Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сверхсильное приближение - это обобщение сильного приближения в алгебраических группах G для получения результатов о спектральной щели . Речь идет о спектре матрицы Лапласа, ассоциированной с семейством частных дискретной группы Γ; а разрыв - это разрыв между первым и вторым собственными значениями (нормализация так, чтобы первое собственное значение соответствовало постоянным функциям как собственным векторам). Здесь Γ - подгруппа рациональных точек группы G , но не обязательно решетка : это может быть так называемая тонкая группа . Рассматриваемый «пробел» - это нижняя граница (абсолютная константа) разности этих собственных значений.

Следствием и эквивалентом этого свойства, потенциально справедливого для плотных по Зарисскому подгрупп Γ специальной линейной группы над целыми числами и в более общих классах алгебраических групп G , является то, что последовательность графов Кэли для редукций Γ p по модулю простых чисел p , относительно любого фиксированного множества S в Γ, которое является симметричным множеством и порождающим множеством , является семейством расширителей . [1]

В этом контексте «сильное приближение» - это утверждение, что S при сокращении порождает полную группу точек G над простыми полями с p элементами, когда p достаточно велико. Это эквивалентно связности графов Кэли (когда p достаточно велико) или тому, что локально постоянные функции на этих графах постоянны, так что собственное подпространство для первого собственного значения является одномерным. Таким образом, сверхсильное приближение является конкретным количественным улучшением этих утверждений.

Фон [ править ]

Свойство (τ) является аналогом в теории дискретных групп свойства Каждана (T) и было введено Александром Любоцким . [2] Для данного семейства нормальных подгрупп N конечного индекса в Γ, одна эквивалентная формулировка состоит в том, что графы Кэли групп Γ / N , все относительно фиксированного симметричного набора образующих S , образуют семейство расширителей. [3] Следовательно, сверхсильное приближение - это формулировка свойства (τ), где подгруппы N являются ядрами редукции по модулю достаточно больших простых чисел p .

В гипотезах Lubotzky-Weiss состояние (для специальных линейных групп и редукции по модулю простых чисел) , что результат расширения такого рода имеет место независимо от выбора S . Для приложений также важно иметь результаты, в которых модуль не ограничивается простым числом. [4]

Доказательства сверхсильного приближения [ править ]

Результаты по сверхсильной аппроксимации были получены с использованием техники приближенных подгрупп и скорости роста конечных простых групп. [5]

Примечания [ править ]

  1. ^ ( Breuillard & Oh 2014 , страницы x, 343)
  2. ^ http://www.ams.org/notices/200506/what-is.pdf
  3. ^ Александер Лубоцки (1 января 1994). Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры . Springer. п. 49. ISBN 978-3-7643-5075-8.
  4. ^ ( Breuillard & Oh 2014 , страницы 3-4)
  5. ^ ( Breuillard & Oh 2014 , стр. Xi)

Ссылки [ править ]