Параметрический осциллятор

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Параметрический осциллятор»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Один из первых варакторных параметрических усилителей, изобретенный в Bell Labs примерно в 1958 году. Этот четырехступенчатый усилитель достиг усиления 10 дБ на частоте 400 МГц. Параметрические усилители используются в приложениях, требующих чрезвычайно низкого уровня шума.

Параметрический генератор представляет собой управляемый гармонический осциллятор , в котором колебания приводятся в движение путем изменения некоторых параметров системы на некоторой частоте, как правило , отличной от собственной частоты генератора. Простым примером параметрического осциллятора является ребенок, качающий качели на игровой площадке , периодически вставая и приседая, чтобы увеличить размер колебаний качелей. ^{[1] [2] [3]} Движения ребенка изменяют момент инерции качелей как маятник.. «Качающие» движения ребенка должны быть в два раза чаще, чем колебания качелей. Примерами параметров, которые можно изменять, являются резонансная частота и затухание генератора .${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ beta}$

Параметрические осцилляторы используются в нескольких областях физики. Классический варакторный параметрический генератор состоит из полупроводникового варакторного диода, подключенного к резонансному контуру или объемному резонатору . Он управляется изменением емкости диода путем приложения переменного напряжения смещения . Схема, изменяющая емкость диода, называется «накачкой» или «драйвером». В микроволновой электронике параметрические генераторы на основе волноводов / YAG работают аналогичным образом. Другой важный пример - оптический параметрический генератор , который преобразует входную лазерную световую волну в две выходные волны более низкой частоты (${\ displaystyle \ omega _ {s}, \ omega _ {i}}$).

При работе с уровнями накачки ниже уровня колебаний параметрический генератор может усиливать сигнал, образуя параметрический усилитель ( paramp ). Варакторные параметрические усилители были разработаны как малошумящие усилители в радио- и микроволновом диапазоне частот. Преимущество параметрического усилителя состоит в том, что он имеет гораздо более низкий уровень шума, чем усилитель на основе устройства усиления, такого как транзистор или электронная лампа . Это связано с тем, что в параметрическом усилителе изменяется реактивное сопротивление вместо (создающего шум) сопротивления . Они используются в радиоприемниках с очень низким уровнем шума в радиотелескопах иантенны связи космических аппаратов . ^[4]

Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменение во времени системного параметра.

История [ править ]

Параметрические колебания впервые были замечены в механике. Майкл Фарадей (1831) был первым, кто заметил колебания одной частоты, возбуждаемые силами, в два раза превышающими частоту, в колебаниях (взъерошенных поверхностных волнах), наблюдаемых в бокале для вина, возбужденном, чтобы «петь». ^[5] Франц Мелде (1860) генерировал параметрические колебания в струне, используя камертон для периодического изменения натяжения на удвоенной резонансной частоте струны. ^[6] Параметрические колебания были впервые рассмотрены как общее явление Рэлеем (1883,1887). ^{[7] [8] [9]}

Одним из первых, кто применил эту концепцию к электрическим цепям, был Джордж Фрэнсис Фицджеральд , который в 1892 году попытался возбудить колебания в LC-цепи , накачав ее с помощью переменной индуктивности, создаваемой динамо-машиной. ^{[10] [11]} Параметрические усилители ( paramps ) были впервые использованы в 1913-1915 годах для радиотелефонной связи из Берлина в Вену и Москву, и, по прогнозам, у них было хорошее будущее ( Ernst Alexanderson , 1916). ^[12] Эти ранние параметрические усилители использовали нелинейность индуктора с железным сердечником , поэтому они могли работать только на низких частотах.

В 1948 году Альдерт ван дер Зил указал на главное преимущество параметрического усилителя: поскольку он использовал переменное реактивное сопротивление вместо сопротивления для усиления, он имел низкий уровень шума. ^[13] Параметрический усилитель используется в качестве переднего конца в виде радиоприемника может усиливать слабый сигнал при введении очень мало шума. В 1952 году Харрисон Роу из Bell Labs расширил некоторые математические работы 1934 года по накачанным колебаниям Джека Мэнли и опубликовал современную математическую теорию параметрических колебаний, соотношения Мэнли-Роу . ^[13]

Варакторного диода изобретен в 1956 имел нелинейную емкость , которая была полезной в диапазоне сверхвысоких частот. Варакторный параметрический усилитель был разработан Мэрион Хайнс в 1956 году в компании Western Electric . ^[13] В то время, когда это было изобретено, микроволны только начали эксплуатироваться, и варакторный усилитель был первым полупроводниковым усилителем на сверхвысоких частотах. ^[13] Он применялся в малошумящих радиоприемниках во многих областях и широко использовался в радиотелескопах , наземных спутниковых станциях и радарах дальнего действия.. Это основной тип параметрических усилителей, используемых сегодня. С тех пор параметрические усилители были созданы с другими нелинейными активными устройствами, такими как переходы Джозефсона .

