В математике , то присоединенное представление (или присоединенное действие ) от группы Ли G является способом представления элементов группы как линейные преобразования из группы алгебры Ли , рассматриваемых в качестве векторного пространства . Например, если G -, Группа Ли вещественный п матрицы с размерностью п обратимых матриц , то присоединенное представлением является группа гомоморфизм , который посылает обратимый п матрицы с размерностью п матрицы к эндоморфизму векторного пространства всех линейных преобразований определяется: .
Для каждого г в G , определим Ad г быть производной от ф г в нуле:
где d - дифференциал, а- касательное пространство в начале координат e ( e - единица группы G ). С- автоморфизм группы Ли, Ad g - автоморфизм алгебры Ли; т.е. обратимое линейное преобразование изсамому себе, сохраняющему скобку Ли . Более того, поскольку - гомоморфизм групп, тоже является гомоморфизмом групп. [1] Следовательно, отображение
Если G - погруженная подгруппа Ли общей линейной группы (называемой иммерслинейной группой Ли), то алгебра Ли состоит из матриц, а экспоненциальное отображение - это матричное экспоненциальноедля матриц X с малыми операторными нормами. Таким образом, для g в G и малых X в, взяв производную от при t = 0 получается:
где справа - произведения матриц. Если- замкнутая подгруппа (то есть G - матричная группа Ли), то эта формула верна для всех g в G и всех X в.
Кратко, присоединенное представление является представлением изотропии , связанное с сопряжением действия G вокруг единичного элемента G .
Производная от Ad
Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли , взяв производную в единице.
Взяв производную от сопряженного отображения
в единице дает присоединенное представление алгебры Лииз G :
где является алгеброй Ли которые могут быть идентифицированы с дифференцированием алгебры из. Можно показать, что
для всех , где правая часть задается (индуцируется) скобкой Ли векторных полей . Действительно, [2] напомним, что, просматриваякак алгебра Ли левоинвариантных векторных полей на G скобка назадается как: [3] для левоинвариантных векторных полей X , Y ,
где обозначает поток , генерируемый X . Как выясняется из,, примерно потому, что обе стороны удовлетворяют одному и тому же ОДУ, определяющему поток. Это, где обозначает правое умножение на . С другой стороны, поскольку, по цепному правилу ,
поскольку Y левоинвариантен. Следовательно,
,
что и нужно было показать.
Таким образом, совпадает с тем же, что определено в § Присоединенное представление алгебры Ли ниже. Ad и ad связаны экспоненциальным отображением : в частности, Ad exp ( x ) = exp (ad x ) для всех x в алгебре Ли. [4] Это следствие общего результата, связывающего гомоморфизмы групп Ли и алгебр Ли через экспоненциальное отображение. [5]
Если G - иммерслинейная группа Ли, то приведенное выше вычисление упрощается: действительно, как отмечалось ранее, и таким образом с ,
.
Взяв производную от этого в , у нас есть:
.
Общий случай также можно вывести из линейного случая: действительно, пусть быть immersely линейной группы Ли с той же алгеброй Ли, что и G . Тогда производная Ad в единице G и G ' совпадают; следовательно, без ограничения общности G можно считать G ' .
Обозначения верхнего / нижнего регистра широко используются в литературе. Так, например, вектор x в алгебреформирует векторное поле X в группе G . Аналогично, сопряженное отображение ad x y = [ x , y ] векторов изгомоморфна [ разъяснение необходимости ] к Ли производной L X Y = [ X , Y ] векторных полей на группе G , рассматриваемой как коллектор .
Позволять - алгебра Ли над некоторым полем. Для элемента x алгебры Ли, определяется сопряженное действие x на как карта
для всех у в. Это называется присоединенным эндоморфизмом или присоединенным действием . ( также часто обозначается как .) Поскольку скобка билинейна, это определяет линейное отображение
задается формулой x ↦ ad x . Внутри конца, скобка по определению задается коммутатором двух операторов:
где обозначает композицию линейных отображений. Используя приведенное выше определение скобки, тождество Якоби
принимает форму
где x , y и z - произвольные элементы.
Последнее тождество говорит, что ad является гомоморфизмом алгебр Ли; т.е. линейное отображение, переводящее скобки в скобки. Следовательно, ad является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением алгебры.
Если конечномерно, то End изоморфен , алгебра Ли полной линейной группы векторного пространстваи если основа для нее выбрана, композиция соответствует матричному умножению .
На более теоретико-модульном языке конструкция говорит, что является модулем над собой.
Ядро объявления является центром по(это просто перефразирование определения). С другой стороны, для каждого элемента z в, линейное отображение подчиняется закону Лейбница :
для всех x и y в алгебре (повторная формулировка тождества Якоби). Другими словами, ad z является производным, а образ под ad является подалгеброй в Der, пространство всех выводов .
