Скорость роста (теория групп)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  теория групп «Темпы роста»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической теме геометрической теории групп , то темпы роста из группы по отношению к симметричному ДГУ описывают , как быстро группа растет. Каждый элемент в группе может быть записан как произведение генераторов, а скорость роста учитывает количество элементов, которые могут быть записаны как произведение длины n .

Определение [ править ]

Предположим, что G - конечно порожденная группа; а T - конечный симметричный набор образующих (симметричный означает, что если, то ). Любой элемент может быть выражен в виде слова в Т -alphabet${\ displaystyle x \ in T}$${\ displaystyle x ^ {- 1} \ in T}$${\ displaystyle x \ in G}$

${\ displaystyle x = a_ {1} \ cdot a_ {2} \ cdots a_ {k} {\ text {where}} a_ {i} \ in T.}$

Рассмотрим подмножество всех элементов группы G, которые можно выразить таким словом длины ≤  n

${\ displaystyle B_ {n} (G, T) = \ {x \ in G \ mid x = a_ {1} \ cdot a_ {2} \ cdots a_ {k} {\ text {where}} a_ {i} \ in T {\ text {and}} k \ leq n \}.}$

Это множество является просто замкнутым шаром радиуса n в слове метрика d на G относительно порождающего множества T :

${\ Displaystyle B_ {n} (G, T) = \ {x \ in G \ mid d (x, e) \ leq n \}.}$

Более геометрически, это набор вершин в графе Кэли относительно T, которые находятся на расстоянии n от единицы.${\ displaystyle B_ {n} (G, T)}$

Для двух неубывающих положительных функций a и b можно сказать, что они эквивалентны ( ), если существует константа C такая, что для всех натуральных чисел  n ,${\displaystyle a\sim b}$

${\displaystyle a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn),\,}$

например, если .${\displaystyle p^{n}\sim q^{n}}$${\displaystyle p,q>1}$

Тогда скорость роста группы G можно определить как соответствующий класс эквивалентности функции

${\displaystyle \#(n)=|B_{n}(G,T)|,}$

где обозначает количество элементов в наборе . Хотя функция зависит от набора образующих T, ее скорость роста не зависит (см. Ниже), и поэтому скорость роста дает инвариант группы.${\displaystyle |B_{n}(G,T)|}$${\displaystyle B_{n}(G,T)}$${\displaystyle \#(n)}$

Слово метрики д и , следовательно , множества зависят от генераторной установки Т . Однако любые две такие метрики билипшицевы эквивалентны в следующем смысле: для конечных симметричных порождающих множеств E , F существует положительная константа C такая, что${\displaystyle B_{n}(G,T)}$

${\displaystyle {1 \over C}\ d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\ d_{F}(x,y).}$

Как непосредственное следствие этого неравенства мы получаем, что скорость роста не зависит от выбора порождающего множества.

Полиномиальный и экспоненциальный рост [ править ]

Если

${\displaystyle \#(n)\leq C(n^{k}+1)}$

для некоторых мы говорим, что G имеет полиномиальную скорость роста . Нижняя грань таких k называется порядком полиномиального роста . Согласно теореме Громова группа полиномиального роста является практически нильпотентной группой , т. Е. Имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса . В частности, порядок полиномиального роста должен быть натуральным числом и по сути .${\displaystyle C,k<\infty }$${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

Если для некоторых мы говорим, что G имеет экспоненциальную скорость роста . Каждая конечно порожденная группа G имеет не более чем экспоненциальный рост, т. Е. Для некоторых так и есть .${\displaystyle \#(n)\geq a^{n}}$${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle b>1}$${\displaystyle \#(n)\leq b^{n}}$

Если растет медленнее, чем любая экспоненциальная функция , G имеет субэкспоненциальную скорость роста . Любая такая группа поддается .${\displaystyle \#(n)}$

Примеры [ править ]

• Свободная группа конечного ранга имеет экспоненциальную скорость роста.${\displaystyle k>1}$
• Конечная группа имеет постоянный рост, то есть полиномиальный рост порядка 0, и это включает в себя фундаментальные группы из многообразия которых универсального накрытие является компактным .
• Если M - замкнутое риманово многообразие с отрицательной кривизной, то его фундаментальная группа имеет экспоненциальную скорость роста. Джон Милнор доказал это , используя тот факт , что слово метрики на это квазиизометрично к универсальному накрывающему из М . ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$${\displaystyle \pi _{1}(M)}$
• Свободная абелева группа имеет полиномиальную скорость роста порядка г .${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$
• Дискретная группа Гейзенберга имеет полиномиальный темпы роста порядка 4. Этот факт является частным случаем общей теоремы Хайман Bass и Ив Guivarch , что обсуждается в статье о теореме Громова .${\displaystyle H_{3}}$
• Группа фонарщиков растет в геометрической прогрессии.
• Существование групп с промежуточным ростом , т. Е. Субэкспоненциальным, а не полиномиальным, оставалось открытым в течение многих лет. Этот вопрос был задан Милнором в 1968 году, и наконец, в 1984 году на него дал положительный ответ Ростислав Григорчук . В этой области все еще есть открытые вопросы, и полная картина того, какие порядки роста возможны, а какие нет, отсутствует.
• В треугольных групп включают в себя бесконечное множество конечных групп (сферические, соответствующие сферы), три группы квадратичного роста (евклидовы те, соответствующие евклидовой плоскости), и бесконечно много групп экспоненциального роста (в гиперболические, соответствующие гиперболической самолет).

См. Также [ править ]

• Связь с изопериметрическими неравенствами

Ссылки [ править ]

• Милнор Дж. (1968). «Замечание о кривизне и фундаментальной группе» . Журнал дифференциальной геометрии . 2 : 1–7. DOI : 10.4310 / JDG / 1214501132 .
• Григорчук Р.И. (1984). «Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних». Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. (на русском). 48 (5): 939–985.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ростислав Григорчук и Игорь Пак (2006). «Группы среднего роста: введение для начинающих». arXiv : math.GR/0607384 .