Параллельный (оператор)

Графическая интерпретация параллельного оператора с .

{\ displaystyle a \ parallel b = c}

Оператор параллелизма (также известный как сокращенная сумма , параллельная сумма или параллельное сложение ) (произносится как «параллельный», ^[1] после обозначения параллельных линий из геометрии ^[2]^[3] ) - это математическая функция, которая используется в качестве сокращения в электротехника , ^[4]^[5]^[6]^{[nb 1],} но также используется в кинетике , механике жидкости и финансовой математике . ^[7]^[8] ${\ displaystyle \ |}$

Обзор [ править ]

Оператор параллелизма представляет собой обратное значение суммы обратных значений (иногда также называемое «обратной формулой») и определяется следующим образом: ^[9]^[6]^[10]^[11]

{\begin{aligned}{}\parallel {}:&&{\overline {\mathbb {C} }}\times {\overline {\mathbb {C} }}&\to {\overline {\mathbb {C} }}\\&&(a,b)&\mapsto a\parallel b={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}={\frac {ab}{a+b}},\end{aligned}}

с будучи расширенные комплексные числа (с соответствующими правилами). ^[12]^[^{требуется пояснение}^] Более поздняя форма иногда также упоминается как «произведение над суммой». ${\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

Оператор дает половину гармонического среднего двух чисел a и b . ^[7]^[8]

В частном случае для : $a\in {\overline {\mathbb {C} }}$

a\parallel a={\frac {a}{2}}

.

Далее для всех : $a,b\in {\overline {\mathbb {C} }}$

a\neq b\iff {\big |}a\parallel b{\big |}>{\frac {1}{2}}\min(|a|,|b|)

с , представляющий абсолютное значение из . ${\big |}a\parallel b{\big |}$ $a\parallel b$

С и быть положительные действительные числа следующим образом . $a$ $b$ ${\big |}a\parallel b{\big |}<\min(a,b)$

Концепция была расширена от скалярной операции до матриц ^[13]^[14]^[15]^[16]^[17] и далее обобщена . ^[18]

Обозначение [ править ]

Оператор был первоначально введен как приведенная сумма Сундарамом Сешу в 1956 году, ^[19]^[20]^[13] как оператор изучен ∗Кентом Эриксоном в 1959 году, ^[21]^[22]^[13] и популяризирован Ричардом Джеймсом Даффином и Уильям Найлс Андерсон младший в качестве оператора параллельного сложения или параллельной суммы: в математике и теории сетей с 1966 года. ^[14]^[15]^[1] Хотя некоторые авторы продолжают использовать этот символ до настоящего времени, ^[7]^[8] для Например, Суджит Кумар Митра использовал∙как символ в 1970. ^[13] В прикладной электронике , ∥знак стал более распространенным , как символ оператора позже. ^[23]^[24]^[25]^[26]^{[nb 1]}^{[nb 2]} Это часто записывалось как удвоенная вертикальная линия (||), доступная в большинстве наборов символов , но теперь может быть представлена с помощью символа Unicode U + 2225 ( ∥) для «параллельно». В LaTeX и родственных языках разметки макросы \|и \parallelчасто используются для обозначения символа оператора.

Правила [ править ]

Для того , параллельный оператор следует коммутативному закону :

a\parallel b=b\parallel a

и ассоциативный закон : ^[12]^[7]^[8]

(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}}

Умножение распространяется на эту операцию. ^[1]^[7]^[8]

Кроме того, параллельный оператор имеет в качестве нейтрального элемента , а для числа в качестве обратного элемента . Однако это не абелева группа , как для любого ненулевого $a$ , и она не определена должным образом ( неопределенная форма ). $\infty$ $a\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\},$ $-a$ $\left({\overline {\mathbb {C} }},\parallel \right)$ $a\parallel 0=0$ $0\parallel 0$

В отсутствие круглых скобок параллельный оператор определяется как имеющий приоритет над сложением или вычитанием. ^[1]^[27]^[9]^[10]

Приложения [ править ]

В электротехнике параллельный оператор может использоваться для расчета полного сопротивления различных последовательных и параллельных электрических цепей. ^{[nb 2]}

Например, общее сопротивление из резисторов , соединенных параллельно , является обратной величиной суммы обратных отдельных резисторов .

{\frac {1}{R_{\text{eq}}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}

.

То же самое для общей емкости последовательных конденсаторов . ^{[nb 2]}

Тот же принцип может быть применен к различным задачам в других дисциплинах.

Существует двойственность между обычной (серийной) суммой и параллельной суммой. ^[7]^[8]

Примеры [ править ]

Вопрос:

Три резистора , и соединены параллельно . Каково их результирующее сопротивление?

R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega }

R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega }

R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega }

Отвечать:

R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}=270\,\mathrm {k\Omega } \parallel 180\,\mathrm {k\Omega } \parallel 120\,\mathrm {k\Omega } ={\frac {1}{{\frac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\frac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\frac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\approx 56.84\,\mathrm {k\Omega }

Эффективное сопротивление составляет ок. 57 к Ω .

Вопрос: ^[7]^[8]

Строитель поднимает стену за 5 часов. Другому рабочему потребуется 7 часов на ту же работу. Сколько времени нужно, чтобы построить стену, если оба рабочих работают параллельно?

Отвечать:

t_{1}\parallel t_{2}=5\,\mathrm {h} \parallel 7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\frac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\frac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2.92\,\mathrm {h}

Они закончатся примерно за 3 часа.

Реализация [ править ]

WP 34S с параллельным оператором ( ∥) на клавише g+ ÷.

Предложенный еще Кентом Эриксоном в качестве подпрограммы в цифровых компьютерах в 1959 г. ^[21], параллельный оператор реализован как оператор клавиатуры на научных калькуляторах с обратной польской нотацией (RPN) WP 34S с 2008 г. ^[28]^[29]^[30^]^], а также WP 34C ^[31] и WP 43S с 2015 года ^[32]^[33], что позволяет решать даже каскадные проблемы с помощью нескольких нажатий клавиш, например 270↵ Enter180∥120∥.

