Примерная группа

В математике , приблизительная группа является подмножество группы , которая ведет себя как подгруппы «до ошибки постоянной», в точном количественном отношении (так термина приблизительной подгруппы может быть более правильно). Например, требуется, чтобы набор произведений элементов в подмножестве был не намного больше, чем само подмножество (в то время как для подгруппы требуется, чтобы они были равны). Это понятие было введено в 2010-х годах, но его можно проследить до более старых источников в аддитивной комбинаторике .

Формальное определение [ править ]

Позвольте быть группой и ; для двух подмножеств обозначим через множество всех продуктов . Непустая подмножество является -approximate подгруппа из , если: ^[1]${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K \ geq 1}$${\ Displaystyle X, Y \ подмножество G}$${\ Displaystyle X \ cdot Y}$${\ displaystyle xy, x \ in X, y \ in Y}$${\ Displaystyle A \ подмножество G}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$

1. Это симметрично, то есть если тогда ;${\ displaystyle g \ in A}$${\ displaystyle g ^ {- 1} \ in A}$
2. Существует подмножество мощности такое, что .${\ Displaystyle X \ подмножество G}$${\ displaystyle | X | \ leq K}$${\ Displaystyle A \ cdot A \ подмножество X \ cdot A}$

Сразу проверяется, что 1-приближенная подгруппа - это то же самое, что и настоящая подгруппа. Конечно, это определение интересно только тогда, когда оно мало по сравнению с (в частности, любое подмножество является приблизительной подгруппой). В приложениях он часто используется с фиксированным и уходящим в бесконечность.${\ displaystyle K}$${\ displaystyle | A |}$${\ Displaystyle B \ подмножество G}$${\ displaystyle | B |}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle | A |}$

Примеры приближенных подгрупп, которые не являются группами, представлены симметричными интервалами и, в более общем смысле, арифметическими прогрессиями в целых числах. Действительно, для всего подмножества является 2-приближенная подгруппа: набор содержится в объединении двух трансляций и из . Обобщенная арифметическая прогрессия в этом подмножество в формах , и это -approximate подгруппа.${\ Displaystyle п \ geq 1}$${\ Displaystyle X = [- N, N] \ подмножество \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle X + X = [- 2N, 2N]}$${\displaystyle X+N}$${\displaystyle X-N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{n_{1}x_{1}+\cdots +n_{d}x_{d}:|n_{i}|\leq N_{i}\}}$${\displaystyle 2^{d}}$

Более общий пример - шары в словесной метрике в конечно порожденных нильпотентных группах .

Классификация примерных подгрупп [ править ]

Приближенные подгруппы целочисленной группы полностью классифицировали Имре З. Ружа и Фрейман. ^[2] Результат сформулирован следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Для любого существуют такие, что для любой -приблизительной подгруппы существует обобщенная арифметическая прогрессия, порожденная не более чем целыми числами и содержащая не менее элементов, такая, что .${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C_{K},c_{K}>0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\subset \mathbb {Z} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle c_{K}|A|}$${\displaystyle A+A+A+A\supset P}$

Константы можно резко оценить. ^[3] В частности , содержится не более чем в переводах : это означает, что приближенные подгруппы являются «почти» обобщенными арифметическими прогрессиями.${\displaystyle C_{K},C_{K}',c_{K}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{K}'}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Работа Брейяра – Грина – Тао (кульминация усилий, начатых несколькими годами ранее другими людьми) является обширным обобщением этого результата. В очень общем виде его утверждение выглядит следующим образом: ^[4]

Пусть ; существует такое, что имеет место следующее. Позвольте быть группой и a -приближенной подгруппой в . Существуют подгруппы с конечными и нильпотентными такими , что подгруппа, порожденная с помощью, содержит и с .${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H\triangleleft G_{0}\leq G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G_{0}/H}$${\displaystyle A^{4}\supset H}$${\displaystyle A^{4}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle A\subset X\cdot G_{0}}$${\displaystyle |X|\leq C_{K}}$

Утверждение также дает некоторую информацию о характеристиках (ранге и шаге) нильпотентной группы .${\displaystyle G_{0}/H}$

В случае, когда - конечная матричная группа, результаты можно уточнить, например: ^[5]${\displaystyle G}$

Пусть . Для любого существует такая константа , что для любого конечного поля , любой простой подгруппы и любой -приближенной подгруппы либо содержится в собственной подгруппе , либо , либо .${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C_{d}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\subset G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |A|\leq K^{C_{d}}}$${\displaystyle |A|\geq |G|/K^{C_{d}}}$

Теорема применима, например, к ; Дело в том, что константа не зависит от мощности поля. В некотором смысле это говорит об отсутствии интересных приближенных подгрупп (кроме настоящих подгрупп) в конечных простых линейных группах (они либо «тривиальные», то есть очень маленькие, либо «не собственные», то есть почти равные всей группе) .${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$${\displaystyle q}$

Приложения [ править ]

Теорема Брейяра – Грина – Тао о классификации приближенных групп может быть использована для нового доказательства теоремы Громова о группах полиномиального роста . Полученный результат на самом деле немного сильнее, поскольку он устанавливает, что существует « разрыв роста » между практически нильпотентными группами (полиномиального роста) и другими группами; то есть существует (суперполиномиальная) функция такая, что любая группа с функцией роста, ограниченной кратным числом, является практически нильпотентной. ^[6]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Другие приложения относятся к построению расширяющих графов из графов Кэли конечных простых групп и к смежной теме сверхсильных приближений . ^{[7] [8]}

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брейяр, Эммануэль (2014). «Расширительные графы, свойство (τ) и приближенные группы». В Бествине, Младен; Сагеев, Михах; Фогтманн, Карен (ред.). Геометрическая теория групп (PDF) . Серия математических исследований МАС / Парк-Сити. 21 . Американская математика. Soc. С. 325–378.CS1 maint: ref=harv (link)
• Брейяр, Эммануэль; Тао, Теренс; Грин, Бен (2012). «Структура примерных групп». Publ. Математика. IHES . 116 : 115–221. arXiv : 1110.5008 . DOI : 10.1007 / s10240-012-0043-9 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Грин, Бен (май 2012 г.). "Что такое ... приблизительная группа?" (PDF) . Уведомления AMS . 59 (5).CS1 maint: ref=harv (link)