Практически

Для определения этого слова см. Определение виртуального слова в Викисловаре .

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , изучающей бесконечные группы , наречие виртуально используется для модификации свойства, так что оно должно выполняться только для подгруппы конечного индекса . Учитывая свойство P, группа G называется виртуально P, если существует подгруппа конечного индекса такая, что H обладает свойством P.${\ Displaystyle H \ leq G}$

Обычно это используется, когда P является абелевым , нильпотентным , разрешимым или свободным . Например, виртуально разрешимые группы являются одной из двух альтернатив альтернативы Титса , в то время как теорема Громова утверждает, что конечно порожденные группы с полиномиальным ростом являются в точности конечно порожденными виртуально нильпотентными группами.

Эта терминология также используется, когда P - просто другая группа. То есть, если G и Н представляет собой группа , то G является практически Н , если G имеет подгруппу K конечного индекса в G такое , что К является изоморфно к H .

В частности, группа практически тривиальна тогда и только тогда, когда она конечна. Две группы практически равны тогда и только тогда, когда они соизмеримы .

Примеры [ править ]

Практически абелев [ править ]

Следующие группы практически абелевы.

• Любая абелева группа.
• Любое полупрямое произведение, где N абелево, а H конечно. (Например, любая обобщенная группа диэдра .)${\ Displaystyle N \ rtimes H}$
• Любое полупрямое произведение, где N конечно, а H абелева.${\ Displaystyle N \ rtimes H}$
• Любая конечная группа (поскольку тривиальная подгруппа абелева).

Практически нильпотентный [ править ]

• Любая практически абелева группа.
• Любая нильпотентная группа.
• Любое полупрямое произведение, где N нильпотентно, а H конечно.${\ Displaystyle N \ rtimes H}$
• Любое полупрямое произведение, где N конечно, а H нильпотентно.${\ Displaystyle N \ rtimes H}$

Теорема Громова утверждает, что конечно порожденная группа практически нильпотентна тогда и только тогда, когда она имеет полиномиальный рост.

Практически полициклический [ править ]

Практически бесплатно [ править ]

• Любая бесплатная группа .
• Любая практически циклическая группа.
• Любое полупрямое произведение, в котором N свободно, а H конечно.${\ Displaystyle N \ rtimes H}$
• Любое полупрямое произведение, где N конечно, а H свободно.${\ Displaystyle N \ rtimes H}$
• Любое свободное произведение , где H и K конечны. (Например, модульная группа .)${\ displaystyle H * K}$ ${\ displaystyle \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {Z})}$

Из теоремы Столлинга следует, что любая виртуально свободная группа без кручения свободна.

Другое [ править ]

Свободная группа на 2 образующих является практически любой как следствие теоремы Нильсена – Шрайера и формулы индекса Шрайера .${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle F_ {n}}$${\ Displaystyle п \ geq 2}$

Группа виртуально подключена, так как имеет в ней индекс 2.${\ Displaystyle \ OperatorName {O} (п)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {SO} (п)}$

Ссылки [ править ]

Поищите практически в Викисловаре , бесплатном словаре.

• Шнебели, Ганс Рудольф (1978). «О виртуальных свойствах и расширениях групп». Mathematische Zeitschrift . 159 : 159–167. DOI : 10.1007 / bf01214488 . Zbl  0358.20048 .