Функция распределения пар

Функция распределения пар описывает распределение расстояний между парами частиц, содержащихся в данном объеме. ^[1] Математически, если a и b - две частицы в жидкости, функция парного распределения b относительно a , обозначенная как, является вероятностью нахождения частицы b на расстоянии от a , с a, взятым в качестве начала координат .${\ displaystyle g_ {ab} ({\ vec {r}})}$${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Обзор [ править ]

Функция парного распределения используется для описания распределения объектов в среде (например, апельсинов в ящике или молекул азота в газовом баллоне). Если среда однородна (т.е. каждое пространственное местоположение имеет идентичные свойства), тогда существует равная плотность вероятности для нахождения объекта в любом месте :${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

${\ Displaystyle р ({\ vec {r}}) = 1 / V}$,

где - объем контейнера. С другой стороны, вероятность обнаружения пар объектов в заданных положениях (то есть плотность вероятности двух тел) неоднородна. Например, пары твердых шаров должны быть разделены по крайней мере диаметром шара. Функция распределения пар получается путем масштабирования функции плотности вероятности двух тел по общему количеству объектов и размеру контейнера:${\ displaystyle V}$${\ displaystyle g ({\ vec {r}}, {\ vec {r}} ')}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle g ({\ vec {r}}, {\ vec {r}} ') = p ({\ vec {r}}, {\ vec {r}}') V ^ {2} {\ frac {N-1} {N}}}$.

В общем случае, когда количество объектов в контейнере велико, это упрощает предоставление:

${\ displaystyle g ({\ vec {r}}, {\ vec {r}} ') \ приблизительно p ({\ vec {r}}, {\ vec {r}}') V ^ {2}}$.

Простые модели и общие свойства [ править ]

Простейшая возможная функция распределения пар предполагает, что все местоположения объектов взаимно независимы, что дает:

${\ Displaystyle г ({\ vec {r}}) = 1}$,

где расстояние между парой объектов. Однако это неточно в случае твердых объектов, как обсуждалось выше, поскольку не учитывается минимальное расстояние, требуемое между объектами. Приближение поправки на отверстие (HC) дает лучшую модель:${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

${\displaystyle g(r)={\begin{cases}0,&r<b,\\1,&r\geq {}b\end{cases}},}$

где - диаметр одного из объектов.${\displaystyle b}$

Хотя приближение HC дает разумное описание редкоупакованных объектов, оно не подходит для плотной упаковки. Это можно проиллюстрировать на примере коробки, полностью заполненной одинаковыми твердыми шарами, так что каждый шар касается своих соседей. В этом случае каждая пара шаров в коробке отделена на расстоянии точно , где это положительное целое число. Таким образом, парное распределение для объема, полностью заполненного твердыми сферами, представляет собой набор дельта-функций Дирака вида:${\displaystyle r=nb}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle g(r)=\sum \limits _{i}\delta (r-ib)}$.

Наконец, можно отметить, что пара объектов, разделенных большим расстоянием, не влияет на положение друг друга (при условии, что контейнер не полностью заполнен). Следовательно,

${\displaystyle \lim \limits _{r\to \infty }g(r)=1}$.

В общем, функция распределения пар будет принимать форму где-то между моделями с редкой упаковкой (приближение HC) и моделями с плотной упаковкой (дельта-функция), в зависимости от плотности упаковки .${\displaystyle f}$

Функция радиального распределения [ править ]

Особое практическое значение имеет функция радиального распределения , не зависящая от ориентации. Это главный дескриптор атомной структуры аморфных материалов (стекла, полимеры) и жидкостей. Функция радиального распределения может быть рассчитана непосредственно из физических измерений, таких как рассеяние света или дифракция рентгеновских лучей на порошке, путем выполнения преобразования Фурье .

В статистической механике PDF определяется выражением

${\displaystyle g_{ab}(r)={\frac {1}{N_{a}N_{b}}}\sum \limits _{i=1}^{N_{a}}\sum \limits _{j=1}^{N_{b}}\langle \delta (\vert \mathbf {r} _{ij}\vert -r)\rangle }$

Приложения [ править ]

Функция распределения пар тонких пленок [ править ]

Когда тонкие пленки неупорядочены, как в электронных устройствах, парное распределение используется для просмотра деформации и структурных свойств этого материала или композиции. У них есть эти свойства, которые нельзя использовать в объемной или кристаллической форме. Существует метод с радиальным распределением, который позволяет просматривать локальную структуру неупорядоченной тонкой пленки GeSe2, но создатели этого метода назвали потребность в лучшем методе для просмотра среднего порядка неупорядоченных пленок. Создание тонкопленочной функции распределения пар (tfPDF) использует статистическое распределение среднего порядка материала, что позволяет просматривать важные детали, такие как беспорядок. В этом методе двумерные данные из метода рассеяния интегрируются, и Фурье преобразуется в одномерные данные, которые показывают вероятность связей в этом материале.TfPDF лучше всего работает в сочетании с другими методами характеризации, такими как просвечивающая электронная микроскопия. Хотя tfPDF является развивающейся методологией, она может дать полные взаимосвязи между структурой и свойством с помощью надежной техники описания.

См. Также [ править ]

• метод гиперсетевых цепочек классических карт

Ссылки [ править ]

Фишер-Колбри, Биненшток, Фуосс, Маркус. Phys. Ред. B (1988) 38, 12388

Дженсен, К.М., Биллинге, С.Дж. (2015). IUCrJ, 2 (5), 481-489.