Метод был распространен на оптические частоты в оптических параметрических генераторах и усилителях, в которых в качестве активного элемента используются нелинейные кристаллы .

Математический анализ [ править ]

Параметрический осциллятор - это гармонический осциллятор , физические свойства которого меняются со временем. Уравнение такого осциллятора:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + \ beta (t) {\ frac {dx} {dt}} + \ omega ^ {2} (t) x = 0}$

Это уравнение линейно по . По предположению, параметры и зависят только от времени и не зависят от состояния осциллятора. В общем и / или предполагается, что они периодически меняются с одним и тем же периодом .${\ Displaystyle х (т)}$${\ displaystyle \ omega ^ {2}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ бета (т)}$${\ Displaystyle \ omega ^ {2} (т)}$${\ displaystyle T}$

Если параметры изменяются при примерно в два раза по частоте собственных колебаний генератора ( как определено ниже), генератор фазы замки на параметрическую вариацию и поглощает энергию при пропорциональной скорости к энергии у него уже есть. Без компенсирующего механизма потери энергии амплитуда колебаний растет экспоненциально. (Это явление называется параметрическим возбуждением , параметрическим резонансом или параметрической накачкой .) Однако, если начальная амплитуда равна нулю, она останется таковой; это отличает его от непараметрического резонанса управляемых простых гармонических осцилляторов , в котором амплитуда линейно растет во времени независимо от начального состояния.${\ displaystyle \ beta}$

Знакомый опыт как параметрических, так и управляемых колебаний играет на качелях. ^{[1] [2] [3]} Раскачивание вперед и назад качает качели как приводимый в действие гармонический осциллятор , но после движения качели также можно параметрически управлять, попеременно стоя и приседая в ключевых точках дуги качания. Это изменяет момент инерции качелей и, следовательно, резонансную частоту, и дети могут быстро достичь больших амплитуд при условии, что они имеют некоторую амплитуду для начала (например, получить толчок). Однако стояние и приседания в состоянии покоя ни к чему не приводят.

Преобразование уравнения [ править ]

Начнем с замены переменных

${\ Displaystyle д (т) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ е ^ {D (т)} х (т)}$

где - временной интеграл затухания${\ Displaystyle D (т)}$

${\ Displaystyle D (T) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {1} {2}} \ int ^ {t} d \ tau \ \ beta (\ tau)}$.

Эта замена переменных устраняет демпфирующий член

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} q} {dt ^ {2}}} + \ Omega ^ {2} (t) q = 0}$

где преобразованная частота определяется

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)=\omega ^{2}(t)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\beta }{dt}}\right)-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}}$.

В общем, изменения затухания и частоты представляют собой относительно небольшие возмущения.

${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}\left[b+g(t)\right]}$

${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}\left[1+h(t)\right]}$

где и - константы, а именно, усредненная по времени частота осциллятора и затухание соответственно.${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle b}$

Преобразованную частоту можно записать аналогично:

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)=\omega _{n}^{2}\left[1+f(t)\right]}$,

где - собственная частота затухающего гармонического осциллятора${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \omega _{n}^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left(1-{\frac {b^{2}}{4}}\right)}$

а также

${\displaystyle \omega _{n}^{2}f(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left\{h(t)-{\frac {1}{2\omega _{0}}}\left({\frac {dg}{dt}}\right)-{\frac {b}{2}}g(t)-{\frac {1}{4}}g^{2}(t)\right\}}$.

Таким образом, наше преобразованное уравнение можно записать

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}\left[1+f(t)\right]q=0}$.

