Бифуркация удвоения периода

В теории динамических систем бифуркация удвоения периода происходит, когда небольшое изменение параметров системы вызывает появление новой периодической траектории из существующей периодической траектории — новой, имеющей удвоенный период оригинала. При удвоенном периоде требуется вдвое больше времени (или, в дискретной динамической системе, вдвое больше итераций), чтобы числовые значения, посещаемые системой, повторялись.

Бифуркация с уменьшением периода происходит, когда система переключается на новое поведение с половиной периода исходной системы.

Каскад удвоения периода представляет собой бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода. Такие каскады — обычный путь, по которому в динамических системах развивается хаос. ^[1] В гидродинамике они являются одним из возможных путей к турбулентности . ^[2]

где функция (дискретного) времени . ^[3] Предполагается, что параметр лежит в интервале , и в этом случае он ограничен на .${\ Displaystyle х_ {п}}$${\ Displaystyle п = 0,1,2, \ ldots}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle (0,4]}$${\ Displaystyle х_ {п}}$${\ Displaystyle [0,1]}$

Для между 1 и 3 сходится к стабильной неподвижной точке . Затем, между 3 и 3,44949, сходится к постоянному колебанию между двумя значениями , которые зависят от . По мере увеличения появляются колебания между 4 значениями, затем 8, 16, 32 и т.д. Эти удвоения периода достигают кульминации при , после чего появляются более сложные режимы. По мере увеличения существуют некоторые интервалы, в которых большинство начальных значений будут сходиться к одному или небольшому числу устойчивых колебаний, например, около .${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle х_ {п}}$${\ Displaystyle х_ {*} = (г-1) / г}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle х_ {п}}$${\ Displaystyle х_ {*}}$${\ Displaystyle х'_ {*}}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle г \ приблизительно 3,56995}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle г = 3,83}$

В интервале, где период соответствует некоторому положительному целому числу , не все точки на самом деле имеют период . Это отдельные точки, а не интервалы. Говорят, что эти точки находятся на неустойчивых орбитах, поскольку близлежащие точки не приближаются к той же орбите, что и они.${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$${\ Displaystyle п}$${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$

Бифуркации, сокращающие период вдвое (L), приводят к порядку, за которыми следуют бифуркации, удваивающие период (R), ведущие к хаосу.

Бифуркационная диаграмма логистической карты. Он показывает значения аттракторов , таких как и , в зависимости от параметра .${\ Displaystyle х_ {*}}$${\ Displaystyle х'_ {*}}$${\ Displaystyle г}$

Каскад удвоения периода в экспоненциальном отображении множества Мандельброта

Удвоение периода в уравнении Курамото–Сивашинского с периодическими граничными условиями. Кривые изображают решения уравнения Курамото–Сивашинского в проекции на энергетическую фазовую плоскость (E, dE/dt) , где E — L ² -норма решения. При ν = 0,056 существует периодическая орбита с периодом T ≈ 1,1759. Вблизи ν ≈ 0,0558 это решение распадается на 2 орбиты, которые далее разделяются по мере уменьшения ν . Именно при переходном значении ν новая орбита (красная пунктирная линия) имеет удвоенный период по сравнению с исходной. (Однако, поскольку νувеличивается дальше, отношение периодов отклоняется ровно от 2.)