Заметки [ править ]

^ a b В то время как использование символа ∥ для обозначения «параллельности» в геометрии восходит к 1673 году в работе Джона Керси-старшего , ^[A] он стал более использоваться только примерно с 1875 года. ^[B] Использование символа математический оператор для параллельных цепей происходит от теории сетей в электротехнике . Сундарам Сешу ввел оператор сокращенной суммы в 1956 году, ^[C] Кент Э. Эриксон предложил звездочку (∗) для обозначения оператора в 1959 году, ^{[D] в} то время как Ричард Джеймс Даффини Уильям Найлс Андерсон-младший использовал двоеточие (:) для параллельного сложения с 1966 года. ^[E] Суджит Кумар Митра использовал для этого среднюю точку (∙) в 1970 году. ^[F] Первое использование параллельного символа (∥) поскольку этот оператор в прикладной электронике неизвестен, но, возможно, он произошел из книги Джона У. Маквэйна 1981 года «Введение в электронику и приборы» ^[G], которая выросла из одноименного курса MIT, разработанного как часть его влиятельной технической учебной программы Проектмежду 1974 и 1979. Этот символ, вероятно, также был введен, потому что другие используемые символы можно было легко спутать со знаками, обычно используемыми для умножения и деления в некоторых контекстах.
^ a b c В электрических цепях оператор параллельности может применяться, соответственно, к параллельным сопротивлениям ( R в [Ом]) или индуктивностям ( L в [Г]), а также к импедансам ( Z в [Ом]) или реактивным сопротивлениям ( X в [Ω]). Игнорируя вводящий в заблуждение глиф символа оператора, он также может применяться к последовательным цепям соответственно проводимости ( G в [S]) или емкости ( C в [F]), а также к проводимости (Y в [S]) или восприимчивости ( B в [S]).

Ссылки [ править ]