Независимые вариации и в осциллятора затухания и резонансной частоты, соответственно, могут быть объединены в одну насосную функцию . Обратный вывод состоит в том, что любая форма параметрического возбуждения может быть достигнута путем изменения либо резонансной частоты, либо демпфирования, либо того и другого.${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle f(t)}$

Решение преобразованного уравнения [ править ]

Предположим, что это синусоидальный, а именно${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin 2\omega _{p}t}$

где частота накачки не обязательно должна быть точно равна . Решение нашего преобразованного уравнения может быть записано${\displaystyle \omega _{p}\approx \omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle q(t)}$

${\displaystyle q(t)=A(t)\cos \omega _{p}t+B(t)\sin \omega _{p}t}$

где быстро меняющиеся компоненты были исключены ( и ), чтобы выделить медленно меняющиеся амплитуды и . Это соответствует методу вариации параметров Лапласа.${\displaystyle \cos \omega _{p}t}$${\displaystyle \sin \omega _{p}t}$${\displaystyle A(t)}$${\displaystyle B(t)}$

Подставляя это решение в преобразованное уравнение и сохраняя только члены первого порядка по, получаем два связанных уравнения${\displaystyle f_{0}\ll 1}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {dA}{dt}}=\left({\frac {f_{0}}{2}}\right)\omega _{n}^{2}A-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)B}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {dB}{dt}}=-\left({\frac {f_{0}}{2}}\right)\omega _{n}^{2}B+\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)A}$

Эти уравнения можно разделить и решить, сделав еще одну замену переменных.

${\displaystyle A(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ r(t)\cos \theta (t)}$

${\displaystyle B(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ r(t)\sin \theta (t)}$

что дает уравнения

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=\left(\alpha _{\mathrm {max} }\cos 2\theta \right)r}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=-\alpha _{\mathrm {max} }\left[\sin 2\theta -\sin 2\theta _{\mathrm {eq} }\right]}$

где для краткости определены следующие

${\displaystyle \alpha _{\mathrm {max} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {f_{0}\omega _{n}^{2}}{4\omega _{p}}}}$

${\displaystyle \sin 2\theta _{\mathrm {eq} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {2}{f_{0}}}\right)\epsilon }$

и расстройка

${\displaystyle \epsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}}$.

Уравнение не зависит от и линеаризации вблизи ее положение равновесия показывает , что экспоненциально спадает к равновесному${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {eq} }}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{\mathrm {eq} }+\left(\theta _{0}-\theta _{\mathrm {eq} }\right)e^{-2\alpha t}}$

где постоянная распада

${\displaystyle \alpha \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha _{\mathrm {max} }\cos 2\theta _{\mathrm {eq} }}$.

Другими словами, параметрический генератор синхронизируется по фазе с сигналом накачки .${\displaystyle f(t)}$

Принимая (т.е. предполагая, что фаза заблокирована), уравнение принимает вид${\displaystyle \theta (t)=\theta _{\mathrm {eq} }}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=\alpha r}$

чье решение ; амплитуда колебаний расходится экспоненциально. Однако соответствующая амплитуда в нетрансформированных переменной не обязательно расходятся${\displaystyle r(t)=r_{0}e^{\alpha t}}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle x\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ qe^{-D(t)}}$

${\displaystyle R(t)=r(t)e^{-D(t)}=r_{0}e^{\alpha t-D(t)}}$

Амплитуда расходится, затухает или остается постоянной, в зависимости от того , больше ли она, меньше или равна соответственно.${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle \alpha t}$${\displaystyle D(t)}$

Максимальный темп роста амплитуды наступает при . На этой частоте фаза равновесия равна нулю, что означает и . При изменении от , удаляется от нуля и , т. Е. Амплитуда растет медленнее. При достаточно больших отклонениях постоянная спада может стать чисто мнимой, так как${\displaystyle \omega _{p}=\omega _{n}}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {eq} }}$${\displaystyle \cos 2\theta _{\mathrm {eq} }=1}$${\displaystyle \alpha =\alpha _{\mathrm {max} }}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {eq} }}$${\displaystyle \alpha <\alpha _{\mathrm {max} }}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\alpha _{\mathrm {max} }{\sqrt {1-\left({\frac {2}{f_{0}}}\right)^{2}\epsilon ^{2}}}}$.

