Соизмеримость (теория групп)

В математике , особенно в теории групп, две группы соизмеримы, если они различаются лишь на конечную величину в точном смысле. Соизмеритель из подгруппы еще одна подгруппа, связанная с нормализатора .

Соизмеримость в теории групп [ править ]

Две группы G ₁ и G ₂ называются ( абстрактно ) соизмеримы , если существуют подгруппы Н ₁ ⊂ G ₁ и Н ₂ ⊂ G ₂ из конечного индекса такой , что Н ₁ является изоморфно к H ₂ . ^[1] Например:

Группа конечна тогда и только тогда, когда она соизмерима с тривиальной группой.
Любые две конечно порожденные свободные группы не менее чем на двух образующих соизмеримы друг с другом. ^[2] Группа SL (2, Z ) также соизмерима с этими свободными группами.
Любые две поверхностные группы из рода , по меньшей мере 2 соизмеримы друг с другом.

Другое, но родственное понятие используется для подгрупп данной группы. А именно, две подгруппы Γ ₁ и Γ ₂ группы G называются соизмеримыми, если пересечение Γ ₁ ∩ Γ ₂ имеет конечный индекс как в Γ _{1, так} и в Γ ₂ . Ясно, что отсюда следует, что Γ ₁ и Γ ₂ абстрактно соизмеримы.

Пример: для ненулевых действительных чисел и б , подгруппа R генерируется с помощью соизмерима с подгруппой , порожденной Ь тогда и только тогда , когда действительные числа а и б являются соизмеримыми , а это означает , что / б принадлежит рациональным числам Q .

В геометрической теории групп , конечно порожденная группа рассматривается как метрическое пространство , используя слово метрики . Если две группы (абстрактно) соизмеримы, то они квазиизометричны . ^[3] Было полезно спросить, когда верно обратное.

Существует аналогичное понятие линейной алгебры: два линейных подпространств S и Т из векторного пространства V являются соизмеримыми , если пересечение S ∩ T имеет конечную коразмерность в обоих S и T .

В топологии [ править ]

Два линейно-связных топологических пространства иногда называют соизмеримыми, если они имеют гомеоморфные конечнолистные накрывающие пространства . В зависимости от типа рассматриваемого пространства можно использовать в определении гомотопические эквивалентности или диффеоморфизмы вместо гомеоморфизмов. В силу связи между накрывающими пространствами и фундаментальной группой соизмеримые пространства имеют соизмеримые фундаментальные группы.

Пример: многообразие Гизекинга соизмеримо с дополнением к узлу восьмерка ; это оба некомпактных гиперболических трехмерных многообразия конечного объема. С другой стороны, существует бесконечно много различных классов соизмеримости компактных трехмерных гиперболических многообразий, а также некомпактных трехмерных гиперболических многообразий конечного объема. ^[4]

Соизмеритель [ править ]

Соизмеритель подгруппы Г группы G , обозначаемой Comm _G (Γ), есть множество элементов г из G , что таким образом, что конъюгат подгруппа г Γ г ^-1 соизмерима с Г. ^[5] Другими словами,

{\ displaystyle \ operatorname {Comm} _ {G} (\ Gamma) = \ {g \ in G: g \ Gamma g ^ {- 1} \ cap \ Gamma {\ text {имеет конечный индекс в обоих}} \ Gamma {\ text {and}} g \ Gamma g ^ {- 1} \}.}

Это подгруппа группы G , содержащая нормализатор N _G (Γ) (а значит, содержащая Γ).

Например, соизмеритель специальной линейной группы SL ( n , Z ) в SL ( n , R ) содержит SL ( n , Q ). В частности, соизмеритель SL ( n , Z ) в SL ( n , R ) плотен в SL ( n , R ). В более общем плане Григорий Маргулис показал, что соизмеритель решетки Γ в полупростой группе Ли G плотно в G тогда и только тогда , когда Γ является арифметической подгруппой в G . ^[6]

Абстрактный соизмеритель [ править ]

Абстрактный соизмеритель группы , обозначаемая Comm , является группой классов эквивалентности изоморфизмов , где и являются конечным индексом подгруппой , в соответствии с составом. ^[7] Элементы называются commensurators из . ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle (G)}$ ${\ displaystyle \ phi: от H \ до K}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ text {Comm}} (G)}$ ${\ displaystyle G}$

Если связная полупростая группа Ли неизоморфна , с тривиальным центром и без компактных факторов, то по теореме о жесткости Мостова абстрактный соизмеритель любой неприводимой решетки является линейным. Более того, если является арифметическим, то Comm виртуально изоморфна плотной подгруппе в , в противном случае Comm виртуально изоморфна . ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle {\ текст {PSL}} _ {2} (\ mathbb {R})}$ $\Gamma \leq G$ $\Gamma$ $(\Gamma )$ $G$ $(\Gamma )$ $\Gamma$

Заметки [ править ]

^ Druţu & Kapovich (2018), определение 5,13.
^ Druţu & Kapovich (2018), предложение 7,80.
^ Druţu & Kapovich (2018), следствие 8,47.
^ Maclachlan & Reid (2003), следствие 8.4.2.
^ Druţu & Kapovich (2018), определение 5,17.
↑ Маргулис (1991), глава IX, теорема B.
^ Druţu & Kapovich (2018), раздел 5.2.

Ссылки [ править ]

Другу, Корнелия ; Капович, Майкл (2018), Геометрическая теория групп , Американское математическое общество , ISBN 9781470411046, Руководство по ремонту 3753580
Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003), Арифметика гиперболических 3-многообразий , Springer Nature , ISBN 0-387-98386-4, MR 1937957
Маргулис, Григорий (1991), Дискретные подгруппы полупростых групп Ли , Springer Nature , ISBN 3-540-12179-Х, Руководство по ремонту 1090825

[1] Druţu & Kapovich (2018), определение 5,13.

[2] Druţu & Kapovich (2018), предложение 7,80.

[3] Druţu & Kapovich (2018), следствие 8,47.

[4] Maclachlan & Reid (2003), следствие 8.4.2.

[5] Druţu & Kapovich (2018), определение 5,17.

[6] Маргулис (1991), глава IX, теорема B.

[7] Druţu & Kapovich (2018), раздел 5.2.

[1]