^ a b c d Даффин, Ричард Джеймс (1971) [1970, 1969]. «Сетевые модели» . Написано в Дареме, Северная Каролина, США. В Уилфе, Герберт Сол ; Харарей, Фрэнк (ред.). Математические аспекты анализа электрических сетей . Труды симпозиума по прикладной математике Американского математического общества и Общества промышленной и прикладной математики, состоявшегося в Нью-Йорке, 1969-04-02 / 03. Том III трудов SIAM-AMS (иллюстрированный ред.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество (AMS) / Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). С. 65–92 [68]. ISBN 0-8218-1322-6. ISSN 0080-5084 . LCCN 79-167683 . ISBN 978-0-8218-1322-5 . Отчет 69-21 . Проверено 5 августа 2019 . pp. 68–69: […] Для удобного сокращения общего сопротивления резисторов, соединенных параллельно, пусть […] A: B = AB / (A + B) […] A: B может рассматриваться как новая операция называется параллельным сложением […] Параллельное сложение определяется для любых неотрицательных чисел. Сетевая модель показывает, что параллельное сложение коммутативно и ассоциативно . Более того, умножение дистрибутивно над этой операцией. Рассмотрим теперь алгебраическое выражение в операциях (+) и (:), работающих с положительными числами A, B, C и т. Д. […] Чтобы дать сетевую интерпретацию такого многочлена, прочтите A + B как «A серия B» и A: B как «A параллель B», тогда ясно, что выражение […] является совместным сопротивлением сети […] [1] [2] (206 стр.)
^ Керси (старший), Джон (1673). «Глава I: Относительно объема этой четвертой книги и значения символов, сокращений и цитат, используемых в ней». Элементы этого математического искусства, обычно называемого алгеброй . Книга IV - Элементы алгебраических искусств. Лондон: Томас Пассинджер, Три Библии, Лондонский мост. С. 177–178. Архивировано 5 августа 2020 года . Проверено 9 августа 2019 .
^ Каджори, Флориан (1993) [сентябрь 1928]. «§ 184, § 359, § 368». История математических обозначений - Обозначения в элементарной математике . 1 (два тома в одном неизмененном переиздании). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . С. 193, 402–403, 411–412 . ISBN 0-486-67766-4. LCCN 93-29211 . Проверено 22 июля 2019 . С. 402–403, 411–412: §359. [...] ∥ для параллельного происходит в Отред «ы Opuscula Mathematica hactenus inedita (1677) [с. 197], посмертное произведение (§ 184) […] §368. Знаки для параллельных линий. […] Когда знак равенства Recorde получил распространение на континенте , вертикальные линии стали использоваться для параллелизма. Мы находим ∥ для «параллели» в Керси , ^[A] Кэсвелл , Джонс , ^[B] Wilson, ^[C] Emerson , ^[D] Kambly, ^[E]и писателей последних пятидесяти лет, которых уже цитировали в связи с другими пиктограммами. Примерно до 1875 года это происходило не так часто […] Холл и Стивенс ^[F] использовали «par ^[F] или ∥» для параллельных […][A] Джон Керси , Алгебра (Лондон, 1673 г.), Книга IV, с. 177.[B] У. Джонс , Synopsis palmarioum matheseos (Лондон, 1706 г.).[C] Джон Уилсон, Тригонометрия (Эдинбург, 1714 г.), объяснение символов.[D] У. Эмерсон , Элементы геометрии (Лондон, 1763 г.), с. 4.[E] Л. Камблы [ де ] , Die Elementar-Mathematik , Часть 2: Planimetrie , 43. издание (Бреслау, 1876 г.), с. 8. […][F] Х. С. Холл и Ф. Х. Стивенс, Элементы Евклида , части I и II (Лондон, 1889 г.), с. 10. […] [3]
^ «INA 326 / INA 327 - Прецизионный инструментальный усилитель ввода / вывода с Rail-to-Rail» (PDF) . Burr-Brown / Texas Instruments . 2018 [ноябрь 2004 г., ноябрь 2001 г.]. С. 3, 9, 13. SBOS222D. Архивировано (PDF) из оригинала 13.07.2019 . Проверено 13 июля 2019 .
^ Бобер, Уильям; Стивенс, Эндрю (2016). «Глава 7.6. Преобразования Лапласа, применяемые к схемам» . Численные и аналитические методы с MATLAB для инженеров-электриков . Прикладная и вычислительная механика (1-е изд.). CRC Press . п. 224. ISBN 978-1-46657607-0. ISBN 1-46657607-3 . (388 стр.)
^ a b Ранаде, Гирея; Стоянович, Владимир, ред. (Осень 2018). «Глава 15.7.2 Параллельные резисторы» (PDF) . EECS 16A Проектирование информационных устройств и систем I (PDF) (конспекты лекций). Калифорнийский университет в Беркли . п. 12. Примечание 15. Архивировано (PDF) из оригинала 27.12.2018 . Проверено 28 декабря 2018 . п. 12: […] Это математическое соотношение возникает достаточно часто, поэтому у него на самом деле есть имя: «параллельный оператор», обозначаемый ∥. Когда мы говорим x∥y, это означает ${\frac {xy}{x+y}}$ . Обратите внимание, что это математический оператор и ничего не говорит о фактической конфигурации. В случае резисторов параллельный оператор используется для параллельных резисторов, но для других компонентов (например, конденсаторов) это не так. […] (16 страниц)
^ a b c d e f g Эллерман, Дэвид Паттерсон (1995-03-21). «Глава 12: Параллельное сложение, последовательно-параллельная двойственность и финансовая математика» . Интеллектуальное вторжение как образ жизни: Очерки философии, экономики и математики (PDF) . Мирская философия: исследования на стыке философии и экономики . G - Справочная, информационная и междисциплинарная серия предметов (иллюстрированное издание). Rowman & Littlefield Publishers, Inc., стр. 237–268. ISBN 0-8476-7932-2. Архивировано (PDF) из оригинала 5 марта 2016 года . Проверено 9 августа 2019 . п. 237: […] Когда резисторы с сопротивлением a и b помещаются последовательно, их составное сопротивление представляет собой обычную сумму (далее сумма серии ) сопротивлений a + b. Если сопротивления размещены параллельно, их составное сопротивление представляет собой параллельную сумму сопротивлений, которая обозначается полным двоеточием […] [4] (271 стр.)
^ a b c d e f g Эллерман, Дэвид Паттерсон (май 2004 г.) [1995-03-21]. «Введение в последовательно-параллельную двойственность» (PDF) . Калифорнийский университет в Риверсайде . CiteSeerX 10.1.1.90.3666 . Архивировано 10 августа 2019 года . Проверено 9 августа 2019 . Параллельная сумма двух положительных действительных чисел x: y = [(1 / x) + (1 / y)] ^-1 возникает в теории электрических цепей как сопротивление, возникающее в результате соединения двух сопротивлений x и y параллельно. Существует двойственность между обычной (серийной) суммой и параллельная сумма. […] [5] (24 страницы)
^ a b Бассо, Кристоф П. (2016). «Глава 1.1.2 Текущий делитель» . Линейные передаточные функции цепи: Введение в быстрые аналитические методы (1-е изд.). Чичестер, Западный Сассекс, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons Ltd. стр. 12. ISBN 978-1-11923637-5. LCCN 2015047967 . Проверено 28 декабря 2018 . (464 стр.)
^ a b Коттер, Нил Э., изд. (2015-10-12) [2014-09-20]. «Поваренная книга ECE1250 - узлы, серии, параллели» (конспект лекций). Поваренные книги. Университет Юты . Архивировано (PDF) из оригинала 20.08.2020 . Проверено 11 августа 2019 . […] Один из удобных способов указать, что два резистора подключены параллельно, - поставить между ними знак ∥. […]
^ Böcker, Joachim (2019-03-18) [апрель 2008]. "Grundlagen der Elektrotechnik Teil B" (PDF) (на немецком языке). Universität Paderborn . п. 12. Архивировано (PDF) из оригинала 17.04.2018 . Проверено 9 августа 2019 . п. 12: Für die Berechnung des Ersatzwiderstands der Parallelschaltung wird […] gern die Kurzschreibweise ∥ benutzt.
^ a b Георг, Отфрид (2013) [1999]. «Глава 2.11.4.3: Aufstellen der Differentialgleichung aus der komplexen Darstellung - MATHCAD Anwendung 2.11-6: Benutzerdefinierte Operatoren» . Elektromagnetische Felder und Netzwerke: Anwendungen in Mathcad und PSpice . Springer-Lehrbuch (на немецком языке) (1-е изд.). Springer-Verlag . С. 246–248. DOI : 10.1007 / 978-3-642-58420-6 . ISBN 978-3-642-58420-6. ISBN 3-642-58420-9 . Проверено 4 августа 2019 . (728 страниц)
^ a b c d Митра, Суджит Кумар (февраль 1970 г.). «Матричная операция для анализа последовательно-параллельных многопортов» . Журнал Института Франклина . Краткое сообщение. Институт Франклина . 289 (2): 167–169. DOI : 10.1016 / 0016-0032 (70) 90302-9 . п. 167: Цель этого сообщения - расширить концепцию скалярной операции «Редуцированная сумма», введенную Сешу […] и позже разработанную Эриксоном.[…] К матрицам, чтобы обрисовать некоторые интересные свойства этой новой матричной операции и применить матричную операцию к анализу последовательных и параллельных n -портовых сетей . Пусть A и B - две невырожденные квадратные матрицы, имеющие обратные , A ⁻¹ и B ⁻¹ соответственно. Определим операцию ∙ как A ∙ B = (A ⁻¹ + B ⁻¹ ) ^−1, а операцию ⊙ как A ⊙ B = A ∙ (−B). Операция ∙ коммутативна и ассоциативна, а также дистрибутивна относительно умножения. […] (3 страницы)
^ a b Даффин, Ричард Джеймс ; Хазони, Дов; Моррисон, Норман Александр (март 1966 г.) [1965-04-12, 1964-08-25]. «Сетевой синтез через гибридные матрицы». Журнал СИАМ по прикладной математике . Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). 14 (2): 390–413. DOI : 10.1137 / 0114032 . JSTOR 2946272 . (24 страницы)