Если отстройка превышает , становится чисто мнимой и изменяется синусоидально. Используя определение отстройки , частота накачки должна находиться между и для достижения экспоненциального роста . Расширение квадратных корней в биномиальный ряд показывает, что разброс частот накачки, который приводит к экспоненциальному росту, составляет приблизительно .${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f_{0}/2}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle 2\omega _{p}}$${\displaystyle 2\omega _{n}{\sqrt {1-{\frac {f_{0}}{2}}}}}$${\displaystyle 2\omega _{n}{\sqrt {1+{\frac {f_{0}}{2}}}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \omega _{n}f_{0}}$

Интуитивный вывод параметрического возбуждения [ править ]

Вышеупомянутый вывод может показаться математической ловкостью, поэтому может быть полезно дать интуитивный вывод. Уравнение может быть записано в виде${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}q=-\omega _{n}^{2}f(t)q}$

который представляет собой простой гармонический осциллятор (или, альтернативно, полосовой фильтр ), управляемый сигналом, который пропорционален его отклику .${\displaystyle -\omega _{n}^{2}f(t)q}$${\displaystyle q}$

Предположим, что у него уже есть колебания на частоте и что накачка имеет удвоенную частоту и небольшую амплитуду . Применяя тригонометрическую идентичность для продуктов синусоид, их продукт производит два управляющих сигнала, один по частоте, а другой по частоте.${\displaystyle q(t)=A\cos \omega _{p}t}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin 2\omega _{p}t}$${\displaystyle f_{0}\ll 1}$${\displaystyle q(t)f(t)}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle 3\omega _{p}}$

${\displaystyle f(t)q(t)={\frac {f_{0}}{2}}A\left(\sin \omega _{p}t+\sin 3\omega _{p}t\right)}$

Поскольку сигнал не находится в резонансе, он ослабляется, и вначале им можно пренебречь. Напротив, сигнал находится в резонансе, служит для усиления и пропорционален амплитуде . Следовательно, амплитуда растет экспоненциально, если она изначально не равна нулю.${\displaystyle 3\omega _{p}}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle q}$

Выраженное в пространстве Фурье, умножение представляет собой свертку их преобразований Фурье и . Положительная обратная связь возникает из-за того, что компонент преобразует компонент в управляющий сигнал в , и наоборот (поменять местами знаки). Это объясняет, почему частота накачки должна быть близкой к удвоенной собственной частоте генератора. Накачка с сильно отличающейся частотой не будет связывать (т. Е. Обеспечивать взаимную положительную обратную связь) между компонентами и .${\displaystyle f(t)q(t)}$${\displaystyle {\tilde {F}}(\omega )}$${\displaystyle {\tilde {Q}}(\omega )}$${\displaystyle +2\omega _{p}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle -\omega _{p}}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle +\omega _{p}}$${\displaystyle 2\omega _{n}}$${\displaystyle -\omega _{p}}$${\displaystyle +\omega _{p}}$${\displaystyle q(t)}$

Параметрический резонанс [ править ]

Параметрический резонанс - это явление параметрического резонанса механических возмущений и колебаний на определенных частотах (и связанных с ними гармониках ). Этот эффект отличается от обычного резонанса тем, что демонстрирует явление нестабильности .

Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрический резонанс возникает, когда частота внешнего возбуждения равна удвоенной собственной частоте системы. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменение во времени системного параметра. Классическим примером параметрического резонанса является вертикально принудительный маятник.

Для малых амплитуд и путем линеаризации устойчивость периодического решения определяется уравнением Матье :

${\displaystyle {\ddot {u}}+(a+B\cos t)u=0}$

где - некоторое возмущение от периодического решения. Здесь термин действует как источник «энергии» и, как говорят, параметрически возбуждает систему. Уравнение Матье описывает многие другие физические системы для синусоидального параметрического возбуждения, такие как LC-цепь, в которой пластины конденсатора движутся синусоидально.${\displaystyle u}$${\displaystyle B\ \cos(t)}$

Параметрические усилители [ править ]

Введение [ править ]

Параметрический усилитель реализован в виде смесителя . Усиление микшера отображается на выходе как усиление усилителя. Слабый входной сигнал смешивается с сильным сигналом гетеродина, и полученный сильный выходной сигнал используется в последующих каскадах приемника.

Параметрические усилители также работают путем изменения параметра усилителя. Интуитивно это можно понять следующим образом для усилителя на основе переменного конденсатора. Заряд в конденсаторе подчиняется:${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=C\times V}$

следовательно, напряжение на нем

${\displaystyle V=Q/C.}$

Зная вышеизложенное, если конденсатор заряжается до тех пор, пока его напряжение не сравняется с напряжением выборки входящего слабого сигнала, и если емкость конденсатора затем уменьшается (скажем, вручную раздвигая пластины дальше друг от друга), то напряжение на конденсаторе увеличивается. . Таким образом усиливается напряжение слабого сигнала.

