- ^ FJ Саймонс и Ф.А. Дален, Сферические функции Слепяна и полярный разрыв в геодезии , Международный геофизический журнал 166 (2006) 1039–1061. DOI : 10.1111 / j.1365-246X.2006.03065.x
- ^ FA Dahlen и FJ Simons, Спектральная оценка на сфере в геофизике и космологии . Международный геофизический журнал 174 (2008) 774–807. DOI : 10.1111 / j.1365-246X.2008.03854.x
- ^ М. Абрамовиц и И. Стегун, Справочник по математическим функциям, стр. 751-759 (Довер, Нью-Йорк, 1972)
- ^ a b c d К. Фламмер, Сфероидальные волновые функции , Издательство Стэнфордского университета, Стэнфорд, Калифорния, 1957.
- ^ Hunter Таблицы вытянутых сфероидальных функций для m = 0: Том I. (1965)
- ^ HE Hunter Таблицы вытянутых сфероидальных функций для m = 0: Том II. (1965)
- ^ S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren и BJ King Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 1, вытянутый, m = 0 (1970)
- ^ S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren и BJ King Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 2, вытянутый, m = 1 (1970)
- ^ S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren и BJ King Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 3, вытянутый, m = 2 (1970)
- ^ А.Л. Ван Бурен, Б.Дж. Кинг, Р.В. Байер и С. Ханиш. Таблицы угловых сфероидальных волновых функций, т. 1, вытянутый, m = 0 , Naval Research Lab. Публикация, правительство США. Типография, 1975 г.
- ^ К. Нивен О проводимости тепла в эллипсоидах вращения , Философские труды Лондонского королевского общества, 171 (1880) 117.
- ^ MJO Strutt. Lamesche, Mathieusche и Verwandte Funktionen in Physik und Technik , Ergebn. Математика. u. Гренцгеб, 1 (1932) 199-323.
- ^ JA Stratton, Морс, JL Чу, и FJ Corbató. Сфероидальные волновые функции Wiley, New York, 1956.
- ^ J. Meixner и FW Schafke. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen , Springer-Verlag, Берлин, 1954 г.
- ^ BJ King, RV Baier и S Hanish Компьютерная программа на языке Fortran для вычисления вытянутых сфероидальных радиальных функций первого и второго рода и их первых производных. (1970)
- ^ BJ Patz и AL Van Buren Компьютерная программа на Фортране для вычисления вытянутых сфероидальных угловых функций первого рода. (1981)
- ^ RV Baier, AL Van Buren, S. Hanish, BJ King - Сфероидальные волновые функции: их использование и оценка Журнал Акустического общества Америки, 48 (1970) 102.
- ^ С. Чжан и Дж. Цзинь. Вычисление специальных функций , Wiley, New York, 1996.
- ^ WJ Thomson Сфероидальные волновые функции. Архивировано 16 февраля 2010 г. в Wayback Machine Computing in Science & Engineering p. 84, май – июнь 1999 г.
- ^ Тезис PE Falloon по численному вычислению сфероидальных функций. Архивировано 11 апреля 2011 годавУниверситете Wayback Machine в Западной Австралии, 2002 г.
- ^ А. Л. Ван Бурен и Дж. Э. Бойсверт. Точный расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций первого рода и их первых производных , Quarterly of Applied Mathematics 60 (2002) 589-599.
- ^ А. Л. Ван Бурен и Дж. Э. Бойсверт. Улучшенное вычисление вытянутых сфероидальных радиальных функций второго рода и их первых производных , Quarterly of Applied Mathematics 62 (2004) 493-507.
- ^ HJW Мюллер, Асимптотические разложения вытянутых сфероидальных волновых функций и их характеристических чисел , J. Reine u. Angew. Математика. 212 (1963) 26-48.
- ^ HJW Müller, Asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen und ihre Verwandtschaft mit Kugelfunktionen , Z. angew. Математика. Мех. 44 (1964) 371-374.
- ^ HJW Müller, Über asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen , Z. angew. Математика. Мех. 45 (1965) 29-36.
Внешние ссылки
- MathWorld Сфероидальные волновые функции
- MathWorld Вытягивающая сфероидальная волновая функция
- MathWorld Сжатая сфероидальная волновая функция