^ a b Андерсон младший, Уильям Найлз; Даффин, Ричард Джеймс (1969) [1968-05-27]. «Последовательное и параллельное сложение матриц». Журнал математического анализа и приложений . Academic Press, Inc. 26 (3): 576–594. DOI : 10.1016 / 0022-247X (69) 90200-5 . п. 576: […] мы определяем параллельную сумму A и B формулой A (A + B) ⁺ B и обозначаем ее A: B. Если A и B неособые, это сводится к A: B = (A ⁻¹ + B ⁻¹ ) ^−1, которая представляет собой хорошо известную электрическую формулу для добавления резисторов, включенных параллельно. Затем показано, что эрмитов полуопределенные матрицы образуют коммутативную частично упорядоченную полугруппу при параллельной операции суммирования. […] [6]
^ Митра, Суджит Кумар; Пури, Мадан Лал (октябрь 1973 г.). «О параллельной сумме и разности матриц» (PDF) . Журнал математического анализа и приложений . Academic Press, Inc. 44 (1): 92–97. DOI : 10.1016 / 0022-247X (73) 90027-9 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 апреля 2019 года.
^ Митра, Суджит Кумар; Бхимасанкарам, Почираджу; Малик, Сародж Б. (2010). Матричные частичные заказы, короткие операторы и приложения . Серия по алгебре. 10 (иллюстрировано 1-е изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. ООО ISBN 978-981-283-844-5. ISBN 981-283-844-9 . Проверено 19 августа 2019 . (446 стр.)
^ Эрикссон-Бике, Сиркка-Лийза Аннели ; Leutwiler, Heinz (февраль 1989 г.) [1989-01-10]. «Обобщение параллельного сложения» (PDF) . Aequationes Mathematicae . Birkhäuser Verlag . 38 (1): 99–110. DOI : 10.1007 / BF01839498 . Архивировано (PDF) из оригинала 20.08.2020 . Проверено 20 августа 2020 .
^ Сешу, Sundaram (сентябрь 1956). «Об электрических цепях и схемах переключения» . Сделки IRE по теории цепей . Институт Радиоинженеров (ИРЭ). КТ-3 (3): 172–178. DOI : 10.1109 / TCT.1956.1086310 .(7 страниц) (NB. См. Опечатки .)
^ Сешу, Сундарам; Гулд, Родерик (сентябрь 1957 г.). «Исправление к« Электрическим цепям и схемам переключения » » . Сделки IRE по теории цепей . Исправление. Институт Радиоинженеров (ИРЭ). СТ-4 (3): 284. DOI : 10,1109 / TCT.1957.1086390 .(1 страница) (NB. Ссылается на предыдущую ссылку.)
^ a b Эриксон, Кент Э. (март 1959 г.). «Новая операция для анализа последовательно-параллельных сетей» . Сделки IRE по теории цепей . Институт Радиоинженеров (ИРЭ). КТ-6 (1): 124–126. DOI : 10.1109 / TCT.1959.1086519 . п. 124: […] Операция ∗ определяется как A ∗ B = AB / A + B. Символ ∗ обладает алгебраическими свойствами, которые упрощают формальное решение многих последовательно-параллельных сетевых задач. Если бы операция ∗ была включена в качестве подпрограммы в цифровой компьютер , это могло бы упростить программирование определенных сетевых вычислений. […](3 страницы) (Примечание. См. Комментарий .)
↑ Кауфман, Ховард (июнь 1963 г.). «Замечание о новой операции анализа последовательно-параллельных сетей». IEEE Transactions по теории цепей . Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (IEEE). КТ-10 (2): 283. DOI : 10,1109 / TCT.1963.1082126 . п. 283: […] Комментарии к операции ∗ […] a ∗ b = ab / (a + b) […](1 страница) (NB. Ссылается на предыдущую ссылку.)
^ Вольф, Лоуренс Дж. (1977) [1976, 1974]. «Раздел 4. Учебные материалы - 4.3. Проект разработки технической программы Массачусетского технологического института - Введение в электронику и приборы». В Олдридже, Билл Дж .; Мауэри, Дональд Р .; Вольф, Лоуренс Дж .; Диксон, Пегги (ред.). Наука и инженерные технологии - Руководство по учебной программе: Руководство по двухгодичной программе для получения степени младшего специалиста (PDF) . Общественный колледж Сент-Луиса - Флориссант-Вэлли , Сент-Луис, Миссури, США: Национальная ассоциация учителей естественных наук , Вашингтон, округ Колумбия, США. С. 21, 77. Архивировано 15 февраля 2017 года (PDF) . Проверено 8 августа 2019 . п. 21: […] Введение в электронику и приборы - это новый и современный подход к вводному курсу электроники. Разработанный для студентов, не имеющих опыта работы с электроникой, он развивает навыки и знания, необходимые для использования и понимания современных электронных систем. […] Джон В. Маквейн […](NB. Проект SET представлял собой двухгодичную учебную программу для послесреднего образования, разработанную между 1974 и 1977 годами и готовящую технических специалистов к использованию электронных приборов.)
^ Визнер, Джером Берт ; Джонсон, Говард Уэсли ; Киллиан младший, Джеймс Райн , ред. (1978-04-11). «Школа инженерии - Центр перспективных инженерных исследований (CAES) - Исследования и разработки - Проект исследований и разработок технической программы». Отчет президента и канцлера 1977–78 - Массачусетский технологический институт (PDF) . Массачусетский технологический институт (MIT). С. 249, 252–253. Архивировано (PDF) из оригинала 10.09.2015 . Проверено 8 августа 2019 . pp. 249, 252–253: […] Программа исследований и разработок технических учебных программ, спонсируемая Imperial Организация социальных услуг в Иране , вступает в четвертый год контракт на пять лет. Продолжается разработка учебных программ по электронике и машиностроению. […] Управляется совместно CAES и Департаментом материаловедения и инженерии, Проект находится под руководством профессора Мертона К. Флемингса. Это направлено доктором Джоном В. Маквэйном. […] Разработка учебных материалов. Это основная деятельность проекта, связанная с разработкой инновационных, современных материалов для курсов в необходимых областях инженерных технологий […] новый вводный курс по электронике […] называется «Введение в электронику и приборы» и состоит из восьми […] модулей […] постоянного тока, напряжения и сопротивления; Опорные сети; Сигналы, изменяющиеся во времени; Операционные усилители; Источники питания; переменный ток, напряжение и импеданс; Цифровые схемы; и электронные измерения и контроль. Этот курс представляет собой серьезное изменение и обновление способа внедрения электроники и должен иметь большое значение для STI.а также ко многим американским программам. […]
^ Wedlock, Брюс Д. (1978). Основные схемы сетей . Проект исследования и разработки технических учебных программ . Введение в электронику и приборы. Массачусетский технологический институт (MIT).(81 страниц) (NB. Это легли в основу первой части 1981 года McWane в книге .)
^ McWane, Джон У. (1981-05-01). Введение в электронику и приборы (иллюстрированный ред.). North Scituate, Массачусетс, США: Breton Publishers , Wadsworth, Inc., стр. 78, 96–98, 100, 104. ISBN 0-53400938-7. ISBN 978-0-53400938-0 . Проверено 4 августа 2019 . п. xiii, 96–98, 100: […] Брюс Д. Уэдлок […] был основным автором части I, ОСНОВНЫЕ СЕТИ ЦЕПЕЙ, включая дизайн сопутствующих примеров. [...] Большая часть разработки программы IEI была проведена в рамках исследований и разработок проекта технического учебного плана из MIT Центра передовых инженерных исследований . […] Сокращенное обозначение […] сокращенное обозначение ∥ […] (xiii + 545 страниц) (NB. В 1981 г. существовало лабораторное руководство на 216 страниц, прилагавшееся к этой книге. Работа выросла из программы курса Массачусетского технологического института « Проект разработки технической учебной программы Массачусетского технологического института - Введение в электронику и приборы », разработанной между 1974 и 1979. В 1986 году вышло второе издание этой книги под названием «Введение в электронные технологии».)
^ Пол, Штеффен; Пол, Рейнхольд (2014-10-24). «Глава 2.3.2: Zusammenschaltungen linearer resistiver Zweipole - Parallelschaltung» . Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1: Gleichstromnetzwerke und ihre Anwendungen (на немецком языке). 1 (5-е изд.). Springer-Verlag . п. 78. ISBN 978-3-64253948-0. ISBN 3-64253948-3 . Проверено 4 августа 2019 . п. 78: […] Bei abgekürzter Schreibweise achte man sorgfältig auf die Anwendung von Klammern. […] Das Parallelzeichen ∥ der Kurzschreibweise hat die gleiche Bedeutung wie ein Multiplikationszeichen. Deshalb können Klammern entfallen. (446 стр.)
^ Дейл, Пол; Бонин, Уолтер (30 ноября 2012 г.) [9 декабря 2008 г.]. Руководство пользователя WP 34S (PDF) (изд. 3.1). С. 1, 14, 32, 66, 116. Архивировано (PDF) из оригинала 2019-07-09 . Проверено 13 июля 2019 . [7] (211 стр.)
^ Бонин, Уолтер (2015) [2008-12-09]. Руководство пользователя WP 34S (3.3-е изд.). Независимая издательская платформа CreateSpace . ISBN 978-1-5078-9107-0. [8]
^ Бонин, Уолтер (2016-07-11) [2008-12-09]. WP 34S Руководство пользователя (4-е изд.). Независимая издательская платформа CreateSpace . ISBN 978-1-53366238-5. ISBN 1-53366238-X . (410 страниц)
^ Доурик, Найджел (2015-05-03) [2015-03-16]. «Комплексный режим блокировки для WP-34» . Музей HP . Архивировано 3 апреля 2019 года . Проверено 7 августа 2019 .
^ Бонин, Уолтер (2020) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0,16 (черновик ред.). п. 119. ISBN 978-1-72950098-9. ISBN 1-72950098-6 . Проверено 20 августа 2020 . [9] [10] (328 страниц)
^ Бонин, Уолтер (2020) [2015]. Справочное руководство WP 43S (PDF) . 0,16 (черновик ред.). п. 127. ISBN 978-1-72950106-1. ISBN 1-72950106-0 . Проверено 20 августа 2020 . [11] [12] (315 страниц)

