Лемма о пинг-понге

В математике , в пинг-понг леммы или настольный теннис леммы , является одной из нескольких математических утверждений , которые обеспечивают , что некоторые элементы в группе , действующей на множестве свободно формирует на свободную подгруппу этой группы.

История [ править ]

Для пинг-понга аргумент восходит к концу 19 - го века и обычно приписывается ^[1] для Феликса Клейна , который использовал его для изучения подгрупп групп Клейна , то есть дискретных групп изометрий гиперболического 3-пространстве или, что то же преобразований Мёбиуса из сферы Римана . Лемма о пинг-понге была ключевым инструментом, использованным Жаком Титсом в его статье 1972 года ^[2], содержащей доказательство известного результата, теперь известного как альтернатива Титса . Результат утверждает, что конечно порожденная линейная группа либо виртуально разрешима, либо содержитсвободная подгруппа ранга два. Лемма о пинг-понге и ее варианты широко используются в геометрической топологии и геометрической теории групп .

Современные версии леммы о пинг-понге можно найти во многих книгах, таких как Lyndon & Schupp, ^[3] de la Harpe, ^[1] Bridson & Haefliger ^[4] и других.

Формальные заявления [ править ]

Лемма о пинг-понге для нескольких подгрупп [ править ]

Эта версия леммы о пинг-понге гарантирует, что несколько подгрупп группы, действующей на множестве, генерируют бесплатный продукт . Следующее утверждение фигурирует в ^[5], а доказательство - в. ^[1]

Пусть G - группа, действующая на множестве X, и пусть H ₁ , H ₂ , ...., H _k - нетривиальные подгруппы в G, где k ≥ 2, такие, что хотя бы одна из этих подгрупп имеет порядок больше 2. Предположим, существуют попарно непересекающиеся непустые подмножества X ₁ , X ₂ , ...., X _k в X такие, что выполняется следующее:

• Для любого i ≠ s и любого h ∈ H _i , h ≠ 1 имеем h ( X _s ) ⊆ X _i .

потом

${\displaystyle \langle H_{1},\dots ,H_{k}\rangle =H_{1}\ast \dots \ast H_{k}.}$

Доказательство [ править ]

По определению свободного произведения достаточно проверить, что данное (непустое) редуцированное слово представляет собой нетривиальный элемент . Пусть будет такое слово длины , и пусть${\displaystyle G}$${\displaystyle w}$${\displaystyle m\geq 2}$

${\displaystyle w=\prod _{i=1}^{m}w_{i},}$

где для некоторых . Поскольку сокращено, мы имеем для любого, и каждый отличен от элемента идентичности . Затем мы позволяем воздействовать на элемент одного из наборов . Поскольку мы предполагаем, что хотя бы одна подгруппа имеет порядок не менее 3, без ограничения общности мы можем предположить, что она имеет порядок не менее 3. Сначала мы делаем предположение, что и обе равны 1 (что подразумевает ). Отсюда мы рассматриваем действия . Получаем следующую цепочку сдерживаний:${\textstyle w_{i}\in H_{\alpha _{i}}}$${\textstyle \alpha _{i}\in \{1,\dots ,k\}}$${\textstyle w}$${\displaystyle \alpha _{i}\neq \alpha _{i+1}}$${\displaystyle i=1,\dots ,m-1}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle H_{\alpha _{i}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{m}}$${\displaystyle m\geq 3}$${\displaystyle w}$${\displaystyle X_{2}}$

${\displaystyle w(X_{2})\subseteq \prod _{i=1}^{m-1}w_{i}(X_{1})\subseteq \prod _{i=1}^{m-2}w_{i}(X_{\alpha _{m-1}})\subseteq \dots \subseteq w_{1}(X_{\alpha _{2}})\subseteq X_{1}.}$

Предполагая, что различные элементы не пересекаются, мы заключаем, что действует нетривиально на некотором элементе из , таким образом, представляет собой нетривиальный элемент из . ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle G}$

Чтобы завершить доказательство, мы должны рассмотреть три случая:

• если , то пусть (такое существует, поскольку по предположению имеет порядок не менее 3);${\displaystyle \alpha _{1}=1,\,\alpha _{m}\neq 1}$${\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{w_{1}^{-1},1\}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H_{1}}$
• если , то пусть ;${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}=1}$${\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{w_{m},1\}}$
• а если , то пусть .${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}\neq 1}$${\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{1\}}$

В каждом случае после сокращения становится сокращенным словом с первой и последней буквой внутри . Наконец, представляет собой нетривиальный элемент , как и делает . Это доказывает утверждение.${\displaystyle hwh^{-1}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle hwh^{-1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle w}$

Лемма о пинг-понге для циклических подгрупп [ править ]

Пусть G является группой действующих на множестве X . Пусть a ₁ , ..., a _k - элементы G бесконечного порядка, где k ≥ 2. Предположим, что существуют непересекающиеся непустые подмножества

X ₁ ⁺ , ..., X _k ⁺ и X ₁ ^- , ..., X _k ^-

из X со следующими свойствами:

• a _i ( X  -  X _i ^- ) ⊆ X _i ⁺ для i = 1, ..., k ;
• a _i ⁻¹ ( X  -  X _i ⁺ ) ⊆ X _i ^- для i = 1, ..., k .

Тогда подгруппа Н = < ₁ , ..., _к > ≤ G генерируется путем в ₁ , ..., _к является свободным со свободным базисом { ₁ , ..., а _K }.

