В геометрической теории групп , теорема Громово о группах полиномиального роста , первой доказала Михаил Грома , [1] характеризует конечно порождена группа по полиномиальному росту, как те группы , которые имеют нильпотентные подгруппы конечного индекса .
Заявление
Скорость роста группы - это хорошо определенное понятие из асимптотического анализа . Сказать, что конечно порожденная группа имеет полиномиальный рост, означает, что количество элементов длины (относительно симметричного порождающего множества) не больше n ограничено сверху полиномиальной функцией p ( n ). Тогда порядок роста будет наименьшей степенью любой такой полиномиальной функции p .
Нильпотентная группа G представляет собой группа с нижним центральным рядом , заканчивающимся в единичной подгруппе.
Теорема Громова утверждает, что конечно порожденная группа имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда она имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса.
Темпы роста нильпотентных групп
Существует обширная литература по темпам роста, ведущая к теореме Громова. Более ранний результат Джозефа А. Вольфа [2] показал, что если G - конечно порожденная нильпотентная группа, то группа имеет полиномиальный рост. Ив Гиварч [3] и независимо Хайман Басс [4] (с разными доказательствами) вычислили точный порядок полиномиального роста. Пусть G - конечно порожденная нильпотентная группа с нижним центральным рядом
В частности, фактор-группа G k / G k +1 является конечно порожденной абелевой группой.
Формула Басса – Гиварка утверждает, что порядок полиномиального роста G равен
где:
- ранг обозначает ранг абелевой группы , т. е. наибольшее число независимых элементов без кручения абелевой группы.
В частности, из теоремы Громова и формулы Басса – Гиварка следует, что порядок полиномиального роста конечно порожденной группы всегда либо целое число, либо бесконечность (за исключением, например, дробных степеней).
Еще одно хорошее приложение теоремы Громова и формулы Басса – Гиварха - к квазиизометрической жесткости конечно порожденных абелевых групп: любая группа, квазиизометричная конечно порожденной абелевой группе, содержит свободную абелеву группу конечного индекса.
Доказательства теоремы Громова.
Для доказательства этой теоремы Громов ввел сходимость для метрических пространств. Эта сходимость, теперь называемая сходимостью Громова – Хаусдорфа , в настоящее время широко используется в геометрии.
Относительно простое доказательство теоремы было найдено Брюсом Клейнером . [5] Позже Теренс Тао и Иегуда Шалом модифицировали доказательство Кляйнера, чтобы сделать по существу элементарное доказательство, а также версию теоремы с явными оценками. [6] [7] Теорема Громова также следует из классификации приближенных групп, полученной Брейяром, Грином и Тао. Простое и краткое доказательство, основанное на методах функционального анализа, дано Одзавой . [8]
Гипотеза о разрыве
Помимо теоремы Громова, можно спросить, существует ли разрыв в спектре роста для конечно порожденной группы чуть выше полиномиального роста, отделяющий практически нильпотентные группы от других. Формально это означает, что существовала бы функция такая, что конечно порожденная группа практически нильпотентна тогда и только тогда, когда ее функция роста является . Такая теорема была получена Шаломом и Тао с явной функцией для некоторых . Единственные известные группы с суперполиномиальными и субэкспоненциальными функциями роста (по существу, обобщение группы Григорчука ) имеют тип роста вида, с участием . Исходя из этого, естественно спросить, существуют ли группы с типом роста как суперполиномиальным, так и с преобладанием. Это известно как гипотеза Гэпа . [9]
Рекомендации
- ↑ Громов, Михаил (1981). С приложением Жака Титса . «Группы полиномиального роста и расширяющиеся отображения» . Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика . 53 : 53–73. DOI : 10.1007 / BF02698687 . Руководство по ремонту 0623534 . S2CID 121512559 .
- ^ Вольф, Джозеф А. (1968). «Рост конечно порожденных разрешимых групп и кривизна римановых многообразий» . Журнал дифференциальной геометрии . 2 (4): 421–446. DOI : 10.4310 / JDG / 1214428658 . Руководство по ремонту 0248688 .
- ^ Guivarc'h, Ив (1973). "Полиномиальный круассан и периоды гармоничных функций" . Бык. Soc. Математика. Франция (на французском). 101 : 333–379. DOI : 10,24033 / bsmf.1764 . Руководство по ремонту 0369608 .
- ^ Басс, Хайман (1972). «Степень полиномиального роста конечно порожденных нильпотентных групп». Труды Лондонского математического общества . Series 3. 25 (4): 603–614. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-25.4.603 . Руководство по ремонту 0379672 .
- ^ Кляйнер, Брюс (2010). «Новое доказательство теоремы Громова о группах полиномиального роста». Журнал Американского математического общества . 23 (3): 815–829. arXiv : 0710.4593 . Bibcode : 2010JAMS ... 23..815K . DOI : 10.1090 / S0894-0347-09-00658-4 . Руководство по ремонту 2629989 . S2CID 328337 .
- ^ Тао, Теренс (18 февраля 2010 г.). «Доказательство теоремы Громова» . Что нового .
- ^ Шалом, Иегуда; Тао, Теренс (2010). «Конечная версия теоремы Громова о полиномиальном росте». Геом. Funct. Анальный. 20 (6): 1502–1547. arXiv : 0910.4148 . DOI : 10.1007 / s00039-010-0096-1 . Руководство по ремонту 2739001 . S2CID 115182677 .
- ^ Одзава, Нарутака (2018). «Функциональное аналитическое доказательство теоремы Громова о полиномиальном росте». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 51 (3): 549–556. arXiv : 1510.04223 . DOI : 10,24033 / asens.2360 . Руководство по ремонту 3831031 . S2CID 119278398 .
- ^ Григорчук, Ростислав И. (1991). «О росте в теории групп». Труды Международного конгресса математиков, Vol. I, II (Киото, 1990) . Математика. Soc. Япония. С. 325–338.