Дальнейшее чтение [ править ]

Пекарев, Эдвард Л .; Шмульян, Ю. Л. (1976-04-30). «Параллельное сложение и параллельное вычитание операторов» . Математика СССР-Известия . Американское математическое общество . 10 (2): 351–370. Bibcode : 1976IzMat..10..351P . DOI : 10.1070 / IM1976v010n02ABEH001694 .
Даффин, Ричард Джеймс ; Морли, Том Д. (июль 1978 г.). «Почти определенные операторы и электромеханические системы». Журнал СИАМ по прикладной математике . Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). 35 (1): 21–30. DOI : 10.1137 / 0135003 . JSTOR 2101028 . (10 страниц)
Морли, Том Д. (июль 1979 г.). «Параллельное суммирование, принцип Максвелла и точная грань проекций» (PDF) . Журнал математического анализа и приложений . Департамент математики Университета Иллинойса в Урбана-Шампейн , Урбана, Иллинойс, США. 70 (1): 33–41. DOI : 10.1016 / 0022-247X (79) 90073-8 . Архивировано 20 августа 2020 года . Проверено 20 августа 2020 .
Сигер, Альберто (май 1990 г.) [1988-03-22]. «Прямое и обратное сложение в выпуклом анализе и приложениях» (PDF) . Журнал математического анализа и приложений . Департамент математики Вашингтонского университета , Сиэтл, Вашингтон, США: Academic Press, Inc. 148 (2): 317–349. DOI : 10.1016 / 0022-247X (90) 90004-Y . Архивировано (PDF) из оригинала 20.08.2020 . Проверено 20 августа 2020 . (33 страницы)
Брайант, Рэндал Э .; Тайгар, Дж. Дуг; Хуанг, Лоуренс П. (1994). «Геометрические характеристики последовательно-параллельных цепей переменного резистора» (PDF) . IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications . 41 (11): 686–698. DOI : 10.1109 / 81.331520 . Архивировано из оригинального (PDF) 14 августа 2017 года.
Антезана, Хорхе; Корах, Густаво; Стоянов, Деметрио (апрель 2006 г.) [2005-09-14]. «Двусторонние закороченные операторы и параллельные суммы» (PDF) . Линейная алгебра и ее приложения . Ла-Плата, Аргентина и Буэнос-Айрес, Аргентина. 414 (2–3): 570–588. arXiv : math / 0509327 . DOI : 10.1016 / j.laa.2005.10.039 . Архивировано (PDF) из оригинала на 2017-08-09 . Проверено 20 августа 2020 . [13] (19 страниц)
Чансангиам, Паттравут (февраль 2016 г.) [август 2015 г., июль 2015 г.]. «Математические аспекты подключения к электрическим сетям» . KKU Engineering Journal . 43 (1): 47–54. DOI : 10,14456 / kkuenj.2016.8 . Архивировано (PDF) из оригинала 20.08.2020 . Проверено 20 августа 2020 .
Бешеньей, Адам (01.09.2016). «Непреодолимое неравенство Милна» (PDF) . Будапешт: Департамент прикладного анализа и вычислительной математики, Университет Этвёша Лоранда . CIA2016. Архивировано (PDF) из оригинала 08.08.2019 . Проверено 11 августа 2019 .

Внешние ссылки [ править ]

https://github.com/microsoftarchive/edx-platform-1/blob/master/common/lib/calc/calc/calc.py

[NB_Origin-7] В то время как использование символа ∥ для обозначения «параллельности» в геометрии восходит к 1673 году в работе Джона Керси-старшего , ^[A] он стал более использоваться только примерно с 1875 года. ^[B] Использование символа математический оператор для параллельных цепей происходит от теории сетей в электротехнике . Сундарам Сешу ввел оператор сокращенной суммы в 1956 году, ^[C] Кент Э. Эриксон предложил звездочку (∗) для обозначения оператора в 1959 году, ^{[D] в} то время как Ричард Джеймс Даффини Уильям Найлс Андерсон-младший использовал двоеточие (:) для параллельного сложения с 1966 года. ^[E] Суджит Кумар Митра использовал для этого среднюю точку (∙) в 1970 году. ^[F] Первое использование параллельного символа (∥) поскольку этот оператор в прикладной электронике неизвестен, но, возможно, он произошел из книги Джона У. Маквэйна 1981 года «Введение в электронику и приборы» ^[G], которая выросла из одноименного курса MIT, разработанного как часть его влиятельной технической учебной программы Проектмежду 1974 и 1979. Этот символ, вероятно, также был введен, потому что другие используемые символы можно было легко спутать со знаками, обычно используемыми для умножения и деления в некоторых контекстах.

[NB_Application-28] В электрических цепях оператор параллельности может применяться, соответственно, к параллельным сопротивлениям ( R в [Ом]) или индуктивностям ( L в [Г]), а также к импедансам ( Z в [Ом]) или реактивным сопротивлениям ( X в [Ω]). Игнорируя вводящий в заблуждение глиф символа оператора, он также может применяться к последовательным цепям соответственно проводимости ( G в [S]) или емкости ( C в [F]), а также к проводимости (Y в [S]) или восприимчивости ( B в [S]).