Когда - алгебра Ли группы Ли G , ad - дифференциал Ad в единичном элементе группы G (см. # Производный от Ad выше).
Имеется следующая формула, аналогичная формуле Лейбница : для скаляров и элементы алгебры Ли ,
.
Структурные константы
Явные матричные элементы присоединенного представления задаются структурными константами алгебры. То есть пусть {e i } будет набором базисных векторов алгебры с
Тогда матричные элементы для ad e i имеют вид
Так, например, присоединенное представление su (2) является определяющим представлением so (3) .
Примеры
Если G является абелевой размерности п , присоединенное представление G тривиальное п - мерное представление.
Если G является матрица группы Ли (т.е. замкнутая подгруппа в GL ( п , ℂ)), то ее алгебра Ли есть алгебра п × п матриц с коммутатором для скобки Ли (т.е. подалгебры). В этом случае сопряженное отображение задается формулой Ad g ( x ) = gxg −1 .
Если G - это SL (2, R ) (вещественные матрицы 2 × 2 с определителем 1), алгебра Ли группы G состоит из вещественных матриц 2 × 2 со следом 0. Представление эквивалентно представлению, заданному действием группы G линейным подстановка в пространстве двоичных (т. е. двух переменных) квадратичных форм .
Характеристики
В следующей таблице приведены свойства различных карт, упомянутых в определении.
Гомоморфизм групп Ли:
Автоморфизм группы Ли:
Гомоморфизм групп Ли:
Автоморфизм алгебры Ли:
линейный
Гомоморфизм алгебр Ли:
линейный
Вывод алгебры Ли:
линейный
Изображение из G при присоединенном представлении обозначается Ad ( G ). Если G является подключен , то ядро присоединенного представления совпадает с ядром Ф , который является только центром в G . Следовательно, присоединенное представление связной группы Ли G является точным тогда и только тогда, когда G не имеет центра. Вообще, если G не подключен, то ядро отображения сопряженного является центратором из компонента идентичности G 0 из G . По первой теореме об изоморфизме имеем
Для конечномерной вещественной алгебры Ли , по третьей теореме Ли существует связная группа Ли алгебра Ли которого является образом присоединенного представления (т.е. .) Она называется присоединенной группой из.
Сейчас если является алгеброй Ли связной группы Ли G , тоявляется образом присоединенного представления группы G :.
Корни полупростой группы Ли
Если G является полупростым , ненулевые веса вида представления сопряженного корневой системы . [6] (В общем, прежде чем продолжить, нужно перейти к комплексификации алгебры Ли.) Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим случай G = SL ( n , R ). В качестве максимального тора T можно взять группу диагональных матриц diag ( t 1 , ..., t n ) . Сопряжение элементом T посылает
Таким образом, T действует тривиально на диагональной части алгебры Ли группы G и с собственными векторами t i t j −1 на различные недиагональные элементы. Корни G - это веса diag ( t 1 , ..., t n ) → t i t j −1 . Этим объясняется стандартное описание корневой системы G = SL n ( R ) как набора векторов вида e i - e j .
Пример SL (2, R)
При вычислении корневой системы для одного из простейших случаев групп Ли группа SL (2, R ) двумерных матриц с определителем 1 состоит из набора матриц вида:
где a , b , c , d действительны и ad - bc = 1.
Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли или максимальный тор T задается подмножеством всех матриц вида
с участием . Алгебра Ли максимального тора - это подалгебра Картана, состоящая из матриц
Если мы сопрягаем элемент SL (2, R ) элементом максимального тора, получаем
Матрицы
являются собственными векторами операции сопряжения с собственными значениями . Функция Λ, дающая является мультипликативным характером или гомоморфизмом тора группы в основное поле R. Функция λ, задающая θ, является весом алгебры Ли с весовым пространством, заданным оболочкой матриц.
Приятно показать мультипликативность персонажа и линейность веса. Далее можно доказать, что дифференциал Λ можно использовать для создания веса. Также полезно рассмотреть случай SL (3, R ).
Варианты и аналоги
Присоединенное представление также может быть определено для алгебраических групп над любым полем. [ требуется разъяснение ]
Представление Коприсоединенного является Контрагредиентным представлением присоединенного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в коприсоединенном представлении является симплектическим многообразием . Согласно философии теории представлений, известной как метод орбит (см. Также формулу характера Кириллова ), неприводимые представления группы Ли G должны быть каким-то образом проиндексированы ее коприсоединенными орбитами. Это соотношение наиболее близко к случаю нильпотентных групп Ли .
Заметки
^ Действительно, цепное правило ,
^ Kobayashi & Номидз 1996 , стр 41
^ Kobayashi & Номидз 1996 , предложение 1.9.
^ Hall 2015 Предложение 3,35
^ Холл 2015 Теорема 3.28
^ Зал 2015 Раздел 7.3
Рекомендации
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .
Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии. 1 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.