Теория ПКФ

Теория PCF является именем математической теории, введенного Сахароном Шелами ( 1978 ), которая имеет дело с конфинальностью из ультрапроизведений из упорядоченных множеств . Это дает сильные ограничения сверху на мощностях мощности множеств в особых кардиналы , и имеет гораздо больше приложений , а также. Аббревиатура «PCF» означает «возможные варианты ».

Основные определения [ править ]

Если A - бесконечное множество регулярных кардиналов , D - ультрафильтр на A , то мы обозначаем конфинальность упорядоченного набора функций, где порядок определяется следующим образом. если . pcf ( A ) - это набор конфинальностей, которые возникают, если мы рассматриваем все ультрафильтры на A , то есть${\ Displaystyle cf (\ prod A / D)}$${\ displaystyle \ prod A}$${\ displaystyle f <g}$${\ Displaystyle \ {х \ в А: е (х) <г (х) \} \ в D}$

${\ displaystyle {\ rm {pcf}} (A) = \ {cf (\ prod A / D): D \, \, {\ mbox {- ультрафильтр на}} \, \, A \}.}$

Основные результаты [ править ]

Очевидно, pcf ( A ) состоит из обычных кардиналов. Рассматривая ультрафильтры, сконцентрированные на элементах A , мы получаем это . Шела доказано, что если , то PCF ( ) имеет наибольший элемент, и существуют подмножества из таким образом, что для каждого ультрафильтра D на А , является наименьшим элементом θ из PCF ( А ) таким образом, что . Следовательно, . Шелах также доказал, что если A - интервал регулярных кардиналов (т. Е. A - множество всех регулярных кардиналов между двумя кардиналами), то pcf ( A ) также является интервалом регулярных кардиналов и | pcf (${\ Displaystyle А \ substeq {\ rm {pcf}} (А)}$${\ Displaystyle | А | <\ мин (А)}$${\ displaystyle \ {B _ {\ theta}: \ theta \ in {\ rm {pcf}} (A) \}}$${\ Displaystyle cf (\ prod A / D)}$${\ displaystyle B _ {\ theta} \ in D}$${\ displaystyle | {\ rm {pcf}} (A) | \ leq 2 ^ {| A |}}$А ) | <| А | ⁺⁴ . Отсюда следует известное неравенство

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}<\aleph _{\omega _{4}}}$

предполагая, что ℵ _ω - сильный предел .

Если λ представляет собой бесконечный кардинал, то J _<λ является следующим идеалом на A . В ∈ J _<λ , если имеет место для любого ультрафильтра D с B ∈ D . Тогда J _<λ - идеал, порожденный множествами . Существуют шкалы , т. Е. Для каждого λ∈pcf ( A ) существует последовательность длины λ элементов, у которой как возрастающие, так и конфинальные mod J _<λ . Отсюда следует, что конфинальность поточечного доминирования равна max (pcf ( A${\displaystyle cf(\prod A/D)<\lambda }$${\displaystyle \{B_{\theta }:\theta \in {\rm {pcf}}(A),\theta <\lambda \}}$${\displaystyle \prod B_{\lambda }}$${\displaystyle \prod A}$)). Другое следствие состоит в том, что если λ сингулярно и никакой регулярный кардинал, меньший чем λ, является Йонссоном , то и λ ⁺ не является Йонссоном. В частности, на ℵ _{ω + 1} существует алгебра Йонссона , которая разрешает старую гипотезу.

Нерешенные проблемы [ править ]

Самая известная гипотеза в теории pcf гласит, что | pcf ( A ) | = | А | выполняется для любого множества A регулярных кардиналов с | А | <мин ( А ). Это означало бы, что если ℵ _ω - сильный предел, то точная оценка

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}<\aleph _{\omega _{1}}}$

держит. Аналогичная оценка

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega _{1}}}<\aleph _{\omega _{2}}}$

следует из гипотезы Чанга ( Магидор ) или даже из отсутствия дерева Курепы ( Шела ).

Более слабая, до сих пор нерешенная гипотеза гласит, что если | A | <min ( A ), то pcf ( A ) не имеет недоступной предельной точки. Это эквивалентно утверждению, что pcf (pcf ( A )) = pcf ( A ).

Приложения [ править ]

Теория нашла множество приложений, помимо кардинальной арифметики. Оригинальный обзор Шелаха, Кардинальная арифметика для скептиков , включает следующие темы: почти свободные абелевы группы, проблемы разбиения, несоблюдение цепных условий в булевых алгебрах при произведениях, существование алгебр Йонссона, существование запутанных линейных порядков, эквивалентно узкие булевы алгебры и существование неизоморфных моделей, эквивалентных в некоторых инфинитарных логиках.

Между тем, многие другие приложения были найдены в теории множеств, теории моделей, алгебре и топологии.

Ссылки [ править ]

• Сахарон Шелах, Кардинальная арифметика , Oxford Logic Guides, т. 29. Oxford University Press, 1994.

Внешние ссылки [ править ]

• Менахем Койман: теория ПКФ
• Сала, Saharon (1978), "Йонссон алгебры в правопреемниками кардиналами", Израиль Журнал математики , 30 (1): 57-64, DOI : 10.1007 / BF02760829 , MR  0505434
• Шелах, Сахарон (1992), «Кардинальная арифметика для скептиков», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 26 (2): 197–210, arXiv : math / 9201251 , doi : 10.1090 / s0273-0979-1992-00261 -6 , Руководство по ремонту  1112424