[Duffin_1971-1] Даффин, Ричард Джеймс (1971) [1970, 1969]. «Сетевые модели» . Написано в Дареме, Северная Каролина, США. В Уилфе, Герберт Сол ; Харарей, Фрэнк (ред.). Математические аспекты анализа электрических сетей . Труды симпозиума по прикладной математике Американского математического общества и Общества промышленной и прикладной математики, состоявшегося в Нью-Йорке, 1969-04-02 / 03. Том III трудов SIAM-AMS (иллюстрированный ред.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество (AMS) / Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). С. 65–92 [68]. ISBN 0-8218-1322-6. ISSN 0080-5084 . LCCN 79-167683 . ISBN 978-0-8218-1322-5 . Отчет 69-21 . Проверено 5 августа 2019 . pp. 68–69: […] Для удобного сокращения общего сопротивления резисторов, соединенных параллельно, пусть […] A: B = AB / (A + B) […] A: B может рассматриваться как новая операция называется параллельным сложением […] Параллельное сложение определяется для любых неотрицательных чисел. Сетевая модель показывает, что параллельное сложение коммутативно и ассоциативно . Более того, умножение дистрибутивно над этой операцией. Рассмотрим теперь алгебраическое выражение в операциях (+) и (:), работающих с положительными числами A, B, C и т. Д. […] Чтобы дать сетевую интерпретацию такого многочлена, прочтите A + B как «A серия B» и A: B как «A параллель B», тогда ясно, что выражение […] является совместным сопротивлением сети […] [1] [2] (206 стр.)

[Kersey_1673-2] Керси (старший), Джон (1673). «Глава I: Относительно объема этой четвертой книги и значения символов, сокращений и цитат, используемых в ней». Элементы этого математического искусства, обычно называемого алгеброй . Книга IV - Элементы алгебраических искусств. Лондон: Томас Пассинджер, Три Библии, Лондонский мост. С. 177–178. Архивировано 5 августа 2020 года . Проверено 9 августа 2019 .

[Cajori_1928-3] Каджори, Флориан (1993) [сентябрь 1928]. «§ 184, § 359, § 368». История математических обозначений - Обозначения в элементарной математике . 1 (два тома в одном неизмененном переиздании). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . С. 193, 402–403, 411–412 . ISBN 0-486-67766-4. LCCN 93-29211 . Проверено 22 июля 2019 . С. 402–403, 411–412: §359. [...] ∥ для параллельного происходит в Отред «ы Opuscula Mathematica hactenus inedita (1677) [с. 197], посмертное произведение (§ 184) […] §368. Знаки для параллельных линий. […] Когда знак равенства Recorde получил распространение на континенте , вертикальные линии стали использоваться для параллелизма. Мы находим ∥ для «параллели» в Керси , ^[A] Кэсвелл , Джонс , ^[B] Wilson, ^[C] Emerson , ^[D] Kambly, ^[E]и писателей последних пятидесяти лет, которых уже цитировали в связи с другими пиктограммами. Примерно до 1875 года это происходило не так часто […] Холл и Стивенс ^[F] использовали «par ^[F] или ∥» для параллельных […][A] Джон Керси , Алгебра (Лондон, 1673 г.), Книга IV, с. 177.[B] У. Джонс , Synopsis palmarioum matheseos (Лондон, 1706 г.).[C] Джон Уилсон, Тригонометрия (Эдинбург, 1714 г.), объяснение символов.[D] У. Эмерсон , Элементы геометрии (Лондон, 1763 г.), с. 4.[E] Л. Камблы [ де ] , Die Elementar-Mathematik , Часть 2: Planimetrie , 43. издание (Бреслау, 1876 г.), с. 8. […][F] Х. С. Холл и Ф. Х. Стивенс, Элементы Евклида , части I и II (Лондон, 1889 г.), с. 10. […] [3]

[TI_2004-4] «INA 326 / INA 327 - Прецизионный инструментальный усилитель ввода / вывода с Rail-to-Rail» (PDF) . Burr-Brown / Texas Instruments . 2018 [ноябрь 2004 г., ноябрь 2001 г.]. С. 3, 9, 13. SBOS222D. Архивировано (PDF) из оригинала 13.07.2019 . Проверено 13 июля 2019 .

[Bober_2016-5] Бобер, Уильям; Стивенс, Эндрю (2016). «Глава 7.6. Преобразования Лапласа, применяемые к схемам» . Численные и аналитические методы с MATLAB для инженеров-электриков . Прикладная и вычислительная механика (1-е изд.). CRC Press . п. 224. ISBN 978-1-46657607-0. ISBN 1-46657607-3 . (388 стр.)

[EECS_2018-6] Ранаде, Гирея; Стоянович, Владимир, ред. (Осень 2018). «Глава 15.7.2 Параллельные резисторы» (PDF) . EECS 16A Проектирование информационных устройств и систем I (PDF) (конспекты лекций). Калифорнийский университет в Беркли . п. 12. Примечание 15. Архивировано (PDF) из оригинала 27.12.2018 . Проверено 28 декабря 2018 . п. 12: […] Это математическое соотношение возникает достаточно часто, поэтому у него на самом деле есть имя: «параллельный оператор», обозначаемый ∥. Когда мы говорим x∥y, это означает ${\frac {xy}{x+y}}$ . Обратите внимание, что это математический оператор и ничего не говорит о фактической конфигурации. В случае резисторов параллельный оператор используется для параллельных резисторов, но для других компонентов (например, конденсаторов) это не так. […] (16 страниц)

[Ellerman_1995-8] Эллерман, Дэвид Паттерсон (1995-03-21). «Глава 12: Параллельное сложение, последовательно-параллельная двойственность и финансовая математика» . Интеллектуальное вторжение как образ жизни: Очерки философии, экономики и математики (PDF) . Мирская философия: исследования на стыке философии и экономики . G - Справочная, информационная и междисциплинарная серия предметов (иллюстрированное издание). Rowman & Littlefield Publishers, Inc., стр. 237–268. ISBN 0-8476-7932-2. Архивировано (PDF) из оригинала 5 марта 2016 года . Проверено 9 августа 2019 . п. 237: […] Когда резисторы с сопротивлением a и b помещаются последовательно, их составное сопротивление представляет собой обычную сумму (далее сумма серии ) сопротивлений a + b. Если сопротивления размещены параллельно, их составное сопротивление представляет собой параллельную сумму сопротивлений, которая обозначается полным двоеточием […] [4] (271 стр.)

[Ellerman_2004-9] Эллерман, Дэвид Паттерсон (май 2004 г.) [1995-03-21]. «Введение в последовательно-параллельную двойственность» (PDF) . Калифорнийский университет в Риверсайде . CiteSeerX 10.1.1.90.3666 . Архивировано 10 августа 2019 года . Проверено 9 августа 2019 . Параллельная сумма двух положительных действительных чисел x: y = [(1 / x) + (1 / y)] ^-1 возникает в теории электрических цепей как сопротивление, возникающее в результате соединения двух сопротивлений x и y параллельно. Существует двойственность между обычной (серийной) суммой и параллельная сумма. […] [5] (24 страницы)

[Basso_2016-10] Бассо, Кристоф П. (2016). «Глава 1.1.2 Текущий делитель» . Линейные передаточные функции цепи: Введение в быстрые аналитические методы (1-е изд.). Чичестер, Западный Сассекс, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons Ltd. стр. 12. ISBN 978-1-11923637-5. LCCN 2015047967 . Проверено 28 декабря 2018 . (464 стр.)

