Наблюдаемость

В теории управления , наблюдаемости является мерой того , насколько хорошо внутренние состояния системы можно вывести из знания своих внешних выходов. Наблюдаемость и управляемость линейной системы двойственны математически . Концепция наблюдаемости была введена венгерско-американским инженером Рудольфом Э. Кальманом для линейных динамических систем. ^{[1] [2]} Динамическая система, предназначенная для оценки состояния системы на основе измерений выходных сигналов, называется наблюдателем состояния или просто наблюдателем для этой системы.

Определение [ править ]

Рассмотрим физическую систему, смоделированную в представлении в пространстве состояний . Система называется наблюдаемой, если для любой возможной эволюции векторов состояния и управления текущее состояние может быть оценено с использованием только информации с выходов (физически это обычно соответствует информации, полученной датчиками ). Другими словами, можно определить поведение всей системы по ее выходным данным. С другой стороны, если система не является наблюдаемой, существуют траектории состояний, которые нельзя различить, измеряя только выходы.

Линейные инвариантные во времени системы [ править ]

Для инвариантных во времени линейных систем в представлении пространства состояний существуют удобные тесты, позволяющие проверить, является ли система наблюдаемой. Рассмотрим систему SISO с переменными состояния ( подробности о системах MIMO см. В пространстве состояний ), задаваемыми формулой ${\ displaystyle n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$

Матрица наблюдаемости [ править ]

Если строка ранг из матрицы наблюдаемости , определяется как

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

равно , то система наблюдаема. Обоснование этого теста состоит в том, что если строки линейно независимы, то каждую из переменных состояния можно просмотреть через линейные комбинации выходных переменных .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$

Понятия, связанные с данным [ править ]

Индекс наблюдаемости [ править ]

Индекс наблюдаемости линейной постоянной дискретной системы - это наименьшее натуральное число, для которого выполняется следующее:, где${\displaystyle v}$${\displaystyle {\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v+1})}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}$

Ненаблюдаемое подпространство [ править ]

Ненаблюдаемо подпространством линейной системы является ядром линейного отображения , заданным ^[3]${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\\\end{aligned}}}$

где - множество непрерывных функций от до . также можно записать как ^[3]${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}}$

Поскольку система наблюдаема тогда и только тогда , система наблюдаема тогда и только тогда, когда является нулевым подпространством. ${\displaystyle \mathop {\mathrm {rank} } ({\mathcal {O}})=n}$${\displaystyle N}$

Действительны следующие свойства ненаблюдаемого подпространства: ^[3]

• ${\displaystyle N\subset Ke(C)}$
• ${\displaystyle A(N)\subset N}$
• ${\displaystyle N=\bigcup {\{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}}}$

Обнаруживаемость [ править ]

Несколько слабее , чем понятие наблюдаемости выявляемость . Система обнаруживается, если все ненаблюдаемые состояния стабильны. ^[4]

Условия обнаруживаемости важны в контексте сенсорных сетей . ^{[5] [6]}

Линейные нестационарные системы [ править ]

Рассмотрим непрерывную линейную изменяющуюся во времени систему

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}$

Предположим , что матрицы , и приведены, а также входов и выходов , и для всех , то можно определить с точностью до аддитивной постоянной вектор , который лежит в нулевом пространстве от определяется${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}];}$${\displaystyle x(t_{0})}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\phi (t,t_{0})dt}$

где - матрица переходов между состояниями .${\displaystyle \phi }$

Можно определить уникальный, если он неособый . Фактически, невозможно отличить начальное состояние for от состояния if, находящегося в нулевом пространстве .${\displaystyle x(t_{0})}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}-x_{2}}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

Обратите внимание, что матрица, определенная как указано выше, имеет следующие свойства:${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$является симметричным
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$является неотрицательно для${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ удовлетворяет уравнению

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\phi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\phi (t,t_{0})}$^[7]

Обобщение матрицы наблюдаемости [ править ]

Система наблюдаема в [ , ] тогда и только тогда, когда существует интервал [ , ] в такой, что матрица невырожденная.${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

Если являются аналитическими, то система наблюдаема в интервале [ , ], если существует и положительное целое число k такое, что ^[8]${\displaystyle A(t),C(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle rank{\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&:&\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,}$

где и определяется рекурсивно как${\displaystyle N_{0}(t):=C(t)}$${\displaystyle N_{i}(t)}$

${\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1}$

Пример [ править ]

Рассмотрим систему, аналитически варьирующуюся по матрицам${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}$

Тогда , поскольку эта матрица имеет ранг = 3, система наблюдаема на любом нетривиальном интервале матрицы .${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Нелинейные системы [ править ]

Учитывая систему , . Где вектор состояния, входной вектор и выходной вектор. должны быть гладкими векторными полями.${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}}$${\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle f,g,h}$

Определим пространство наблюдения как пространство, содержащее все повторяющиеся производные Ли , тогда система является наблюдаемой в том и только в том случае, если .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {\textrm {dim}}(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n}$

Примечание: ^[9]${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\mathrm {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .}$

Ранние критерии наблюдаемости в нелинейных динамических системах были открыты Гриффитом и Кумаром ^[10] Коу, Эллиотом и Тарном ^[11] и Сингхом. ^[12]

Статические системы и общие топологические пространства [ править ]

Наблюдаемость также может быть охарактеризована для систем с установившимся состоянием (системы, обычно определяемые в терминах алгебраических уравнений и неравенств) или, в более общем смысле, для наборов . ^{[13] [14]} Так же, как критерии наблюдаемости используются для прогнозирования поведения фильтров Калмана или других наблюдателей в случае динамической системы, критерии наблюдаемости для наборов используются для прогнозирования поведения согласования данных и других статических оценщиков. В нелинейном случае наблюдаемость может быть охарактеризована для отдельных переменных, а также для поведения локальной оценки, а не только для глобального поведения.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

См. Также [ править ]

• Управляемость
• Идентифицируемость
• Государственный наблюдатель
• Пространство состояний (элементы управления)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Наблюдаемость» . PlanetMath .
• Функция MATLAB для проверки наблюдаемости системы
• Функция Mathematica для проверки наблюдаемости системы