Доказательство [ править ]

Это утверждение вытекает как следствие из версии для общих подгрупп , если мы позволим X _я = X _я ⁺ ∪ X _я ^- и пусть H _я = ⟨ _я ⟩.

Примеры [ править ]

Пример специальной линейной группы [ править ]

С помощью леммы о пинг-понге можно доказать ^[1], что подгруппа H = < A , B > ≤SL (2, Z ), порожденная матрицами

${\displaystyle \scriptstyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$ а также ${\displaystyle \scriptstyle B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}$

является свободным от ранга.

Доказательство [ править ]

Действительно, пусть H ₁ = < > и H ₂ = < B > быть циклические подгруппы из SL (2, Z ) , порожденную A и B соответственно. Несложно проверить, что A и B - элементы бесконечного порядка в SL (2, Z ) и что

${\displaystyle H_{1}=\{A^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$

а также

${\displaystyle H_{2}=\{B^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Рассмотрим стандартное действие SL (2, Z ) на R ² посредством линейных преобразований . Ставить

${\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}$

а также

${\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}.}$

Нетрудно проверить, используя приведенные выше явные описания H ₁ и H _2, что для любого нетривиального g  ∈  H ₁ имеем g ( X ₂ ) ⊆  X ₁ и что для любого нетривиального g  ∈  H ₂ имеем g ( X ₁ ) ⊆  X ₂ . Используя альтернативную форму леммы о пинг-понге для двух подгрупп, указанных выше, мы заключаем, что H  =  H ₁ ∗ H ₂ . Поскольку группыН ₁ и Н ₂ являются бесконечными циклическими , то отсюда следует , что Н является свободной группой ранга два.

Пример словесно-гиперболической группы [ править ]

Пусть G является слово-гиперболической группа , которая является без кручения , то есть без нетривиальных элементов конечного порядка . Пусть g ,  h  ∈  G - два некоммутирующих элемента, т. Е. Такие, что gh  ≠  hg . Тогда существует М ≥1 такое , что для любых целых п  ≥  M , м  ≥  M подгруппа H = < г ^п , ч ^м > ≤  G является свободным от ранга.

Набросок доказательства ^[6] [ править ]

Группа G действует на ее гиперболической границе ∂ G по гомеоморфизмах . Известно, что если a  ∈  G - нетривиальный элемент, то a имеет ровно две различные неподвижные точки, a ^∞ и a ^−∞ на ∂ G, и что a ^∞ - притягивающая неподвижная точка, а a ^−∞ - отталкивающая неподвижная точка .

Поскольку г и ч не коммутируют, основные факты о слове гиперболической группы следует , что г ^∞ , г ^-∞ , ч ^∞ и ч ^-∞ четыре различных точек ∂ G . Возьмем непересекающиеся окрестности U ₊ , U _- , V ₊ и V _- из г ^∞ , г ^-∞ , ч ^∞ и час ^-∞ в ∂ Gсоответственно. Тогда из свойств притяжения / отталкивания неподвижных точек g и h следует, что существует M  ≥ 1 такое, что для любых целых чисел n  ≥  M , m  ≥  M имеем:

• g ⁿ (∂ G - U _- ) ⊆ U ₊
• g ^{- n} (∂ G - U ₊ ) ⊆ U _-
• h ^m (∂ G - V _- ) ⊆ V ₊
• h ^{- m} (∂ G - V ₊ ) ⊆ V _-

Пинг-понг лемма теперь следует , что Н  = < г ^п , ч ^м > ≤  G является свободным от ранга.

Применение леммы о пинг-понге [ править ]

• Лемма о пинг-понге используется в клейновых группах для изучения их так называемых подгрупп Шоттки . В контексте клейновых групп лемма о пинг-понге может быть использована, чтобы показать, что конкретная группа изометрий гиперболического 3-пространства не только свободна, но также является собственно разрывной и геометрически конечной .
• Подобные аргументы типа Шоттки широко используются в геометрической теории групп , особенно для подгрупп словесно-гиперболических групп ^[6] и для групп автоморфизмов деревьев. ^[7]
• Пинг-понг лемма также используется для изучения подгрупп Шоттки типа из группы классов отображений из римановых поверхностей , где множество , на котором группа классов отображений действует является Тёрстон граница пространства Тейхмюллера . ^[8] Аналогичное рассуждение также используются при изучении подгрупп внешней группы автоморфизмов о наличии свободной группы . ^[9]
• Одно из самых известных приложений леммы о пинг-понге - это доказательство Жаком Титсом так называемой альтернативы Титса для линейных групп . ^[2] (см. Также ^[10] для обзора доказательства Титса и объяснения задействованных идей, включая использование леммы о пинг-понге).
• Существуют обобщения леммы о пинг-понге, которые производят не только бесплатные продукты, но также объединенные бесплатные продукты и расширения HNN . ^[3] Эти обобщения используются, в частности, при доказательстве теоремы Маскита о комбинации для клейновых групп . ^[11]
• Существуют также версии леммы о пинг-понге, которые гарантируют, что несколько элементов в группе порождают свободную полугруппу . Такие версии доступны как в общем контексте группового действия на множестве ^{[12], так} и для определенных типов действий, например, в контексте линейных групп , ^[13] групп, действующих на деревьях ^[14] и других. ^[15]

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

• Бесплатная группа
• Бесплатный продукт
• Клейнианская группа
• Альтернатива сисек
• Слово-гиперболическая группа
• Группа Шоттки