[ECE_2019-11] Коттер, Нил Э., изд. (2015-10-12) [2014-09-20]. «Поваренная книга ECE1250 - узлы, серии, параллели» (конспект лекций). Поваренные книги. Университет Юты . Архивировано (PDF) из оригинала 20.08.2020 . Проверено 11 августа 2019 . […] Один из удобных способов указать, что два резистора подключены параллельно, - поставить между ними знак ∥. […]

[Boecker_2019-12] Böcker, Joachim (2019-03-18) [апрель 2008]. "Grundlagen der Elektrotechnik Teil B" (PDF) (на немецком языке). Universität Paderborn . п. 12. Архивировано (PDF) из оригинала 17.04.2018 . Проверено 9 августа 2019 . п. 12: Für die Berechnung des Ersatzwiderstands der Parallelschaltung wird […] gern die Kurzschreibweise ∥ benutzt.

[Georg_1999-13] Георг, Отфрид (2013) [1999]. «Глава 2.11.4.3: Aufstellen der Differentialgleichung aus der komplexen Darstellung - MATHCAD Anwendung 2.11-6: Benutzerdefinierte Operatoren» . Elektromagnetische Felder und Netzwerke: Anwendungen in Mathcad und PSpice . Springer-Lehrbuch (на немецком языке) (1-е изд.). Springer-Verlag . С. 246–248. DOI : 10.1007 / 978-3-642-58420-6 . ISBN 978-3-642-58420-6. ISBN 3-642-58420-9 . Проверено 4 августа 2019 . (728 страниц)

[Mitra_1970-14] Митра, Суджит Кумар (февраль 1970 г.). «Матричная операция для анализа последовательно-параллельных многопортов» . Журнал Института Франклина . Краткое сообщение. Институт Франклина . 289 (2): 167–169. DOI : 10.1016 / 0016-0032 (70) 90302-9 . п. 167: Цель этого сообщения - расширить концепцию скалярной операции «Редуцированная сумма», введенную Сешу […] и позже разработанную Эриксоном.[…] К матрицам, чтобы обрисовать некоторые интересные свойства этой новой матричной операции и применить матричную операцию к анализу последовательных и параллельных n -портовых сетей . Пусть A и B - две невырожденные квадратные матрицы, имеющие обратные , A ⁻¹ и B ⁻¹ соответственно. Определим операцию ∙ как A ∙ B = (A ⁻¹ + B ⁻¹ ) ^−1, а операцию ⊙ как A ⊙ B = A ∙ (−B). Операция ∙ коммутативна и ассоциативна, а также дистрибутивна относительно умножения. […] (3 страницы)

[Duffin_1966-15] Даффин, Ричард Джеймс ; Хазони, Дов; Моррисон, Норман Александр (март 1966 г.) [1965-04-12, 1964-08-25]. «Сетевой синтез через гибридные матрицы». Журнал СИАМ по прикладной математике . Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). 14 (2): 390–413. DOI : 10.1137 / 0114032 . JSTOR 2946272 . (24 страницы)

[Anderson-Duffin_1969-16] Андерсон младший, Уильям Найлз; Даффин, Ричард Джеймс (1969) [1968-05-27]. «Последовательное и параллельное сложение матриц». Журнал математического анализа и приложений . Academic Press, Inc. 26 (3): 576–594. DOI : 10.1016 / 0022-247X (69) 90200-5 . п. 576: […] мы определяем параллельную сумму A и B формулой A (A + B) ⁺ B и обозначаем ее A: B. Если A и B неособые, это сводится к A: B = (A ⁻¹ + B ⁻¹ ) ^−1, которая представляет собой хорошо известную электрическую формулу для добавления резисторов, включенных параллельно. Затем показано, что эрмитов полуопределенные матрицы образуют коммутативную частично упорядоченную полугруппу при параллельной операции суммирования. […] [6]

[Mitra-Puri_1973-17] Митра, Суджит Кумар; Пури, Мадан Лал (октябрь 1973 г.). «О параллельной сумме и разности матриц» (PDF) . Журнал математического анализа и приложений . Academic Press, Inc. 44 (1): 92–97. DOI : 10.1016 / 0022-247X (73) 90027-9 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 апреля 2019 года.

[Mitra-Bhimasankaram-Malik_2010-18] Митра, Суджит Кумар; Бхимасанкарам, Почираджу; Малик, Сародж Б. (2010). Матричные частичные заказы, короткие операторы и приложения . Серия по алгебре. 10 (иллюстрировано 1-е изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. ООО ISBN 978-981-283-844-5. ISBN 981-283-844-9 . Проверено 19 августа 2019 . (446 стр.)

[Eriksson-Bique-Leutwiler_1989-19] Эрикссон-Бике, Сиркка-Лийза Аннели ; Leutwiler, Heinz (февраль 1989 г.) [1989-01-10]. «Обобщение параллельного сложения» (PDF) . Aequationes Mathematicae . Birkhäuser Verlag . 38 (1): 99–110. DOI : 10.1007 / BF01839498 . Архивировано (PDF) из оригинала 20.08.2020 . Проверено 20 августа 2020 .

[Seshu_1956-20] Сешу, Sundaram (сентябрь 1956). «Об электрических цепях и схемах переключения» . Сделки IRE по теории цепей . Институт Радиоинженеров (ИРЭ). КТ-3 (3): 172–178. DOI : 10.1109 / TCT.1956.1086310 .(7 страниц) (NB. См. Опечатки .)

[Seshu_1957-21] Сешу, Сундарам; Гулд, Родерик (сентябрь 1957 г.). «Исправление к« Электрическим цепям и схемам переключения » » . Сделки IRE по теории цепей . Исправление. Институт Радиоинженеров (ИРЭ). СТ-4 (3): 284. DOI : 10,1109 / TCT.1957.1086390 .(1 страница) (NB. Ссылается на предыдущую ссылку.)

[Erickson_1959-22] Эриксон, Кент Э. (март 1959 г.). «Новая операция для анализа последовательно-параллельных сетей» . Сделки IRE по теории цепей . Институт Радиоинженеров (ИРЭ). КТ-6 (1): 124–126. DOI : 10.1109 / TCT.1959.1086519 . п. 124: […] Операция ∗ определяется как A ∗ B = AB / A + B. Символ ∗ обладает алгебраическими свойствами, которые упрощают формальное решение многих последовательно-параллельных сетевых задач. Если бы операция ∗ была включена в качестве подпрограммы в цифровой компьютер , это могло бы упростить программирование определенных сетевых вычислений. […](3 страницы) (Примечание. См. Комментарий .)

[Kaufman_1963-23] Кауфман, Ховард (июнь 1963 г.). «Замечание о новой операции анализа последовательно-параллельных сетей». IEEE Transactions по теории цепей . Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (IEEE). КТ-10 (2): 283. DOI : 10,1109 / TCT.1963.1082126 . п. 283: […] Комментарии к операции ∗ […] a ∗ b = ab / (a + b) […](1 страница) (NB. Ссылается на предыдущую ссылку.)

