Аппроксимация в алгебраических группах

В алгебраической теории групп аппроксимационные теоремы являются расширением китайской теоремы об остатках на алгебраические группы G над глобальными полями k .

История

Эйхлер (1938) доказал сильное приближение для некоторых классических групп. Сильная аппроксимация была установлена в 1960-х и 1970-х годах для полупростых односвязных алгебраических групп над глобальными полями . Результаты для числовых полей принадлежат Кнезеру ( 1966 ) и Платонову ( 1969 ); случай функционального поля над конечными полями принадлежит Маргулису ( 1977 ) и Прасаду ( 1977 ). В случае числового поля Платонов также доказал родственный результат о локальных полях, названный гипотезой Кнезера – Титса ..

Формальные определения и свойства

Пусть G — линейная алгебраическая группа над глобальным полем k и A — кольцо аделей поля k . Если S — непустое конечное множество мест k , то мы пишем A ^S для кольца S -аделей и A _S для произведения пополнений k _s для s в конечном множестве S . Для ^любого выбора S G ( k ) вкладывается в G ( _AS ) и G ( AS).

Вопрос, заданный в слабом приближении, состоит в том, имеет ли вложение G ( k ) в G ( AS ) _{плотный} образ. Если группа G связна и k -рациональна, то она удовлетворяет слабой аппроксимации относительно любого множества S ( Платонов, Рапинчук 1994 , с.402) . В более общем случае для любой связной группы G существует конечное множество T конечных мест числа k , такое что G удовлетворяет слабой аппроксимации относительно любого множества S , не пересекающегося с T (Платонов, Рапинчук 1994 , с.415) . В частности, если k — поле алгебраических чисел, то любая группа G удовлетворяет слабой аппроксимации относительно множества S = S∞ _{бесконечных} мест.

Вопрос, заданный в сильном приближении, заключается в том, имеет ли вложение G ( k ) в G ( A ^S ) плотный образ, или, что то же самое, имеет ли множество

г ( к ) г ( А _С )

является плотным подмножеством в G ( A ). Основная теорема о сильной аппроксимации ( Kneser 1966 , p.188) утверждает, что неразрешимая линейная алгебраическая группа G над глобальным полем k имеет сильную аппроксимацию для конечного множества S тогда и только тогда, когда ее радикал N унипотентен , G / N односвязна, и каждая почти простая компонента H группы G / N имеет некомпактную компоненту Hs для некоторого _s из S ( в зависимости отХ ).

Доказательства сильной аппроксимации зависели от принципа Хассе для алгебраических групп, который для групп типа Е8 был _{доказан} только несколько лет спустя.

Слабая аппроксимация выполняется для более широкого класса групп, включая присоединенные группы и внутренние формы групп Шевалле , показывая, что свойство сильной аппроксимации является ограничительным.

Смотрите также

Сверхсильное приближение

использованная литература

Эйхлер, Мартин (1938), «Allgemeine Kongruenzklasseneinteilungen der Ideale einfacher Algebren über алгебраический Zahlkörpern und ihre L-Reihen». , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 179 : 227–251, doi : 10.1515/crll.1938.179.227 , ISSN 0075-4102
Кнезер, Мартин (1966), «Сильное приближение», алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 187–196, MR 0213361
Маргулис Г.А. (1977), "Коограниченные подгруппы в алгебраических группах над локальными полями", Академия наук СССР. Функциональный анализ и его приложения , 11 (2): 45–57, 95, ISSN 0374-1990 , MR 0442107
Платонов В.П. (1969), "Проблема сильной аппроксимации и гипотеза Кнезера – Титса для алгебраических групп", Известия АН СССР. Серия Математическая , 33 : 1211–1219, ISSN 0373-2436 , MR 0258839
Платонов, Владимир; Рапинчук, Андрей (1994), Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 г. Рэйчел Роуэн.) , Pure and Applied Mathematics, 139 , Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-558180-7, МР 1278263
Прасад, Гопал (1977), «Сильное приближение полупростых групп над функциональными полями», Annals of Mathematics , Second Series, 105 (3): 553–572, doi : 10.2307/1970924 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970924 , МР 0444571