Если конденсатор представляет собой варикап-диод , то «перемещение пластин» может быть выполнено просто путем подачи переменного во времени постоянного напряжения на варикап-диод. Это управляющее напряжение обычно исходит от другого генератора, иногда называемого «насосом».

Результирующий выходной сигнал содержит частоты, которые являются суммой и разностью входного сигнала (f1) и сигнала накачки (f2): (f1 + f2) и (f1 - f2).

Практический параметрический генератор нуждается в следующих соединениях: одно для «общего» или « заземляющего », одно для питания насоса, одно для получения выходного сигнала и, возможно, четвертое для смещения. Параметрическому усилителю нужен пятый порт для ввода усиливаемого сигнала. Поскольку варакторный диод имеет только два соединения, он может быть только частью LC-сети с четырьмя собственными векторами с узлами на соединениях. Это может быть реализовано как трансимпедансный усилитель , усилитель бегущей волны или с помощью циркулятора .

Математическое уравнение [ править ]

Уравнение параметрического осциллятора можно расширить, добавив внешнюю движущую силу :${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta (t){\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}(t)x=E(t)}$.

Мы предполагаем, что затухание достаточно сильное, чтобы в отсутствие движущей силы амплитуда параметрических колебаний не расходилась, т. Е. Что . В этой ситуации параметрическая накачка снижает эффективное демпфирование в системе. Для иллюстрации, пусть постоянная затухания быть и предположим , что внешняя движущая сила находится в средней резонансной частоте , то есть . Уравнение становится${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \alpha t<D}$${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}b}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b\omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}\left[1+h_{0}\sin 2\omega _{0}t\right]x=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

чье решение примерно

${\displaystyle x(t)={\frac {2E_{0}}{\omega _{0}^{2}\left(2b-h_{0}\right)}}\cos \omega _{0}t}$.

По мере приближения к порогу амплитуда расходится. Когда система входит в параметрический резонанс, и амплитуда начинает экспоненциально расти, даже в отсутствие движущей силы .${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle 2b}$${\displaystyle h\geq 2b}$${\displaystyle E(t)}$

Преимущества [ править ]

1. Это очень чувствительно
2. усилитель с низким уровнем шума для сверхвысокочастотного и микроволнового радиосигнала
3. Уникальная возможность работать в качестве усилителя с беспроводным питанием, не требующего внутреннего источника питания ^[14]

Другие соответствующие математические результаты [ править ]

Если параметры любого линейного дифференциального уравнения второго порядка периодически меняются, анализ Флоке показывает, что решения должны изменяться либо синусоидально, либо экспоненциально.

Приведенное выше уравнение с периодическим изменением является примером уравнения Хилла . Если это простая синусоида, уравнение называется уравнением Матье .${\displaystyle q}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f(t)}$

См. Также [ править ]

• Гармонический осциллятор
• Уравнение Матье
• Оптический параметрический усилитель
• Оптический параметрический генератор

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Кюн Л. (1914) Elektrotech. З. , 35 , 816-819.
• Мамфорд, WW (1960). «Некоторые заметки по истории параметрических преобразователей». Труды Института Радиоинженеров . 48 (5): 848–853. DOI : 10,1109 / jrproc.1960.287620 . S2CID  51646108 .
• Pungs L. DRGM Nr. 588 822 (24 октября 1913 г.); DRP Nr. 281440 (1913); Электротех. З. , 44 , 78–81 (1923?); Proc. IRE , 49 , 378 (1961).

Внешние статьи [ править ]

• Элмер, Франц-Йозеф, " Лаборатория параметрического резонансного маятника Базельского университета ". unibas.ch, 20 июля 1998 г.
• Купер, Джеффри, " Параметрический резонанс в волновых уравнениях с периодическим во времени потенциалом ". Журнал СИАМ по математическому анализу, том 31, номер 4, стр. 821–835. Общество промышленной и прикладной математики, 2000.
• « Управляемый маятник: параметрический резонанс ». Phys.cmu.edu (Демонстрация физической механики или классической механики. Резонансные колебания, возникающие в простом маятнике с помощью периодически меняющейся длины маятника.)
• Мамфорд, WW, " Некоторые заметки по истории параметрических преобразователей ". Труды IRE, том 98, номер 5, стр. 848–853. Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике, май 1960 г.