[Wolf_1977-24] Вольф, Лоуренс Дж. (1977) [1976, 1974]. «Раздел 4. Учебные материалы - 4.3. Проект разработки технической программы Массачусетского технологического института - Введение в электронику и приборы». В Олдридже, Билл Дж .; Мауэри, Дональд Р .; Вольф, Лоуренс Дж .; Диксон, Пегги (ред.). Наука и инженерные технологии - Руководство по учебной программе: Руководство по двухгодичной программе для получения степени младшего специалиста (PDF) . Общественный колледж Сент-Луиса - Флориссант-Вэлли , Сент-Луис, Миссури, США: Национальная ассоциация учителей естественных наук , Вашингтон, округ Колумбия, США. С. 21, 77. Архивировано 15 февраля 2017 года (PDF) . Проверено 8 августа 2019 . п. 21: […] Введение в электронику и приборы - это новый и современный подход к вводному курсу электроники. Разработанный для студентов, не имеющих опыта работы с электроникой, он развивает навыки и знания, необходимые для использования и понимания современных электронных систем. […] Джон В. Маквейн […](NB. Проект SET представлял собой двухгодичную учебную программу для послесреднего образования, разработанную между 1974 и 1977 годами и готовящую технических специалистов к использованию электронных приборов.)

[MIT_1978-25] Визнер, Джером Берт ; Джонсон, Говард Уэсли ; Киллиан младший, Джеймс Райн , ред. (1978-04-11). «Школа инженерии - Центр перспективных инженерных исследований (CAES) - Исследования и разработки - Проект исследований и разработок технической программы». Отчет президента и канцлера 1977–78 - Массачусетский технологический институт (PDF) . Массачусетский технологический институт (MIT). С. 249, 252–253. Архивировано (PDF) из оригинала 10.09.2015 . Проверено 8 августа 2019 . pp. 249, 252–253: […] Программа исследований и разработок технических учебных программ, спонсируемая Imperial Организация социальных услуг в Иране , вступает в четвертый год контракт на пять лет. Продолжается разработка учебных программ по электронике и машиностроению. […] Управляется совместно CAES и Департаментом материаловедения и инженерии, Проект находится под руководством профессора Мертона К. Флемингса. Это направлено доктором Джоном В. Маквэйном. […] Разработка учебных материалов. Это основная деятельность проекта, связанная с разработкой инновационных, современных материалов для курсов в необходимых областях инженерных технологий […] новый вводный курс по электронике […] называется «Введение в электронику и приборы» и состоит из восьми […] модулей […] постоянного тока, напряжения и сопротивления; Опорные сети; Сигналы, изменяющиеся во времени; Операционные усилители; Источники питания; переменный ток, напряжение и импеданс; Цифровые схемы; и электронные измерения и контроль. Этот курс представляет собой серьезное изменение и обновление способа внедрения электроники и должен иметь большое значение для STI.а также ко многим американским программам. […]

[Wedlock_1978-26] Wedlock, Брюс Д. (1978). Основные схемы сетей . Проект исследования и разработки технических учебных программ . Введение в электронику и приборы. Массачусетский технологический институт (MIT).(81 страниц) (NB. Это легли в основу первой части 1981 года McWane в книге .)

[McWane_1981-27] McWane, Джон У. (1981-05-01). Введение в электронику и приборы (иллюстрированный ред.). North Scituate, Массачусетс, США: Breton Publishers , Wadsworth, Inc., стр. 78, 96–98, 100, 104. ISBN 0-53400938-7. ISBN 978-0-53400938-0 . Проверено 4 августа 2019 . п. xiii, 96–98, 100: […] Брюс Д. Уэдлок […] был основным автором части I, ОСНОВНЫЕ СЕТИ ЦЕПЕЙ, включая дизайн сопутствующих примеров. [...] Большая часть разработки программы IEI была проведена в рамках исследований и разработок проекта технического учебного плана из MIT Центра передовых инженерных исследований . […] Сокращенное обозначение […] сокращенное обозначение ∥ […] (xiii + 545 страниц) (NB. В 1981 г. существовало лабораторное руководство на 216 страниц, прилагавшееся к этой книге. Работа выросла из программы курса Массачусетского технологического института « Проект разработки технической учебной программы Массачусетского технологического института - Введение в электронику и приборы », разработанной между 1974 и 1979. В 1986 году вышло второе издание этой книги под названием «Введение в электронные технологии».)

[Paul_2014-29] Пол, Штеффен; Пол, Рейнхольд (2014-10-24). «Глава 2.3.2: Zusammenschaltungen linearer resistiver Zweipole - Parallelschaltung» . Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1: Gleichstromnetzwerke und ihre Anwendungen (на немецком языке). 1 (5-е изд.). Springer-Verlag . п. 78. ISBN 978-3-64253948-0. ISBN 3-64253948-3 . Проверено 4 августа 2019 . п. 78: […] Bei abgekürzter Schreibweise achte man sorgfältig auf die Anwendung von Klammern. […] Das Parallelzeichen ∥ der Kurzschreibweise hat die gleiche Bedeutung wie ein Multiplikationszeichen. Deshalb können Klammern entfallen. (446 стр.)

[Bonin_2012-30] Дейл, Пол; Бонин, Уолтер (30 ноября 2012 г.) [9 декабря 2008 г.]. Руководство пользователя WP 34S (PDF) (изд. 3.1). С. 1, 14, 32, 66, 116. Архивировано (PDF) из оригинала 2019-07-09 . Проверено 13 июля 2019 . [7] (211 стр.)

[Bonin_2015-31] Бонин, Уолтер (2015) [2008-12-09]. Руководство пользователя WP 34S (3.3-е изд.). Независимая издательская платформа CreateSpace . ISBN 978-1-5078-9107-0. [8]

[Bonin_2016-32] Бонин, Уолтер (2016-07-11) [2008-12-09]. WP 34S Руководство пользователя (4-е изд.). Независимая издательская платформа CreateSpace . ISBN 978-1-53366238-5. ISBN 1-53366238-X . (410 страниц)

[Dowrick_2015-33] Доурик, Найджел (2015-05-03) [2015-03-16]. «Комплексный режим блокировки для WP-34» . Музей HP . Архивировано 3 апреля 2019 года . Проверено 7 августа 2019 .

[Bonin_2019_OG-34] Бонин, Уолтер (2020) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0,16 (черновик ред.). п. 119. ISBN 978-1-72950098-9. ISBN 1-72950098-6 . Проверено 20 августа 2020 . [9] [10] (328 страниц)

[Bonin_2019_RG-35] Бонин, Уолтер (2020) [2015]. Справочное руководство WP 43S (PDF) . 0,16 (черновик ред.). п. 127. ISBN 978-1-72950106-1. ISBN 1-72950106-0 . Проверено 20 августа 2020 . [11] [12] (315 страниц)

[1]